(精选)华东师大初中数学八年级下册平行四边形的判定定理(提高)知识讲解

1、平行四边形的判定定理（提高）【学习目标】1.平行四边形的四个判定定理及应用，会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形2.会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题【要点梳理】要点一、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为

2、“画平行四边形”的依据.【典型例题】类型一、平行四边形的判定1、如图，点a、b、c在正方形网格的格点上（小正方形的边长为单位1）（1）在图中确定格点d，并画出以a、b、c、d为顶点的平行四边形（2）若以c为原点，bc所在直线为x轴，建立直角坐标系，则你确定的点d的坐标是_.（【思路点拨】1）分为三种情况：以ac为对角线时、以ab为对角线时、以bc为对角线时，画出图形，根据a、b、c的坐标求出即可；（2）在（1）的基础上，把y轴向左平移了一个单位，根据平移性质求出即可【答案与解析】（1）解：从图中可知a（-3，2），b（-4，0）c（-1，0），以ab为对角线时，得出平行四边形acbd1，d1的

3、坐标是（-6，2），以ac为对角线时，得出平行四边形abcd2，d2的坐标是（0，2），以bc为对角线时，得出平行四边形abd3c，d3的坐标是（-2，-2），（2）解：以c为原点，bc所在直线为x轴，建立直角坐标系，d的坐标是（-1，2），（1，2），（-5，2），故答案为：（-1，2）或（1，2）或（-5，2）【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质的应用，主要考查学生能否运用平行四边形的性质进行计算，注意：一定要进行分类讨论举一反三【变式】（2016呼伦贝尔）如图，分别以abc的直角边ac及斜边ab向外作等边acd及等边abe，已知：bac=30，efab，垂足为f，连接d

4、f（1）试说明ac=ef；（2）求证：四边形adfe是平行四边形【答案】证明：（1）abc中，bac=30，ab=2bc，又abe是等边三角形，efab，ab=2afaf=bc，在afe和bca中，afebca（hl），ac=ef；（）acd是等边三角形，dac=60，ac=ad，dab=dac+bac=90又efab，efad，ac=ef，ac=ad，ef=ad，四边形adfe是平行四边形2、类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位用实数加法表示为3+（-2）=1若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个

5、单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对a，b叫做这一平移的“平移量”；“平移量”a，b与“平移量”c，d的加法运算法则为a，b+c，d=a+c，b+d解决问题：（1）计算：3，1+1，2；1，2+3，1；（2）动点p从坐标原点o出发，先按照“平移量”3，1平移到a，再按照“平移量”1，2平移到b；若先把动点p按照“平移量”1，2平移到c，再按照“平移量”3，1平移，最后的位置还是点b吗？在图1中画出四边形oabc证明四边形oabc是平行四边形（3）如图2，一艘船从码头o出发，先航行到湖心岛码头p（2，3），再从码头p航行到码头q（5，5），最后回

6、到出发点o请用“平移量”加法算式表示它的航行过程（【思路点拨】1）本题主要是类比学习，所以关键是由给出的例题中找出解题规律，即前项加前项，后项加后项（2）根据题中给出的平移量找出各对应点，描出各点，顺次连接即可（3）根据题中的文字叙述列出式子，根据（1）中的规律计算即可【答案与解析】解：（1）3，1+1，2=4，3；1，2+3，1=4，3（2）画图最后的位置仍是b证明：由知，a（3，1），b（4，3），c（1，2）oc=ab=12+22=5，oa=bc=32+12=10，四边形oabc是平行四边形（3）从o出发，先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，可知平移量为2，3，同理得到p到q的平移量

7、为3，2，从q到o的平移量为-5，-5，故有2，3+3，2+-5，-5=0，0【总结升华】本题考查了几何变换中的平移变换，解答本题关键是仔细审题，理解题目给出的信息，对于此类题目同学们不能自己凭空想象着解答，一定要按照题目给出的思路求解，克服思维定势举一反三：【变式】一动点沿着数轴向右平移5个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移3个单位用实数加法表示为5+（-2）=3若平面直角坐标系xoy中的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对a，b叫做这一平移的“平移量”规定“平移量

8、”a，b与“平移量”c，d的加法运算法则为a，b+c，d=a+c，b+d（1）计算：3，1+1，2；（2）若一动点从点a（1，1）出发，先按照“平移量”2，1平移到点b，再按照“平移量”-1，2平移到点c；最后按照“平移量”-2，-1平移到点d，在图中画出四边形abcd，并直接写出点d的坐标；（3）将（2）中的四边形abcd以点a为中心，顺时针旋转90，点b旋转到点e，连结ae、be若动点p从点a出发，沿aeb的三边ae、eb、ba平移一周请用“平移量”加法算式表示动点p的平移过程【答案】解：（1）3，1+1，2=4，3；（2）b点坐标为：（1+2，1+1）=（3，2）；c点坐标为：（3-1，

9、2+2）=（2，4）；d点坐标为：（2-2，4-1）=（0，3）；如图所示：d（0，3）（3）点a至点e，向右平移1个单位，向下平移2个单位；点e至点b，向右平移1个单位，向上平移3个单位；点b至点a，向左平移2个单位，向下平移1个单位；故动点p的平移过程可表示为：1，-2+1，3+-2，-13、如图，平行四边形abcd的对角线相交于点o，直线ef经过点o，分别与ab，cd的延长线交于点e，f求证：四边形aecf是平行四边形fdoebo,odob【思路点拨】平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为四边形abcd是平行四边形，可证of=oe

10、，oa=oc，根据条件在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决【答案与解析】证明：四边形abcd是平行四边形，od=ob，oa=oc，abcd，dfo=beo，fdo=ebo，在fdo和ebo中，dfobeofdoebo（aas），of=oe，四边形aecf是平行四边形【总结升华】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用、（2015河南模拟）如图，abc中ab=ac，点d从点b出发沿射线ba移动，同时，点e从点c出发沿线段ac的延长线移动，已点知d、e移动

11、的速度相同，de与直线bc相交于点f（1）如图1，当点d在线段ab上时，过点d作ac的平行线交bc于点g，连接cd、ge，判定四边形cdge的形状，并证明你的结论；（2）过点d作直线bc的垂线垂足为m，当点d、e在移动的过程中，线段bm、mf、cf有何数量关系？请直接写出你的结论（【思路点拨】1）由题意得出bd=ce，由平行线的性质得出dgb=acb，由等腰三角形的性质得出b=acb，得出b=dgb，证出bd=gd=ce，即可得出结论；（2）由（1）得：bd=gd=ce，由等腰三角形的三线合一性质得出bm=gm，由平行线得出gf=cf，即可得出结论【答案与解析】解：（1）四边形cdge是平行四

12、边理由如下：如图1所示：d、e移动的速度相同，bd=ce，dgae，dgb=acb，ab=ac，b=acb，b=dgb，bd=gd=ce，又dgce，四边形cdge是平行四边形；（2）bm+cf=mf；理由如下：如图2所示：由（1）得：bd=gd=ce，dmbc，bm=gm，dgae，gf=cf，bm+cf=gm+gf=mf【总结升华】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键举一反三【变式】如图，已知四边形abcd为平行四边形，aebd于e，cfbd于f（1）求证：be=df；（2）若m、n分别为边ad、bc上的点，且

13、dm=bn，试判断四边形menf的形状（不必说明理由）【答案】解：（1）四边形abcd是平行四边形，ab=cd，abcd，abd=cdb，aebd于e，cfbd于f，aeb=cfd=90，abecdf（aas），be=df；（2）四边形menf是平行四边形证明：由（1）可知：be=df，四边形abcd为平行四边形，adbc，mdb=nbd，dm=bn，dmfbne，ne=mf，mfd=neb，mfe=nef，mfne，四边形menf是平行四边形5、如图，已知在abcd中，e、f是对角线bd上的两点，be=df，点g、h分别在ba和dc的延长线上，且ag=ch，连接ge、eh、hf、fg（1）求

14、证：四边形gehf是平行四边形；（2）若点g、h分别在线段ba和dc上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）（【思路点拨】1）先由平行四边形的性质，得ab=cd，abcd，根据两直线平行内错角相等得gbe=hdf再由sas可证gbehdf，利用全等的性质，证明gef=hfe，从而得gehf，又ge=hf，运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证（2）仍成立可仿照（1）的证明方法进行证明【答案与解析】（1）证明：四边形abcd是平行四边形，ab=cd，abcd，gbe=hdf又ag=ch，bg=dh又be=df，gbehdfge=hf，geb=hfd，gef=hfe，gehf，四边形gehf是平行四边形（2）解：仍成立（证法同上）【总结升华】本题考查的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形举一反三【变式】如图，abcd中，对角线ac，bd相交于o点，aebd于e，c