计算方法习题

1、1 3122计算方法练习题一练习题第 1 套参考答案 一、填空题1p=3.14159的近似值 3.1428，准确数位是（10-2）。2满足f ( a) =c , f (b) =d的插值余项r ( x ) =（f(x2!)( x -a )( x -b )）。3设p ( x ) k为勒让德多项式，则( p ( x), p ( x) = 2 2（25）。4乘幂法是求实方阵（按模最大 ）特征值与特征向量的迭代法。5欧拉法的绝对稳定实区间是（ 二、单选题-2,0）。1已知近似数a , b,的误差限e( a),e(b )，则e( ab) =（ ）。ae( a )e(b )e( a) +e(b )ae( a

2、 ) +be(b)ae(b) +be( a )2设f ( x ) =x2+x ，则 f 1,2,3 =（ ）。 3设3 1 ，则化为对角阵的平面旋转q =（ ）p p p p 2 3 4 64若双点弦法收敛，则双点弦法具有（ ）敛速线性 超线性 平方 三次 5改进欧拉法的局部截断误差阶是（ ）.ao ( h )o ( h2 ) o( h 3 ) o ( h 4)三、计算题1求矛盾方程组： x +x =3 1 2x +2 x =4 1 2x -x =2 1 2的最小二乘解。j( x1, x ) =( x +x -3) 2 1 22 +( x +2 x -4) 2 +( x -x -2) 21 2

3、 1 2，由j j=0, =0x x1 23x +2 x =9 得： 2 x +6 x =9 1 2，解得x =118 9, x =7 14。22 1 1213( m )2用 n =4 的复化梯形公式计算积分11xdx，并估计误差。1dx 1 8 8 8 1 1 + + + + 0.697 x 8 5 6 7 2，r ( x ) m 12 =12 16 96。3用列主元消元法解方程组： 2 x +5 x +3 x =6 1 2 32 x +4 x +3 x =5 1 2 34 x +6 x +2x =4 1 2 3。2 5 3 6 4 6 2 4 4 6 2 42 4 3 5 1 2 3 2

4、2 4 4 6 2 4 2 2 4 1 1 tx =( -1,1,1)回代得：4用雅可比迭代法解方程组：（求出4 -1 0 x 1 -1 4 -1 x = 3 2 0 -1 4 x 1 3x(1)）。因为为严格对角占优阵，所以雅可比法收敛。雅可比迭代公式为： 1x ( m +1) = (1 +x 41x ( m +1) = (3 +x ( m )41x ( m +1) = (1 +x 4( m ) )2+x ) , m = 3( m ) )20,1, l 。取x(0)=(1,1,1)t计算得：x(1)=(0.5,1.25,0.5)t。5用切线法求x 3 -4 x +1 =0最小正根（求出x）。

5、1因为f (0) =1 0, f (0.5) =-0.875 0，所以x * 0,0.5 ，在0,0.5 上， f (x) =3 x 2 -4 0, f (x)=6x 0。由f ( x ) f 0(x)0，选x =00，由迭代公式：xn +1=x -nx 3 -4 x +1 n n3 x 2 -4 n, n =0,1, l计算得：x =0.251。 (四、证明题1 证明：若f (x)存在，则线性插值余项为：r ( x) =f(x) 2!( x -x )( x -x ), x xx 0 1 0 1。2. 对初值问题： y =-10y y (0) =1，当0 h 0.2时，欧拉法绝对稳定。设r (

6、 x) =k ( x )( x -x )( x -x ), g (t ) = f (t ) -l (t ) -k ( x)(t -x )(t -x )0 1 1 0 1，有x , x , x 0 1为三个零点。应用罗尔定理，g(t)至少有一个零点x，g(x)=f(x)-2!k(x) =0, k ( x ) =f(x) 2!。由欧拉法公式得：y -y =1 -oh n n0 0 0）。二、单选题1近似数a =0.47820 102的误差限是（ c）。1 1 1 1 10 -5 10 -4 10 -3 2 2 2 210-2矩阵满足（ d ）,则存在三角分解 a=lr。adet a 0det a

7、0(1 k 0det a 0)的单点弦法迭代公式为：xn +1=cx +anc +xn，n =0,1,。因为计算 5 a 等价求 x5-a =0的实根，将f ( x) =x5 -a , f ( x) =5 x 4代入切线法迭代公式得：nnn23 6xn +1x5 -a 1 a=x - n = (4 x + ), n =0,1,. 5 x 4 5 x4n n。计算方法练习题二练习题第 3 套参考答案 一、填空题1近似数a =0.63500 103的误差限是（10-2）。2设|x|1,则变形1 +x -x =（r(g ) 1， ）,计算更准确。3用列主元消元法解： x +2 x =3 1 22 x

8、 +2 x =4 1 2，经消元后的第二个方程是（xn +1=x x +an n -1x +xn n-1( n =1,2, )， ）。4用高斯赛德尔迭代法解 4 阶方程组，则x ( m +1) 3=( 1.2，)。5已知在有根区间a,b上,f ( x), f (x )连续且大于零，则取x0满足（f ( x +nn n ,y + k )2 2），则切线法收敛。二、选择题1已知近似数 a 的er( a) =10 / 0 ，则 er( a 3 ) =（ c）。a. 10/0 b.20 / 0c.30 / 0d.40 / 02设t ( x ) k为切比雪夫多项式，则(t ( x ).t ( x ) =

9、 2 2（b）。a.0 bp p. c.4 2d.p3对a =6 4 直接作三角分解，则 r =（ d22）。a. 5 b. 4 c.3 d. 24已知 a=d-l-u，则雅可比迭代矩阵 b=（c ）。a.d -1( l +u )b.d -1( l -u )c.( d -l ) -1ud.( d -u ) -1 l5设双点弦法收敛，则它具有（ a. 线性 b.超线性三、计算题a）敛速。 c.平方d. 三次 2 3 1 2 0 -1 1 0 0 -1 1 0 1 已知f ( x)数表x 0y -41-222用插值法求f ( x) =0在0，2的根。p 2 2 +3sin 0.58285 10p

10、2p2， r ( ) 0.582 10 5 2400-2。2已知数表xy02.819.2215.2320.8求最小二乘一次式。2j( x, y ) =( x +y -4)2 +( x -y -3) 2 +(2 x -y -6) 2，由j j=0, =0x y得 6 x -2 y =19 2 x -3 y =5，解得：47 4 x = , y =14 7。3用 n=4 的复化辛卜生公式计算积分10dx2 +x，并估计误差。3由1 1 1048n2 2-2解得n 3，取 n=3，复化梯形公式计算得：10dx 1 1 6 6 1 + + + 0.4067 2 +x 6 2 7 8 3。3 1 04用

11、雅可比法求a = 1 3 0 0 0 3 的全部特征值与特征向量。1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 14 0 -1 2 1 0 -1 2 1 0 0 1 1 x =( -1,1,1)t 回代得：5用欧拉法求初值问题 y =2 x +y y (0) =1在 x=0(0.1)0.2 处的解。2 0 100 2 00 1 0 2 3 0 01 0 0 0 1n +1nn5因为a =a =2, a =1,q= 33 11 12p4 22a = 012- 20102 2 2 2 2 2 2 22 0 - 2= 0 2 0 2 2 所以l1=3, x =( 12 2,0, )2 2tl2=3,

12、x =(0,1,0) 2tl3=3, x =( -32 2,0, )2 2t四、证明题1 证明：a - b a -b。2 证明：计算 5 a 的切线法迭代公式为：1 ax = (4 x + ), n =0,1,. 5 x 4n1设x= xp，则有1 nni =1x2i xp2xi =12i，所以有1nx x2 x22因为迭代函数是j(x) =x -af ( x), j( x) =1 -af ( x)，当0 a 2m1时则有-11 -af ( x) 1，即|1 -af ( x ) |=|j( x) | l (i 3) 1 i，则用乘幂法计算l1（ .x( k +2) ix ( k )i12）。二

13、、单选题12 =1.41424,则近似值107的精确数位是（a）。a.10-1b.10-2c.10-3d.10-42若4 2 1 0r r11 122 4 l 1 0 r21 22,则有r =22（b ）。a.3若2a =4 1 b. 3 c.4 d. 0，则化 a 为对角阵的平面旋转角q =（ c ）。a.p p p pb. c. d.2 3 4 64若切线法收敛，则它具有（ b ）敛速。a. 三次 b. 平方 c. 超线性 d. 线性5改进欧拉法的绝对稳定实区间是（ d ）。a.-3，0 b. -2.78，0 c. 2.51，0 d. -2，0 三、计算题1. 已知函数表:xyy1-102

14、02求埃尔米特差值多项式h ( x)及其余项。h ( x ) =(1+2( x -1)( x -2)2 ( -1) +( x -2)( x -1)2 2 =x 2-2 x 。 r ( x) =f(4) (x)4!( x -1)2( x -2)2,(1 x) f 2=0- ,( 0故x* 0,0.5，在0，0.5上 ，m =min f (x) =4.25, m =m af (x) =3 1 2，m 3 kr 2 0.5 = 12m 191，应用双点弦法迭代公式：x =x -n +1 n( x 3n( x -x )( x3 -5 x +2)n n -1 n n-5 x +2) -( x 3 -5 x +2)n n -1 n -1, n =1,2,.计算得：x 0.4212。5用欧拉法求初值问题： y =x -y y(0) =1在 x=0(0.1)0.2 处的解。5yn +1=0.1x +0.9 y , n =0,1 ，由 y =1 n n 0，计算得：y =0.9, y =0.82 1 2。四、证明题1设l ( x ),., l ( x ) 0 n为插值基函数，证