(2021年整理)全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)

1、全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)的全部内容。 全等

2、三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案）总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等,构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看,对称以后关系现.角平分线平行线,等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连. 要证线段倍与半，延长缩短可试验. 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线.1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一的性质解题2。倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4。垂直平

3、分线联结线段两端5。用“截长法或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法:遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-6090的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8。计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形，常计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条

4、边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等.1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折法构造全等三角形2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法,（1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理（2)可以在角平分线上的一点作该角

5、平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线,构造一对全等三角形。4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移或“翻转折叠5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长,是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形.特殊方法：在求有关三角形的定值一

6、类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例1、(“希望杯试题）已知，如图abc中，ab=5,ac=3,则中线ad的取值范围是_.例2、如图，abc中，e、f分别在ab、ac上，dedf，d是中点，试比较be+cf与ef的大小。例3、如图，abc中，bd=dc=ac,e是dc的中点，求证:ad平分bae.应用：1、（09崇文二模）以的两边ab、ac为腰分别向外作等腰rt和等腰rt,连接de，m、n分别是bc、de的中点探究：am与de的位置关系及数量关系(1)如图 当为直角三角形时，am与de的位置关系是 ,线段am与de的数量关系是

7、 ；(2）将图中的等腰rt绕点a沿逆时针方向旋转（090)后，如图所示，(1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由二、截长补短1、如图,中，ab=2ac，ad平分,且ad=bd,求证:cdac2、如图，adbc,ea,eb分别平分dab，cba，cd过点e，求证;abad+bc。 3、如图，已知在内，p，q分别在bc，ca上,并且ap，bq分别是，的角平分线.求证：bq+aq=ab+bp4、如图,在四边形abcd中,bcba,adcd，bd平分，求证： 5、如图在abc中,abac，12,p为ad上任意一点，求证;abacpb-pc应用:三、平移变换例1 ad为abc的角平分线,直线mn

8、ad于a。e为mn上一点,abc周长记为，ebc周长记为.求证。例2 如图，在abc的边上取两点d、e，且bd=ce，求证：ab+acad+ae.四、借助角平分线造全等1、如图，已知在abc中，b=60，abc的角平分线ad,ce相交于点o，求证：oe=od2、如图，abc中，ad平分bac,dgbc且平分bc,deab于e,dfac于f. （1）说明be=cf的理由；（2）如果ab=，ac=，求ae、be的长.应用:1、如图，op是mon的平分线，请你利用该图形画一对以op所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1)如图，在abc中，acb是直角，b=6

9、0,ad、ce分别是bac、bca的平分线，ad、ce相交于点f。请你判断并写出fe与fd之间的数量关系;(第23题图)opamnebcdfacefbd图图图(2）如图，在abc中，如果acb不是直角，而（1)中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。五、旋转例1 正方形abcd中，e为bc上的一点，f为cd上的一点，be+df=ef，求eaf的度数。 例2 d为等腰斜边ab的中点，dmdn，dm，dn分别交bc，ca于点e,f。（1） 当绕点d转动时，求证de=df。（2） 若ab=2，求四边形decf的面积。例3 如图,是边长为3的等边

10、三角形，是等腰三角形，且,以d为顶点做一个角，使其两边分别交ab于点m，交ac于点n，连接mn,则的周长为 ;应用:1、已知四边形中，,，,，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于当绕点旋转到时(如图1），易证当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立？若成立，请给予证明;若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明（图1）（图2）（图3）2、（西城09年一模）已知：pa=，pb=4,以ab为一边作正方形abcd，使p、d两点落在直线ab的两侧.（1）如图,当apb=45时，求ab及pd的长;(2)当apb变化，且其它条件不变时,求pd的最大值,及相应ap

11、b的大小。3、在等边的两边ab、ac所在直线上分别有两点m、n,d为外一点，且,，bd=dc. 探究：当m、n分别在直线ab、ac上移动时,bm、nc、mn之间的数量关系及的周长q与等边的周长l的关系图1 图2 图3（i）如图1,当点m、n边ab、ac上，且dm=dn时,bm、nc、mn之间的数量关系是 ； 此时 ; （ii）如图2,点m、n边ab、ac上，且当dmdn时,猜想（i）问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明； （iii) 如图3，当m、n分别在边ab、ca的延长线上时，若an=,则q= （用、l表示） 参考答案与提示一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题)已知，如

12、图abc中,ab=5，ac=3，则中线ad的取值范围是_。解：延长ad至e使ae2ad,连be，由三角形性质知abbe 2adab+be 故ad的取值范围是1ad4例2、如图，abc中，e、f分别在ab、ac上，dedf,d是中点，试比较be+cf与ef的大小.解:(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长fd至g使fg2ef，连bg，eg，显然bgfc，在efg中，注意到dedf,由等腰三角形的三线合一知egef在beg中,由三角形性质知egbg+be 故:efbe+fc例3、如图，abc中，bd=dc=ac，e是dc的中点，求证：ad平分bae. 解：延长ae至g使ag2ae，连bg,dg

13、,显然dgac， gdc=acd由于dc=ac,故 adc=dac在adb与adg中， bdac=dg，adad,adb=adc+acd=adc+gdcadg故adbadg,故有bad=dag，即ad平分bae应用：1、（09崇文二模）以的两边ab、ac为腰分别向外作等腰rt和等腰rt，连接de，m、n分别是bc、de的中点探究：am与de的位置关系及数量关系(1）如图 当为直角三角形时，am与de的位置关系是 ，线段am与de的数量关系是 ；（2)将图中的等腰rt绕点a沿逆时针方向旋转(0bf+bc=ba+ac+bc=pa例2 如图，在abc的边上取两点d、e,且bd=ce，求证:ab+ac

14、ad+ae.证明：取bc中点m,连am并延长至n,使mn=am,连bn,dn. bd=ce,dm=em，dmnema（sas），dn=ae，同理bn=ca.延长nd交ab于p,则bn+bppn,dp+paad,相加得bn+bp+dp+papn+ad，各减去dp,得bn+abdn+ad,ab+acad+ae。四、借助角平分线造全等1、如图，已知在abc中，b=60，abc的角平分线ad，ce相交于点o，求证：oe=od，dc+ae =ac证明l（角平分线在三种添辅助线,计算数值法)b=60度，则bac+bca=120度;ad,ce均为角平分线,则oac+oca=60度=aoe=cod;aoc=1

15、20度。在ac上截取线段af=ae,连接of.又ao=ao;oae=oaf.则oaeoaf（sas)，oe=of;ae=af; aof=aoe=60度。则cof=aoc-aof=60度=cod；又co=co；ocd=ocf.故ocdocf(sas),od=of；cd=cf.oe=oddc+ae=cf+af=ac.2、如图,abc中，ad平分bac，dgbc且平分bc,deab于e，dfac于f。 （1）说明be=cf的理由;(2）如果ab=，ac=,求ae、be的长.解：(垂直平分线联结线段两端)连接bd,dcdg垂直平分bc，故bddc由于ad平分bac， deab于e，dfac于f，故有e

16、ddf故rtdbertdfc（hl)故有becf.ab+ac2aeae（a+b）/2be=(ab）/2应用：1、如图,op是mon的平分线,请你利用该图形画一对以op所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:（1）如图,在abc中,acb是直角，b=60，ad、ce分别是bac、bca的平分线，ad、ce相交于点f。请你判断并写出fe与fd之间的数量关系；(第23题图)opamnebcdfacefbd图图图（2)如图,在abc中，如果acb不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由。解：（1

17、）fe与fd之间的数量关系为（2）答：（1）中的结论仍然成立.证法一：如图1，在ac上截取，连结fg ，af为公共边， fbeacd图 12143g，ad、ce分别是、的平分线及fc为公共边证法二：如图2，过点f分别作于点g，于点h fbeacd图 22143hg，ad、ce分别是、的平分线可得,f是的内心，又 可证 五、旋转例1 正方形abcd中，e为bc上的一点，f为cd上的一点，be+df=ef，求eaf的度数. 证明:将三角形adf绕点a顺时针旋转90度，至三角形abg则ge=gb+be=df+be=ef又ae=ae，af=ag，所以三角形aef全等于aeg所以eaf=gae=bae+

18、gab=bae+daf又eaf+bae+daf=90所以eaf=45度例2 d为等腰斜边ab的中点，dmdn,dm，dn分别交bc，ca于点e，f。(1)当绕点d转动时，求证de=df。(2）若ab=2，求四边形decf的面积.解：(计算数值法）（1)连接dc， d为等腰斜边ab的中点，故有cdab，cddacd平分bca90,ecddca45由于dmdn，有edn90由于 cdab，有cda90从而cdefda故有cdeadf（asa）故有de=df（2）sabc=2， s四decf= sacd=1例3 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以d为顶点做一个角，使其两边分别交ab于

19、点m，交ac于点n，连接mn，则的周长为 ;解：(图形补全法， “截长法”或“补短法”， 计算数值法) ac的延长线与bd的延长线交于点f，在线段cf上取点e，使cebmabc为等边三角形,bcd为等腰三角形，且bdc=120，mbd=mbc+dbc=60+30=90，dce=180acd=180-abd=90，又bm=ce，bd=cd，cdebdm，cde=bdm，de=dm，nde=ndc+cde=ndc+bdm=bdc-mdn=12060=60，在dmn和den中， dm=de mdn=edn=60 dn=dndmnden,mn=ne在dma和def中， dm=de mda=60mdb=

20、60-cde=edf (cde=bdm） dam=dfe=30dmnden （aas），ma=fe的周长为an+mn+am=an+ne+ef=af=6应用：1、已知四边形中，,，绕点旋转,它的两边分别交(或它们的延长线）于当绕点旋转到时（如图1），易证当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予证明；若不成立,线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明（图1）（图2）（图3）解:（1)，(sas）;,，,为等边三角形，（2)图2成立,图3不成立。证明图2，延长dc至点k，使,连接bkkabcdefmn图 2则,，即图3不成立，ae、cf、ef的关系是2、(

21、西城09年一模）已知:pa=，pb=4，以ab为一边作正方形abcd,使p、d两点落在直线ab的两侧.（1）如图,当apb=45时，求ab及pd的长;（2）当apb变化，且其它条件不变时,求pd的最大值,及相应apb的大小.分析:（1）作辅助线，过点a作于点e,在中，已知,ap的值,根据三角函数可将ae,pe的值求出，由pb的值，可求be的值,在中，根据勾股定理可将ab的值求出；求pd的值有两种解法，解法一：可将绕点a顺时针旋转得到，可得,求pd长即为求的长,在中，可将的值求出，在中，根据勾股定理可将的值求出;解法二：过点p作ab的平行线，与da的延长线交于f,交pb于g，在中，可求出ag,e

22、g的长，进而可知pg的值，在中，可求出pf，在中,根据勾股定理可将pd的值求出；（2）将绕点a顺时针旋转，得到,pd的最大值即为的最大值，故当、p、b三点共线时，取得最大值，根据可求的最大值，此时epadcb解：(1）如图，作于点e中，在中,ppacbde解法一:如图，因为四边形abcd为正方形，可将将绕点a顺时针旋转得到，可得，,，；解法二：如图，过点p作ab的平行线，与da的延长线交于f,设da的延长线交pb于ggfpacbde在中,可得，在中，可得，在中,可得（2）如图所示，将绕点a顺时针旋转,得到，pd的最大值，即为的最大值中，且p、d两点落在直线ab的两侧当、p、b三点共线时，取得最

23、大值（如图)ppacbdppacbd此时，即的最大值为6此时3、在等边的两边ab、ac所在直线上分别有两点m、n,d为外一点，且,，bd=dc。 探究：当m、n分别在直线ab、ac上移动时,bm、nc、mn之间的数量关系及的周长q与等边的周长l的关系图1 图2 图3（i）如图1,当点m、n边ab、ac上，且dm=dn时，bm、nc、mn之间的数量关系是 ； 此时 ； （ii）如图2，点m、n边ab、ac上，且当dmdn时，猜想（i)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （iii) 如图3，当m、n分别在边ab、ca的延长线上时,若an=,则q= （用、l表示）分析:(1）如果，因为，那么，也就有,直角三角形mbd、ncd中，因为,，根