流体力学习题及答案 第五章

1、第五章势流理论-23 -（0，-5），试求:5-1流速为U0=1Om/s沿正向的均匀流与位于原点的点涡叠加。已知驻点位于 点涡的强度；（2） （0,5）点的流速以及通过驻点的流线方程。答：（1）求点涡的强度r :设点涡的强度为r,则均匀流的速度势和流函数分别为:% = U0X，屮 1 =U0y ；点涡的速度势和流函数为:r arctg -，屮 2 x=一In(X2 +y2)2r=ln r ；因此，流动的速度势和流函数为:r1 + U0X-丄2兀arctg -=如 cos 日 x2兀屮=屮 +屮 2 =u0 y + l n( x2 + y2)2 = u0y si nH+ Lnr ；则速度分布为:

2、exr=U0 +yx2+y2ex由于（0,-5）为驻点，代入上式第一式中则得到:Uor -2兀 O2 +(-5)2 05整理得到:r =10 叫=100 兀。（2）求（0,5）点的速度:将r = 100兀代入到速度分布中，得到:rU=U0 十并 x2+y7=10 +100兀宀 10+ 50yX十yrV =2兀由流函数的性质可知，流函数为常数时表示流线方程屮=C，则流线方程为:p1+ 一In(X2 +y2)2 =C ;U0y 2 兀50xX100兀Xx2 + y22兀x2 + y2 x2 + y2，=5代入上述速度分布函数，得到:50咒5u = 10 + =10+10=20 (m/s),0 +5

3、50x0 cV = 2 =0 (m/s);02 +52(3)求通过(0,5)点的流线方程:将x=0、y=5代入，得到:122 oln(0 +5 )2 =50 + 50In5 ；则过该点的流线方程为:10y+ 10ln(x2 +y2)2 =50 +50In5 , 整理得到:122 oy +5In(x +y )2 =5 +5In55-2平面势流由点源和点汇叠加而成，点源位于(-1, 0)，其流量为0i=2Om3/s,点汇位于(2,0)点，其流量为02=4Om 3/s，已知流体密度为尸1.8kg/m3,流场中(0, 0)点的压力为0,试求点(0,1 )和(1,1)的流速和压力。答：(1)求(0,0)

4、、(0,1)和(1,1)点的速度:点源的速度势为:=Bin tx+1 f + y2 2 2兀点汇的速度势为:In lx-2 2 +y2m1In tx-2f+ y2ex(X +1 )2兀(x+12+y2(X-2)2ym22兀(X-22 +(x+1m22兀(X -2 2 + y2将X = 0、y =0代入,并注意到mi =日1及m2 =02，得到(0,0)点的速度为:mimi其合速度为:V(0,0)(0+1)m2(0-2)mi(0+1 2 +02(0+1 2=Ju2+v2m2将X = 0、+ 02y =1代入,20(0-2$ +022辽(0-2 2 +02(m/s)。=0 ；得到(0,1)点的速度

5、为:2 兀(0 +1 2 +122兀(0-2 2 +12t,1m21(0+1)(0-2)m2212兀2兀(0-2 2 +12(0+1 2 +12其合速度为:V(0,1)=Ju2 +v2将x =1、y=1代入，得到(1,1)点的速度为:(1 +1)m2(12 )其合速度为:V(1,1)=m2201 40十 2021120(1+12 +12T(1+12 +12m2(1 -2f +12(1-2 2 +125 2兀(m/s)。20401340iTh 1 m2十202江2040211JI1414+小丿8兀J260(m/s)。(2)设(0,0)、(0,1)和(1,1)点的压力分别为P0、P1和P2，且由题

6、意知则由伯努利方程:罟 +-V(0,0)=晋中2%0,1），V +如，。）詈 4v(1,1)因此可得:1 .P1 =尹2(0,0)-v(O,10=-2202170、2 JI115431J8=21(N/m 勺，1 2P2 = - POO)-v(i21)= Pr202 260、70 P= 70 1.8 =12.8 (N/m2)。3.1425-3直径为2m的圆柱体在水下深度为H=10m以水平速度 uo=1Om/s运动。试求（1）A、B、C、D四点的绝对压力；（2）若圆柱体运动的同时还绕本身轴线以角速度60r/min转动,试决定驻点的位置以及 B、D两点的速度和压力。此时若水深增至100m，求产生空泡

7、时的速度（注：温度为15时，水的饱和蒸汽压力为2.332 X 103N/m2)。答：（1）求A、B、C、D四点的绝对压力:设A、B、C、D四点的绝对压力分别为Pa、Pb、Pc和Pd ，相对压力分别为Pa0、Pb0、pc0和Pdo ；并注意到其压力系数分别为1、-3、1和-3，则:A点的绝对压力:1 2 1 2Pa =PaO +C PA?九0 = Pa + 电H +C pA PUo= 1.013x105 +1.ox 103x9.81x 10+1x1x1.0咒10302232=249.4X10 (N/m )1 1Pb = Pbo +CPB?印0 = Pa + Pg(H -R)+CpB?Pu0= 1

8、.013 天 105 +1.0咒1039.81天(101)+( 3dO3(N /m2)(2)求驻点位置和 B、D点的速度和压力:圆柱半径R=1 (m),旋转角速度 =60 (rad/s);因此漩涡强度为:2 兀22r = Cv dl = 0 R RdQ = 2兀R= (2兀)；柱面上r = R处，速度分布为:Vr =0，vh = -2u0Sin 0；灯2iR在驻点(A、C点)vh = 0，即:r-2u0 sin 日一=02rR将R =1、u0 = 10和r = (2兀2代入上式，得到:兀sin 6 = - = 0.314，10则:6, +arcsin0.314，日2=-arcsin 0.314

9、 ；在B点，二2，则速度为:-(2兀 2V日= -2u0Sin 日-=-2勺0心in 二-一=-20-6.28 =-26.28(m/s)；压力系数为:Cp =1 ! -1 2兀U0R丿JI2 X sin +22恥10丿= -5.91 ；相对压力为:11Pb-Pb0 =Cp Pu2 =-5.91咒一咒1.0咒103勺02 =-2.955咒105(N/m2)；22其中B点静水压力为:P BO = Pa + Pg(H R) =1.013x105+1.0x103x9.81x(101 ) = 189590( N/m2)，则B点处绝对压力为:1 2 2PB =Pb0 +Cp 2 Pu0 =189590-2

10、95500=-105910(N/m)；在D点，9 = _=，则速度为：2Vq = 2u0 sin 日2iR,2=20 6.28 =1372 (m/s)；压力系数为:r 、2 JI r（2盯丫=1 -2 si n Q +=1 -2x sin+ 12；iUoR 丿2兀X10X1= -0.882Cp相对压力为:Pd-P do =C p 2 Pu2 =0.882xx1.0x103x102 =44100( N/m2)；2(N/m)，B点的静水其中D点静水压力为:Pdo = Pa + 电(H R) =1.013x105+1.0X103 X 9.81x(10 +1 )=209210则D点处绝对压力为:1PD

11、 =Pd0+Cp 2 PuO2 =209210-44100 = 165110（N/m2）；（3）由于B点的压力系数最低， 首先在B点发生空泡；当水深增至 100m时, 压力为:P B0 = Pa + 电(H -R) =1.O13X1o5 +1.00吸9.81100-1)=1072490 (N/m2),压力系数为:Cp十Lsin”丄I2兀UoR丿=1 - sin 俚LL 22兀咒101丿2 +叮I Uo丿绝对压力为:Pb = Pbo + Cp 弓 Pu：B点发生空泡的临界值为Pb = Pc，且由给定条件知 Pc =2.332咒103（ N/m2）；代入上式 得到:Pc = Pbo +Cp 2 P

12、u： = Pbo + Uo 1-(2 + s/uo $将上式整理得到关于u0的一元二次方程:2Au0 + Bu0 +C = 0其中系数:A =3，B =8兀，C =4 兀22 2 -孑8B0 - Pc )=4 X 3.14-X (1072490 - 2332 )= -2100.9 ;1.0x10解得:一8兀 +寸(8兀 2 + 4X 3x2100.9u。=68心14 + 160.75 = 22.61 (m/s)。即当Uo色22*61 (m/s)时将发生空泡。5-4写出下列流动的复势，(1) u=U0COsa v=U0Sina;( 2)强度为 m，位于(a, 0)点的平面点源;(3)强度为r位于

13、原点的点涡；(4)强度为M，方向为a,位于原点的平面 偶极。答：( 1)u = u0 cosct , v = u0Sin a :fudx +vdy= Ju0cosadx + uosinady=u0cosa 咲 + uosina -y ,屮 =f-vdx +udy=Ju0sindx + u0 cosady = -u0sina 伙 + u0 cos。y ;W(z)=%x,y )+i屮(x,y)= (u0cosa 咲+u0Sind 丁)+i(-u0Sin 咲+ u0cosa ”y)= (u0cosa 咲+iu0cosa -yj+boSin 丁-iu0sin -x )=u0 cos a(X + iy

14、)- iu0 sin a (x + iy )=u0 cosa z -iu0 sin -z= u0z(cosa -i sina )=u0zez(2)强度为m，位于(a,0)点的平面点源:lnx-a2兀1 占2y+X -a以(a,0)点为原点，建立新的坐标系o-xy；在新坐标系中:cp =tl nr；屮-JarctgV，W(z)=W +i 屮=工1 n z；2；!2；!2兀由于新旧坐标系之间的关系为:x=x-a , y=y ；r，= tx -a S + y2 2，=arctg yX -a因此:W(z )=巴1 n(xWymin tx a)+iy =min 如+ iy )一&】=巴 In(z a);

15、(3)强度为r,位于原点的点涡:W = - arctg = - 6 xrW(z )=护 +i屮=-0 +i 1=ln(x2 + y2 y2兀rIn r = U(ln r +ln e= ln reJ(4)强度为M，方向为a，以原点为圆心，将坐标系中，速度势和流函数分别为:r=ln r ；F (i l n r 日)=2花匚lnz位于原点的平面偶极:i y(ln r+ i 日)o-xy逆时针旋转a角，得到新坐标系o-xy ；在新坐标系也迴屮一也她W(z)= +胖=也；2江z2兀r由于新旧坐标系间的关系为:z 丄 re=re炉 )；代入到上式可得:Mem M尸云宀厂药畀2兀z5-5设在A(a,0)点放

16、置一强度为 2兀的平面点源，x=0是一固壁面，试求：(1)固壁上流体的速度分布及速度达到最大值的位置;(2)固壁上的压力分布， 设无穷远处压力为 p.；若m=m(t)，其中t为时间变量，求壁面上的压力分布。答：(1)用位于(a,0)和(-a,0)，强度均为m = 2花的两个点源，可以构造位于 x = 0的壁面，其速度势为:Tntxa)匹+1直窪+1P2P+y2 ,= jm|n tx+af+y22兀=1ln x + a 2 + y22速度分布为:Tna+ y2 + In (x+a f + y2 】；U =一ex(X -a)(Xa 2 +y2(X-a 2 +y2(X + a 2 + y2在壁面上X

17、 =0，则壁面上速度分布为:由于:dv 2(a2 + y2)-2y *2y _ 2(a2 - y2 ) dy(a2 + y2 f(a2 +y2令上式为0,则得到:22丄y =a，y =a ；即在点(0,a 和 (0,-a )，速度达到最大值,且为:Vmax=a2a +a=1 ；a，(2)当 yT 二时,v=lim 壬 y 护 a2+y2=0,由伯努利方程得到:-V；#1 Pv2 J22卩岛二2 +2Py2y2f ；将壁面上的压力分布 P述-P沿整个壁面进行积分，得到流体作用于壁面的作用力-be=JPbPmy c 2 Py2严占dy =4壮(a+y)c兀jiP(a2 + y2产化 a雹p即沿壁面

18、的作用力为 P =。a(3)当m =m(t时，速度势为:In1Lix-af +y2 ,92=哎魚/七行戶=业)1我七2讦】；叫xa+ y2I+lnSay2 】；速度分布为:u =ex_m(t)r(X a)2 兀 L(x - a 2 + y2(x+af +y2(x+a)v =_ _ m(t 片科 2兀 L(x-aY+y2(x+a2 ty2在壁面上x=0，则壁面上速度分布为:m(t ) 2yU = 0， V =222兀 a2 +y2m(t)y+ y2由于:dvm(t )(a2 +y2 )y(a22-ydy 兀(a2 + y2(a2 + y2 $令上式为0,则得到:22丄y = a ，y = a ；

19、 即在点(0, a J和(0,a )，速度达到最大值，且为:Vmax = m(t ) a丄 m(t )=土rr2.2兀a +a(2)当yT 七c时，V述=lim 也)一ya2+y2=0,由伯努利方程得到:Pb P ”小Pv2 4 a亠222l；ia+y 丿 a2 + y22 25-6已知复势为 W（z）=2z +8/z +3il nz，求（1）流场的速度分布及绕圆周x +y =10的环量；（2）验证有一条流线与 X2 + y2 =4的圆柱表面重合，并用卜拉休斯公式求圆柱体的作用力。答：（1）求速度分布及绕圆周 X2 + y2 =10的环量:求速度分布:由复势的定义可知:dWzLuiv ；dz因

20、此:dW(z)dzz2-3i=2 -r + z_28(x-iy2+3i(x-iy)(X +iy 2(x-iy $(x + iy 仪-iy )28(x2-2ixy-y2 ) + 3ix +3y(x2+y22(x2+y2)c 8(x2y2)丄 16ixy=2 2 十(x y2 2(x2+y2 + 3x2y+3y3-8x23ix3y(x2+y2fC + +2 2(X2 + y2 )(X2 + y2 )+ 8y2 3x2 + 3xy2 +16xy+i 2L(X2 + /a +3x2y+3y3-8x2 +8y2 u = 2 十(X2 十 y2 23x2 + 3xy2 + 16xyv =(X2 十 y2

21、f求环量:该流动由三个简单流动组成:第一个:2z为沿X方向的均匀流,Uo =2 ；第二个:8是位于原点的偶极，设其强度为M，则 -8，M =16花；z第三个:3i In z是位于原点的点涡，设其强度为2兀rr，贝y =3， r = 6沢。2兀因此绕X c +y2 =10的环量为r =16兀。(2)将复势改写成下述形式:8W(z )=2z+3iln zz= 2re旧+8r-1e亠&+ 3i In re旧= 2re旧 +8甘0 + 3i In r + 3i iS= 2r(cos0 + isin0 )+ 8r (cosQ -isin0 )+3i In r -3日=2r COST +2ir sin 0

22、 +8rcos0 -8ir sin 0 + 3i ln r -30= (2r cosQ +8r cosQ -39 )+i(2r sin 9 -8rsin 9 +3lnr)则流函数为:屮(X, y )= lmW(z )=2r sin -8rsin 日 +3ln r 8y= 2y-耳+3ln rr当X2 +y2=4时，r =2，代入上式可得:W(x,y )=2y-卑+31 nr =2y-8y+3ln2=3ln2 = C (常数) r.说明X2 +y2 =4确是一条流线。由卜拉休斯公式可知，作用在柱面X2 + y2 =4上的共轭合力为:其中:P=q2 c,2fdW VI dz ；Idz丿dWdz8

23、1=2-笃+3-,z zdW8 1=2-右+3i 、dz丿k zz丿由留数定理可知,= 4+12单羊；z z上式中仅第二项对积分有贡献，因此:iP|dz = ( 24兀)=12i 兀P ;I 2由于：P =X -iY，得到：水平分力:X =0，垂向分力(升力)：Y =12兀P 。dW dz =2西 12i =-24兀，Adz丿2 iP/dW、 得到：p=q5-7如习题5-3图所示，设直径为D = 2 m的圆柱体在水下深度为H =10m的水平面上以速度U0 =10 m/s作匀速直线运动，（1）试写出流动的绝对速度势、牵连速度势、相对速度势及对应的单位速度势;2）求出圆柱体表面上 A、B、C、D及

24、9=45 、135 六点的绝对速度。答：（1）设圆柱半径为1=2d，则得到:单位相对速度势:/2 sI. a=r COST 1 +，相对速度势:=Uor COS0 1 +牵连速度势:=-u0x = -u0r COS0，绝对速度势:W =W* +代=U0rcos日 11 + p |-U0rcos日=u0cos日一，I r丿r2单位绝对速度势：W0 = COS0 。r（2）由绝对速度势可得速度分布为:VrUdCosT，% =丄”兰一U0SinB冷；drrr crr在柱面上r =a，代入上式，得到柱面上的速度分布为:vr=-u0cos 日，VQ = -u0si n 日；A点,=兀:Vr =Uo，VQ = 0 ；B点,C点,Vr =-U0，VQ=0 ；D点,2 :Vr =0，VT=U0 ；JI4: Vr =42rU0，a3兀J2Uo。好=135 =一 : Vr =U0，425-8若一半经为ro的圆球在静水中速度从 0加速至U0,试求需对其作多少功?答：当圆球加速至 u0时，其总动能为:Ek =2(mf u0