高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 双曲线教师用书 文 新人教版(2021年最新整理)

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3、，0）a1(0，a）,a2（0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1,），其中c实虚轴线段a1a2叫做双曲线的实轴，它的长a1a22a;线段b1b2叫做双曲线的虚轴，它的长b1b22b；a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2 （ca0，cb0）【知识拓展】巧设双曲线方程(1）与双曲线1（a0,b0)有共同渐近线的方程可表示为t（t0)(2）过已知两个点的双曲线方程可设为1（mn0）表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线方程（m0，n0，0)的渐近线方程是0,即0。(）（4）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于。(）（5)若双曲线1(a0,b0）与1(a0，

4、b0）的离心率分别是e1，e2，则1（此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)（)1（教材改编）若双曲线1 （a0,b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(）a. b5c。 d2答案a解析由题意得b2a,又a2b2c2，5a2c2.e25,e.2若方程1表示双曲线，则m的取值范围是(）am1 bm1或m0，解得m1或m0,b0)由题意知，2b12，e.b6，c10,a8。双曲线的标准方程为1或1。（2）双曲线经过点m（0，12）,m（0,12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26,c13，b2c2a225。双曲线的标准方程为1.（3)设双曲线方程为mx2ny

5、21（mn0)解得双曲线的标准方程为1。命题点3利用定义解决焦点三角形问题例3已知f1，f2为双曲线c:x2y22的左，右焦点，点p在c上,pf12|pf2|，则cos f1pf2_。答案解析由双曲线的定义有|pf1|pf2|pf2|2a2，pf12pf24，则cosf1pf2。引申探究1本例中将条件“pf12|pf2|”改为“f1pf260”，则f1pf2的面积是多少?解不妨设点p在双曲线的右支上,则pf1|pf2|2a2，在f1pf2中，由余弦定理,得cosf1pf2，所以|pf1pf28，所以pf1pf2|sin 602。2本例中将条件“|pf1|2|pf2|”改为“0”，则f1pf2的

6、面积是多少？解不妨设点p在双曲线的右支上,则pf1pf2|2a2，由于0，所以,所以在f1pf2中，有|pf1|2|pf22|f1f2|2，即|pf1|2pf2216，所以pf1|pf24，所以|pf1pf2|2.思维升华(1）利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程;（2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|pf1|pf22a,运用平方的方法，建立与|pf1|pf2的联系（3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值，如果已知双曲线

7、的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为(0),再由条件求出的值即可(1)已知f1，f2为双曲线1的左，右焦点，p(3,1）为双曲线内一点,点a在双曲线上，则|apaf2的最小值为(）a.4 b.4c.2 d.2（2)（2015课标全国)已知双曲线过点(4，）,且渐近线方程为yx，则该双曲线的标准方程为_答案(1)c(2)y21解析(1）由题意知，|ap|af2|ap|af12a，要求ap|af2的最小值,只需求|ap|af1|的最小值,当a,p,f1三点共线时,取得最小值,则ap|af1pf1，ap|af2的最小值为|apaf12a2.故选c.（2)由双曲线的渐近线方

8、程为yx,可设该双曲线的标准方程为y2(0），已知该双曲线过点（4,)，所以()2,即1，故所求双曲线的标准方程为y21。题型二双曲线的几何性质例4(1）（2016浙江)已知椭圆c1：y21（m1)与双曲线c2：y21（n0)的焦点重合，e1，e2分别为c1，c2的离心率，则()amn且e1e21 bmn且e1e21cmn且e1e21 dmn且e1e21（2)（2015山东)在平面直角坐标系xoy中,双曲线c1:1（a0，b0)的渐近线与抛物线c2：x22py(p0)交于点o，a,b。若oab的垂心为c2的焦点，则c1的离心率为_答案(1)a(2)解析（1）由题意可得m21n21，即m2n22

9、，又m0，n0，故mn.又ee11,e1e21。(2)由题意，不妨设直线oa的方程为yx,直线ob的方程为yx.由得x22p x，x，y，a.设抛物线c2的焦点为f,则f，kaf.oab的垂心为f，afob,kafkob1,1，。设c1的离心率为e，则e21。e。 思维升华双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线1（a0,b0)中,离心率e与双曲线的渐近线的斜率k满足关系式e21k2。（2016全国甲卷)已知f1，f2是双曲线e：1的左，右焦点，点m在e上，mf1与x轴垂直，sinmf2f1,则e的离心率为()a. b。 c. d2答案a解析离心率e，由正弦定理得e。故选a.题型三

10、直线与双曲线的综合问题例5(2017兰州月考)已知椭圆c1的方程为y21，双曲线c2的左，右焦点分别是c1的左，右顶点，而c2的左，右顶点分别是c1的左,右焦点(1)求双曲线c2的方程；(2）若直线l：ykx与双曲线c2恒有两个不同的交点a和b，且2（其中o为原点）,求k的取值范围解（1)设双曲线c2的方程为1（a0，b0)，则a2413，c24,再由a2b2c2，得b21。故c2的方程为y21.(2）将ykx代入y21，得(13k2）x26kx90。由直线l与双曲线c2交于不同的两点,得k2且k22,得x1x2y1y22，2，即0,解得k23，由得k21。故k的取值范围为（1，)(,1)思维

11、升华（1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式来判定（2）用“点差法可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验若双曲线e:y21(a0）的离心率等于，直线ykx1与双曲线e的右支交于a,b两点（1)求k的取值范围；（2）若|ab6,点c是双曲线上一点，且m()，求k，m的值解（1）由得故双曲线e的方程为x2y21。设a（x1，y1）,b（x2，y2），由得（1k2)x22kx20。（)直线与双曲线右支交于a，b两点，故即所以1

12、k.故k的取值范围是k|1k（2）由()式得x1x2,x1x2，ab26，整理得28k455k2250，k2或k2，又1k,k，x1x24，y1y2k(x1x2）28.设c(x3,y3），由m（）,得(x3，y3）m（x1x2,y1y2）(4m，8m）点c是双曲线上一点80m264m21，得m。故k,m。11直线与圆锥曲线的交点典例已知双曲线x21，过点p（1，1）能否作一条直线l，与双曲线交于a，b两点，且点p是线段ab的中点?错解展示现场纠错解设点a（x1，y1)，b(x2，y2）在双曲线上,且线段ab的中点为(x0，y0)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意设经过点p的直线l的方程为y

13、1k（x1)，即ykx1k。由得（2k2)x22k(1k）x(1k)220(2k20)x0.由题意,得1，解得k2。当k2时，方程可化为2x24x30.162480，解得m2n3m2,由双曲线性质,知c2（m2n)(3m2n）4m2(其中c是半焦距）,焦距2c22m4，解得|m|1，1nb10)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列,离心率为e1;双曲线1(a20，b20)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列,离心率为e2,则e1e2等于（）a. b1 c。 d2答案b解析由ba1c1，得aca1c1，e1.由ba2c2，得caa2c2，e2.e1e21。5(2015课标全国)已知m(x0,y0)是双

14、曲线c：y21上的一点，f1，f2是c的两个焦点，若0，则y0的取值范围是（)a. b。c。 d。答案a解析由题意知a，b1，c，f1(，0），f2(，0）,(x0，y0)，(x0,y0）0，(x0）(x0）y0，即x3y0）的一个焦点在圆x2y24x50上，则双曲线的渐近线方程为()ayx byxcyx dyx答案b解析由得x24x50，解得x5或x1，又a3，故c5，所以b4，双曲线的渐近线方程为yx，故选b。7(2016北京）已知双曲线1（a0,b0）的一条渐近线为2xy0,一个焦点为(，0），则a_；b_.答案12解析由2xy0，得y2x，所以2。又c,a2b2c2,解得a1,b2。8

15、(2016浙江）设双曲线x21的左，右焦点分别为f1,f2，若点p在双曲线上，且f1pf2为锐角三角形，则pf1|pf2的取值范围是_答案(2，8）解析如图，由已知可得a1,b，c2,从而|f1f24，由对称性不妨设p在右支上，设pf2|m，则pf1|m2am2，由于pf1f2为锐角三角形，结合实际意义需满足解得1m3，又pf1pf2|2m2，22m28.9已知双曲线1(a0，b0）的左，右焦点分别为f1，f2，点p在双曲线的右支上，且|pf14|pf2|,则此双曲线的离心率e的最大值为_答案解析由定义，知pf1pf22a.又pf1|4|pf2|,pf1|a，pf2|a。在pf1f2中，由余弦

16、定理，得cosf1pf2e2。要求e的最大值，即求cosf1pf2的最小值,当cosf1pf21时，得e,即e的最大值为。10设双曲线c的中心为点o，若有且只有一对相交于点o且所成的角为60的直线a1b1和a2b2,使|a1b1|a2b2|，其中a1、b1和a2、b2分别是这对直线与双曲线c的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是_答案解析由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x轴(或y轴）对称又由题意知有且只有一对这样的直线,故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围大于30且小于等于60，即tan 30tan 60，0）交于p，q两点,直线l与y轴交于r点，且3，3,求直线和双曲线的方

17、程解e，b22a2，双曲线方程可化为2x2y22a2。设直线l的方程为yxm.由得x22mxm22a20，4m24（m22a2)0，直线l一定与双曲线相交设p(x1，y1)，q（x2，y2），则x1x22m，x1x2m22a2.3，xr0,x13x2，x2m，3xm22a2.消去x2，得m2a2.x1x2y1y2x1x2(x1m)（x2m)2x1x2m（x1x2)m2m24a23，m1，a21，b22.直线l的方程为yx1，双曲线的方程为x21.13。已知双曲线c的中心在坐标原点，焦点在x轴上,离心率e，虚轴长为2.(1）求双曲线c的标准方程；（2)若直线l：ykxm与双曲线c相交于a,b两点(a，b均异于左，右顶点），且以ab为直径的圆过双曲线c的左顶点d，求证:直线l过定点，并求出该定点的坐标(1）解设双曲线的标准方程为1(a0,b0），由已知，得，2b2，又a2