八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球学生版

1、八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径，三棱锥与长方体的外接球相同）方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式（2 R）2 a2 b2 c2，即2R , a2 b2 c2，求出R例1 （ 1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A. 16 B . 20 C . 24 D . 32（2） 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为,3，则其外接球的表面积是 （3）在正三棱锥 S ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且 AM MN,若侧棱SA Z 3 ,则正三棱锥S ABC外接球的表面积

2、是。解：引理：正三棱锥的对棱互垂直 ，证明如下： 如图（3） -1，取AB, BC的中点D,E，连接AE,CD , AE, CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形 ABC的中心， SH 平面ABC ,AC BC , AD BD , CD AB, AB 平面 SCD,同理：BC SA, ACSB，即正三棱锥的对棱互垂直,本题图如图（3） -2 ,AMMN , SB/MN ,AMSB, ACSB , SB 平面 SAC ,(3)题-1SBSA, SB SC,SB SA, BC SA,SA平面SBC ,SA SC ,故三棱锥S ABC的三棱条侧棱两两互垂直，(2R)2(2.3)2(2.3)2(2

3、.3)236 ,即 4R236 ,外接球的表面积是36(4)在四面体S ABC中，SA 平面ABC , BAC120 ,SA AC 2, AB1,则该四面体的外接(5)(6)球的表面积为（）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 已知某几何体的三视图如图上右所示，三视图是腰长为 贝U该几何体外接球的体积为 6、4、3,那么它的外接球的表面积是 1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形,类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1.题设：如图5, PA平面ABC 解题步骤：第一步：将 ABC画在小圆面上， A为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD，连接PD，贝U PD必过球心O ;第二步

4、：O1为ABC的外心，所以OO1平面ABC，算出小圆Q的半径O1Dr （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得asin Abc12r), OO1 丄 PA ； sin B sin C2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：2 2 2 1 2 2(2R) PA (2r) 2R PA (2r)； R2 r2 OO12R r2 OQ22.题设：如图6, 7, 8，P的射影是 ABC的外心 三棱锥P ABC的三条侧棱相等 三棱锥P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点 P点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心 0的位置，取 ABC的外心01，则P,O,O1三点共线;第二步：先算出小圆 01

5、的半径A01 r，再算出棱锥的高 P01 h (也是圆锥的高)；第三步：勾股定理：OA2 OiA2 O1O2R2 (h R)2 r2，解出R.例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为C.旦D .以上都不对3类型三、切瓜模型(两个平面互相垂直)1.题设：如图 9-1，平面PAC 平面ABC，且AB BC (即AC为小 圆的直径)第一步：A. 3B. 2mis第二步:2. 如图3. 如图 心易知球心 0必是 PAC的外心，即 PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径2R，求出 R。sin B sin CBC (即AC为小圆的直径)BC (即AC为小圆的直径)，且P的射影是 P

6、ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点在 PAC中，可根据正弦定理 -sin A9-2，平面PAC 平面ABC，且AB9-3，平面PAC 平面ABC，且AB三棱锥P ABC的三条侧棱相等三棱AC2r ；ABC的外P点也是圆方法二：小圆直径参与构造大圆。锥的顶点 解题步骤:第一步:确定球心 0的位置，取 ABC的外心01，则PQOj三点共线;第二步：先算出小圆 O1的半径AO1 r，再算出棱锥的高 PO1 h (也是圆锥的高)；第三步：勾股定理：OA2 O1A2 O1O2R2 (h R)2 r2，解出R4.如图9-3，平面PAC 平面ABC，且AB BC (即AC为小圆的直径)，且PA AC，贝

7、U利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 PA2 (2r)22RPA2 (2r)2 ； R2 r2 OO12R r2 00：例3 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上， 若该棱锥的高为1，底面边长为2 3，则该球的表面积为 (2) 正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为一 2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为(3) 在三棱锥P ABC中，PA PB PC . 3 ,侧棱PA与底面ABC所成的角为60 ,则该三棱锥外接球的体积为()A.B.C. 43D.43（4）已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球 0的求面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球0的直径,且SC2;则此棱锥的体

8、积为（）AB.乜C .辽6632类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）题设：如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以 是任意三角形）第一步：确定球心 O的位置，01是 ABC的外心，则001 平面ABC ；11第二步：算出小圆 0“的半径A01 r，001 -AA1 -h（ AA, h也是圆柱的高）；22第三步：勾股定理： 0A2 01A2 0Q2R2 （-）2 r2 R . r2 （h）2，解出 R2V 2例4（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，9且该六棱柱的体积为 -，

9、底面周长为3，则这个球的体积为8（2） 直三棱柱 ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若 AB AC AA1 2 , BAC 120，则此 球的表面积等于。（3） 已知 EAB所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直，EA EB 3, AD 2, AEB 60 ，则多面体E ABCD的外接球的表面积为。（4） 在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AB 4, AC 6, A,AA1 4则直三棱柱 ABC A1B1C1的外接球3的表面积为。类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠（如图11）第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出 BCD和 A

10、BD的外心H1和H2 ；第二步：过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心 0，连接0E,0C ；第三步：解 0EH1，算出0H1，在Rt 0CH1中，勾股定理： OH； CH12 0C2例5三棱锥P ABC中，平面PAC 平面ABC， PAC和厶ABC均为边长为2的正三角形，贝U三棱 锥P ABC外接球的半径为.类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等， 求外接球半径（AB CD , AD BC , AC BD ） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为 a,b,c, AD

11、BC x, AB CD y, AC BD z，列方程组,2 ab22 x22 2b22 c2y(2R)22 ab22 xy z22 c2 a2 z补充:VaBCDabc -abc4 -abc63 j 222第三步：根据墙角模型，2R . a2 b2 c2 . x一y一zV 22 2 2 2 2 2_2 x y zx y zR, R 、 ，求出 R,8 8例如，正四面体的外接球半径可用此法。例6（ 1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆

12、上，则该正三棱锥的体积是（）A. 3-3B . C . -2 D .图12（3）在三棱锥ABCD中，若ABCD2, ADBC3, ACBD4,则三棱锥A BCD外接球的AB CD 5, AC BD 6,AD BC 7,则该三棱锥外接球的表面积类型七、两直角三角形拼接在一起（斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥）模型题设：APBACB90 ,求三棱锥PABC外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O,连接OP,OC，则 OA OBOC1OPAB ,2O为三棱锥P ABC外接球球心，然后在OCP中求出半径）例7 (1)在矩形ABCD中，AB 4, BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二一面角

13、 BAC D ,. 2，则该正面体外接球的体积为表面积为。（4）在三棱锥A BCD中,为.（5）正四面体的各条棱长都为则四面体ABCD的外接球的体积为（125)125A.逻12（2）在矩形ABCD中， 的外接球的表面积为_ 类型八、锥体的内切球问题1题设：如图14，三棱锥P ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。9AB 2, BC6沿BD将矩形ABCD折叠,第一步:先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心;第二步:1求 DH -BD , PO PH r, PD是侧面3ABP的高;第三步:由 POE相似于 PDH，建立等式： 坐DH PD凹，解出r1253连接AC ,所得三棱锥 A BC

14、DC图1443412第一步:先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线；第二步:求1 FHBC2 ，POPH r , PF是侧面PCD的高;第三步:由POG相似于PFH，建立等式：OGHFPO，解出PF2.题设：如图15，四棱锥P ABC上正四棱锥，求其外接球的半径3题设：三棱锥 P ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；pD第一步：设内切球的半径为r，建立等式：VpabcVoabcVopabVopacVopbc第三步：解出r3Vp ABCSO ABCSO PABSO PACSoPBC习题：1 若三棱锥S ABC的三条侧棱两两垂直，且SA 2，SB SC 4，则该三棱锥的外接球半径为 （）A. 3B. 6C. 36D. 92. 三棱锥S ABC中，侧棱SA 平面ABC，底面ABC是边长为3的正三角形，SA 2 3，则该三 棱锥的外接球体积等于.3. 正三棱锥S ABC中，底面ABC是边长