2013-2014学年第一学期概率论与数理统计阶段测验（二）试卷答案

1、2013-2014学年第一学期概率论与数理统计阶段测验试卷（一）答案 Page 9 of 9北 京 交 通 大 学20132014学年第一学期概率论与数理统计阶段测验（二）试卷参 考 答 案一（本题满分8分） 将三封信随机投入编号为1、2、3、4的四个信箱，记为1号信箱内信的数目，表示有信的信箱数目，求：二维随机变量的联合分布律（5分）及随机变量与各自的边缘分布律（3分） 解： 的可能取值为0，1，2，3；的可能取值为1，2，3 的联合分布律以及与各自的边缘分布律为 1230123二（本题满分8分） 设二维随机变量的联合密度函数为 试确定常数（4分）； 求随机变量的边缘密度函数（4分） 解：

2、所以， 当时， 因此，的边缘密度函数为三（本题满分8分） 某人有把钥匙，其中只有一把能打开他的房门，他逐个试开，试过的不再重试令表示试开次数，求随机变量的数学期望（4分）与方差（4分） 解： 随机变量的取值为，并且， ， ，所以， 四（本题满分8分） 设随机变量，再设求随机变量的数学期望（4分）与方差（4分） 解： 随机变量的密度函数为， 所以， ，令，则，代入上式，得 ， ，所以，五（本题满分8分） 设甲、乙两种电器的使用寿命与都服从指数分布，其密度函数分别为 与 其中，都是参数并且与相互独立试求甲种电器的使用寿命不超过乙种电器的使用寿命的概率 解： 因为随机变量与相互独立，所以的联合密度函

3、数 所求概率为，则有 六（本题满分8分） 某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为70件、20件、10件现从中抽取一件产品，记 试求与的相关系数，并判断与是否相互独立？ 解： 的联合分布律及各自的边缘分布律为 0100.10.20.310.700.70.80.2所以， 又 ，所以， ，由于，所以随机变量与相关，从而随机变量与不独立七（本题满分8分） 设随机变量与满足：，试用Chebyshev（切比雪夫）不等式估计概率 解： ， ，所以，由Chebyshev（切比雪夫）不等式，有 八（本题满分8分） 设随机变量相互独立，都服从区间上的均匀分布，令，求的密度函数（4分）以及（4分） 解： 的

4、密度函数为，分布函数为 所以，随机变量的密度函数为 所以，九（本题满分8分） 设随机变量与相互独立而且具有相同的分布，其中的分布律为令：，求二维随机变量的联合分布律，以及与各自的边缘分布律（6分）并说明随机变量与是否相互独立（2分） 解： 的联合分布律以及与各自的边际分布律为012010200由于，所以，随机变量与不相互独立十（本题满分8分） 一商店经销某种商品，每周进货的数量与顾客对该商品的需求量是相互独立的随机变量，且都服从区间上的均匀分布，商店每售出一单位该商品可得利润1000元，若需求量超过了进货量，商品可从其它商店调剂供应，这时每单位该商品可获利润500元，试求此商店经销该商品所得利

5、润的数学期望 证明： 由于与相互独立，且都服从区间上的均匀分布，所以的联合密度函数为 再设为商店所得利润，则有 所以， 十一（本题满分8分） 向平面区域内随机地投掷一点，即二维随机变量服从平面区域上的均匀分布 . 试求二维随机变量的联合密度函数； . 点到轴距离的概率密度函数； . 设，过点作轴的平行线，设为此平行线与轴、轴以及曲线所围成的曲边梯形的面积，求 解： 平面区域的面积为 所以，二维随机变量的联合密度函数为 . 点到轴距离的概率密度函数，即是分量的边缘密度函数， 当时， 所以，分量的边缘密度函数为 . 由题设，所作曲边梯形的面积为 所以， 十二（本题满分8分） 设随机变量与相互独立，且都服从标准正态分布令随机变量试求随机变量的密度函数 解： 由题意，得 ， 设随机变量的分布函数为，则 当时，； 当时， 作极坐标变换，则有 所以，随机变量的分布函数为所以，随机变量的密度函数为 十三（本题满分