函数的奇偶性单调性周期性综合

1、第二讲函数的奇偶性单调性周期性综合A 组一、选择题（2018年全国卷理科）已知 f (x) 是定义域为 (,) 的奇函数，满足1f (1x)f (1x) 若 f (1)2 ，则 f (1)f (2)f (3)f (50)（）A 50B 0C 2D 50【答案】 C【解析】f ( x) 是定义域为 (,) 的奇函数，f (x)f ( x) 且 f (0)0f (1x)f (1 x),f ( x)f (2 x), f (x)f ( 2x)f (2x)f ( x),f ( 4x)f (2x)f (x)f ( x) 是周期函数，且一个周期为4f (4)f (0)0, f (2)f (1 1)f (11

2、)f (0)0f (3)f (12)f (12)f (1)2 ， f (1)2f (1)f (2)f (3)f (50)120f (49)f (50)f (1)f (2)2 ，故选 C2 (2017 年高考全国1 卷理 )函数 f (x) 在 (,) 单调递减，且为奇函数若f (1)1 ，则满足1f ( x 2)1的 x 的取值范围是 ()A 2,2B 1,1C 0, 4D 1,3【答案】 D【解析】由已知，使1f ( x) 1 成立的x 满足1x 1 ，所以由1 x21得1x 3 ，即使1f( x2) 1成立的 x 满足 1x3，选 D.3 已 知 函 数 f x的 定 义 域 为 R ,

3、当 x0 时 ,f xx3 1 ,当1 x 1时,fxf x,当 x1f x 1fx1 , 则 f 6（）时 ,222A2B01C1D2【答案】 A【解析】f x1fx1T1f (6)f (1)f (1)2 ，故选 A.224定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x6)f (x) 当 x3, 1时， f ( x)(x2) 2，当 x1,3 时， f (x)x ，则 f(1)f (2)f (3)f (2017)的值为（）A.336B.337C.1676D.2017【答案】 B【解析】函数的周期T6 , 所以 f 11, f22 ， f3f31 ， f4f20 ，f 5f 11 ， f

4、 6f 00 ，即 f 1f 2f 3f 4f 5f 61 ，201763361，所以f 1f 2f 3 .f20171336f 13361337 ，故选 B.5已知fx是定义在R 上周期为2 的奇函数，当x( 0,1) 时， f ( x)4 x1 ， 则f (log 41 )（）32A 1B -1C 1D122【答案】 B【解析】f ( x) 是 定 义 在 R上的周期为2的奇函数，所以log 2111 )5)f ( 5)f (1 )f (log 4f (32 )f (4 21)1，故选 B.32log 2 42226已知函数 yf (x) 的周期为2，当 x 1,1时 f ( x)x2 ，

5、那么函数 yf ( x) 的图象与函数 y|lg x | 的图象的交点共有（）A10 个 B9个 C 8个 D 1个【答案】 A【解析】2作图如下，由图可得函数yf ( x) 的图象与函数y| lg x | 的图象的交点共有10 ，故选 A.f(x) = log (x )10864215105510152468107 已知函数f x的定义域为R . 当 x0 时， f ( x)x51；当1 x1时，f ( x)f ( x)0时，fx1fx，则f2016 =（）；当 xA -2B -1C 0D 2【答案】 D【解析】因为当 x0 时， f ( x1)f (x) ，所以当 x0 时，函数 f (

6、x) 是周期为1 的周期函数，所 以f ( 2 0 1 f6 )，又因为当1 x 1时 ，f (x)， 所 以f ( x)f (1)f (1)( 1)51 2，故选 D8已知定义在 R 上的函数f ( x) 满足 f (x)f ( x) ， f (3x)f ( x) ，则 f (2019)（ )A3B 0C 1D 3【答案】 B【解析】f ( x)f (x),f (3 x)f (x 3)， 且f ( 0)0， 又，f ( 3 x ) f ( xf ( x)f ( x 3) ，由此可得 f ( x3)f( x6) ，f (x)f (x6) ，f ( x) 是周期为 6 的函数， f（2019）

7、f（63363），f ( 2019)f (3)f (0) 0 ，故选 B.9已知 fx 在 R上是奇函数，且满足f x 5f x ，当 x0,5 时， f xx2x ，则 f 2016（）3A 12B 16C 20D 0【答案】 A【解析】因为 fx5f x ，所以 f x10fx5fx， fx的周期为10，因此f2016f4f416412 ，故选 A10定义在 R 上的函数fx满足 fx2fx0, x0,2时， f x3x1 ，则f2015 的值为（）A.-2B.0C.2D.8【答案】 A【解析】由已知可得f ( x4)f ( x2)f ( x)fx的周期 T4f2015f (3)f (1)

8、2 ，故选 A.11 已 知 函 数 f x的 定 义 域 为 R , 当 x0 时 , f xx3 1 ,当1 x 1时, fxf x ,当 x11f x1 ,则 f6（）时 , f x222A 2B 0C 1D 2【答案】 A【解析】x1f x1f1T12xf (1)f (1)(11)2.当2 时 ,2, 所以 f 6选 A.12已知 fx在 R 上是奇函数， 且满足 fx5fx ，当 x0,5 时， f xx2x ，则 f 2016（）A -12B -16C -20D 0【答案】 A【解析】fxfx5fxf x 10 ， f2016f6 ，又 f 6f104f4 ，所以 f4f412.1

9、3已知定义在 R上的奇函数f x满 足 f x+3 = - fx ， 且 f-2 =1，则( )()( )()f(2 0 1 6 + f(2017=（）)4A 0B -1C 1D 2【答案】 B【解析】因 为 f ( x+3) = - f( )x ， 则 f x 6f x 3f x ， 所 以 函 数 的 周 期 为6 2016336 6， 201733661，则 f2016f 2017f0f 1 ，又函数 为 奇 函 数 且 f (- 2) =1 ， 所 以 f 00 ， f 1f21，所以f 2 0 1 6 f2 0 1，7选 B1二、填空题14已知 f ( x) 的定义域为 R，且 f

10、(xy)f ( x)f ( y) 对一切正实数x， y 都成立，若f (8) 4 ，则 f (2)_。【答案】 1【解析】在条件 f ( xy)f (x)f ( y) 中，令 xy4 ，得f (8)f (4)f (4)2 f (4)4 ，f (4)2 ，又令 xy2 ， 得 f (4)f (2)f (2)2 ，f (2)115 定义在R 上的奇函数f (x) ，对于xR ，都有f ( 3x)f ( 3x) ，且满足44f (4)2 ， f ( 2)m3 ，则实数 m 的取值范围是.m【答案】 m1 或 0m3【解析】3x)3x) ，因此函数f ( x) 图象关于直线 x3由 f (f (对称，

11、又 f ( x) 是奇函数，因444此它也是周期函数，且T 433 ， f ( 4 )， f ( 4 )f ( 4 )， 4223f ( 2 )f ( 2 32 ) f(，4即 m2 ，解得 x1或 0x3 .m16已知 f (x) 是定义在 R 上的函数，且满足： f (x2)1f ( x)1f ( x) ， f (1)2018 ，则 f 2017的值为；【答案】 2018【解析】紧扣已知条件，并多次使用，发现f ( x) 是周期函数，显然f ( x)1 ，51 f ( x)1 f ( x 2)11f ( x)1于是 f (x， f ( x1f ( x)2)4)1f ( x)f ( x)1

12、f ( x)1 f (x 2)11f ( x)所以 f ( x1f (x) ，故 f (x) 是以 8 为周期的周期函数，8)f (x4)从而 f 2017 f (8 252 1)f (1) 2018；17 对 于 函 数 yf xx R , 给 出 下 列 命 题 ： 在 同 一 直 角 坐 标 系 中 ,函 数y f 1 x 与 yf x1 的图象关于直线 x 0 对称；若若f1xfx1f1xfx1, 则函数, 则函数y f x 的图象关于直线 x 1 对称；yfx 是周期函数；若 f 1 xf x 1, 则函数 yfx的图象关于0,0对称 .其中所有正确命题的序号是【答案】【解析】很明显

13、不满足题意； 不满足题意； 由 f1xfx 1 可得 f xf x 4 知周期为 4 的周期函数；由f 1 xfx1得 fxfx 可知函数是奇函数，则图象关于0,0 对称，符合题意故正确18有下列4 个命题 :若函数f ( x) 定义域为R, 则 g( x) f (x)f (x) 是奇函数 ;若函数f ( x) 是定义在R 上的奇函数 ,xR , f (x) f (2 x) 0 , 则 f ( x) 图像关于x1对称;已知 x1 和 x2 是函数定义域内的两个值( x1x2 ) , 若 f (x1)f (x2 ) , 则 f (x) 在定义域内单调递减 ;若 f ( x) 是定义在R 上的奇函

14、数 , f (x2)也是奇函数 , 则 f ( x) 是以 4 为周期的周期函数其中 , 正确命题是（把所有正确结论的序号都填上）【答案】6【解析】 gxfxfxf xfxg x所以函数是是奇函数， 若 f (x) 图像关于 x1对称则应有f0f 2 ，由 f (x)f (2x)0可得 f0f 20 所以不一定成立， x1 , x2 值的取法应该是任意的， 因为 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数 ,f (x2) 也是奇函数 ,所以fxf x1 , fx 2f x 22 ,由1可得fx 2f x 2 ， 将 3 代 入2 可 得f x2f x 2即f x2fx2，所以 f ( x) 是以

15、4 为周期的周期函数；故填三、解答题19已知函数fxlgx1（1）若0f 12xfx1，求实数 x 的取值范围；（2）若 gx是以 2 为周期的偶函数， 且当 0x 1时，有 gxfx ，当 x1,2时，求函数 ygx的解析式【解析】（1）由22x0x1，x10得 1由 0lg 22xlgx122x1，得 12 2x10 ，lg1x1x因为 x10 ，所以 x122x10x10，211x121x21 ，得解得33，由xx3333所以实数 x 的取值范围是 (2,1)33（2）依题意 得，当x 1,2时，2x0,， 1因此ygx2gx 2g2 xf l . g x3xB 组一、选择题71已知定义

16、在R 上的函数 f (x) 满足： yf (x 1) 的图象关于 (1,0)点对称， 且当 x0 时恒有 f( x3 )f(x1 ) ，当 x0,2)时， f (x)ex1，则 f 2016)(2015)f（）A 1e22 e1BC 1eD e1【答案】 A【解析】yf (x1)的图象关于 (1,0)点 对 称 ， 则 fx关于原点对称.当 x0时恒有f ( x3f ( x1数fx2 .) 即 函的周 期为所以22f (20 f1 6 )f (2 f0 . 1 5 e)0112已知定义在R 上的函数 fx的图像关于y 轴对称，且满足f (x +2) = f (- x) ，若当x?0,1 时，

17、fx)= 3x- 1 ，则的flog 1 10值为（）(3A3 B 10C 2D 109327【答案】 D【解析】定义在 R 上的函数 f (x) 的图像关于 y 轴对称， 所以函数该函数是偶函数，满足函数 f (x)满足f (+x2) = ( f ) - x (= ，)f所x 以 该 函 数 的 周 期 是 2，log 1 10 = - log 3 10,2 log3 10 3,- 3 log 1 10 - 2，- 1 log 1 10 +2 0，3330 - log 1 10 - 2 1的若当x? 0, 时1f (x) = 3x- 1，则3log1 102 110f log 110f lo

18、g110 2flog1102=33=3log3 103 333327, 故选 D3已知函数 f ( x) 是定义在R 上的偶函数，若对任意 xR ，都有 f ( 4 x)f ( x) ，且当 x 0,2 时， f (x) 2x1，则下列结论不正确的是（）A. 函数 f ( x) 的最小正周期为4B. f (1) f (3)C. f (2016 ) 08D.函数 f ( x) 在区间 6,4 上单调递减【答案】 B【解析】因为函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数， 所以 f ( 4x)f (x)fx ，可得函数 f (x) 的最小正周期为4，A 正确；f (2016)f5044f00 2

19、1 0，C 正确；而f 3f1f1 ，B 错；故选 B.4函数 f ( x) 对于任意实数x 满足条件 f ( x 2)1，若 f (1)5 ，则 f ( f (5)（）f ( x)A5B5C 15D15【答案】 D【解析】由题意得,f ( x)f ( x4)，则f (5)f (1)5，那么f ( f (5)f (5)f ( 1)115故选 Df (1)5若 f ( x) 是 R上周期为5 的奇函数，且满足f (1)1, f (2)2, f(23)f (14)（）A 1B 1C 2D 2【答案】 A【解析】由题意，得f (23) f ( 2)f (2)2, f (14)(1)1 ，则 f (2

20、3)f (14)1；故选 A6已知定义在实数集上的函数 f (x) 满足： f (2x)f (x)； f (x2)f( x2)；当x1 , x21,3时， f ( x1)f (x2 )0，则f (2014)、f (2015)、f (2016)满足（）x1x2A f (2014)f (2015)f (2016)B C f (2016)f (2014)f (2015)D f (2016)f (2015)f (2014)f (2016)f (2014)f (2015)【答案】 D【解析】由 fx2fx2 可得 f (x4)f ( x) , 即函数f (x) 是周期为 4 的周期函数且函数f ( x)

21、在区间1,3上是单调递增,由题设可得9f (2016 )f (0), f ( 2015)f (1)f (3), f ( 2014)f (2)f (0) , 故应选 D7函数 f ( x) 的定义域为 R ，以下命题正确的是（）同一坐标系中，函数yf (x1) 与函数 yf (1x) 的图象关于直线 x1对称；函数 f ( x) 的图象既关于点(3 ,0)成中心对称，对于任意x ，又有 f ( x3)f ( x) ，342则 f (x) 的图象关于直线x对称；2函数 f ( x) 对于任意 x ，满足关系式f ( x2)f (x4) ，则函数 yf (x3) 是奇函数.ABCD【答案】 D【解析

22、】正确， 因为函数 yf x与 yfx关于 y 轴对称， 而 yf x1 和 yf 1x 都是 yf x与 yfx 向右平移 1 个单位得到的， 所以关于直线 x1 对称； 正确， 因为函数关于点-3，0 成中心对称，所以f3xf x，而 f (x3 )f (x) ，所422以 f3xf3x，即 fxf x，又根据 f ( x3)f ( x) ，可得函数的周222期 T3, 又有 fxfx ，所以 f x3fx3f x3，所以函数关于222直线 x3x2x43，所以函数 fx 关于点3,0对称，对称； 正确， 因为22而函数 yfx3是函数 yfx向左平移 3个单位得到，所以函数yfx 3是奇函数 . 故 3 个命题都正确，故选D.8已知定义在R 上的函数满足条件f ( x3)f ( x) ，且函数 y f ( x3 ) 为奇函数，则下24面给出的命题中错误的是（）A函数 yf ( x) 是周期函数，且周期T=3B函数 yf ( x) 在 R 上有可能是单调函数C函数 y