高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课时提升作业2 新人教A版选修1-2(2021年最新整理)

1、高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课时提升作业2 新人教a版选修1-2高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课时提升作业2 新人教a版选修1-2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课时提升作业2 新人教a版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您

2、生活愉快 业绩进步，以下为高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法课时提升作业2 新人教a版选修1-2的全部内容。- 11 -反证法(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分）1。(2014山东高考)用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）a.方程x2+ax+b=0没有实根b.方程x2+ax+b=0至多有一个实根c.方程x2+ax+b=0至多有两个实根d.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根【解析】选a.“方程x2+ax+b=0至少有一个实根”的反面是“方程x2+ax+b=0没有实根。【补偿训练】(2015海口高二检测)

3、用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60时，应假设()a。三个内角都不大于60b。三个内角都大于60c。三个内角至多有一个大于60d。三个内角至多有两个大于60【解析】选b。三个内角至少有一个不大于60，即有一个、两个或三个不大于60，其反设为都大于60,故b正确.2。命题“关于x的方程ax=b(a0)的解是唯一的”的结论的否定是（）a.无解b。两解c.至少两解d.无解或至少两解【解析】选d.“解是唯一的”的否定是“无解或至少两解。3。实数a，b，c满足a+2b+c=2，则(）a。a，b，c都是正数b。a，b，c都大于1c。a，b,c都小于2d.a,b，c中至少有一个不小于12【解

4、析】选d.假设a，b,c均小于12，则a+2b+c12+1+12=2，与已知矛盾，故假设不成立,所以a,b，c中至少有一个不小于12.4。已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a,那么c与b的位置关系为()a。一定是异面直线b.一定是相交直线c.不可能是平行直线d.不可能是相交直线【解析】选c.假设cb,而由ca，可得ab,这与a,b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线.5.（2015杭州高二检测)设a，b,c大于0，则3个数：a+1b，b+1c，c+1a的值（）a。都大于2b。至少有一个不大于2c.都小于2d。至少有一个不小于2【解题指南】由基本不等式知三个数的和不小于6，可以判断三个数至少有

5、一个不小于2，所以可假设这三个数都小于2来推出矛盾。【解析】选d。假设a+1b，b+1c，c+1a都小于2，即a+1b2，b+1c0，所以a+1b+b+1c+c+1a=a+1a+b+1b+c+1c2+2+2=6.这与假设矛盾，所以假设不成立。二、填空题（每小题5分，共15分）6。(2015西安高二检测）“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定是。【解析】该命题的否定有两部分，一是任何三角形，二是至少有两个，其否定应为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角.答案:“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”【延伸探究】命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是。【解析】“最多”的反面是“最少”

6、，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角.答案:“三角形中最少有两个内角是直角”7.（2015广州高二检测)用反证法证明命题：“已知a，bn+，如果ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为。【解析】由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证。命题“a，bn+，如果ab可被5整除，那么a，b中至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”.答案：a，b都不能被5整除8.（2015郑州高二检测）对于定义在实数集r上的函数f（x）,如果存在实数x0，使f（x0）=x0,那么x0叫做函数f(x）的一个好点。已知函数f(x)

7、=x2+2ax+1不存在好点，那么a的取值范围是。【解析】假设f(x）=x2+2ax+1存在好点，亦即方程f（x）=x有实数根，所以x2+（2a1)x+1=0有实数根，则=（2a1)24=4a2-4a30，解得a-12或a32，故当f(x）不存在好点时，a的取值范围是-12a32。答案：-12,32三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列。【证明】假设a，b，c成等差数列，则a+c=2b,即a+c+2ac=4b。又a，b，c成等比数列，所以b2=ac，即b=ac，所以a+c+2ac=4ac，所以a-c2ac=0，即

8、(a-c）2=0,所以a=c，从而a=b=c,所以a，b,c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾.原假设错误，故a,b,c不成等差数列。【拓展延伸】用反证法证明数学命题的步骤10.（2015吉安高二检测）已知函数f（x）=x3x2，xr.(1）若正数m，n满足mn1，证明：f(m），f(n）至少有一个不小于零.（2)若a，b为不相等的正实数且满足f(a)=f（b)，求证a+b43。【证明】（1）假设f（m）0且f(n）0，即m3-m20，n3-n20，n0，所以m10，n-10，所以0m1，0n1，所以mn1这与mn1矛盾，所以假设不成立，即f（m），f(n）至少有一个不

9、小于零。(2)由f(a)=f（b）得a3a2=b3-b2，所以a3b3=a2b2,所以（a-b）(a2+ab+b2）=(a-b)（a+b），因为ab，所以a2+ab+b2=a+b，所以（a+b）2(a+b)=aba+b22，所以34（a+b)2(a+b)0，所以a+b43.(20分钟40分）一、选择题（每小题5分，共10分)1.(2015济南高二检测）（1)已知p3+q3=2，求证p+q2.用反证法证明时，可假设p+q2.(2）已知a,br，|a+|b0，则p，q，r同时大于零或其中两个为负，不妨设p0，q0,r0，因为p0,q0,即a+bc，b+ca，所以a+b+b+c0矛盾，所以p，q,r

10、同时大于零.【补偿训练】若abc能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是()a。钝角三角形b.直角三角形c.锐角三角形d。不能确定【解析】选b.分abc的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线ad（点d在bc上），则adb+adc=，若adb为钝角，则adc为锐角。而adcbad，adcabd，abd与acd不可能相似，与已知不符，只有当adb=adc=bac=2时,才符合题意。二、填空题（每小题5分，共10分)3。用反证法证明质数有无限多个的过程如下:假设.设全体质数为p1，p2，,pn，令p=p1p2pn+1。显然，p不含因数p1，p2,pn。故p要么是质数，要么含有

11、的质因数.这表明，除质数p1，p2，pn之外,还有质数，因此原假设不成立.于是,质数有无限多个.【解析】由反证法的步骤可得.应假设质数只有有限多个，故p要么是质数，要么含有除p1，p2,pn之外的质因数.答案:质数只有有限多个除p1，p2，pn之外4.(2015石家庄高二检测）设a,b是两个实数，给出下列条件：a+b=1;a+b=2；a+b2；a2+b22。其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是（填序号）。【解题指南】可采用特殊值法或反证法逐一验证。【解析】若a=13，b=23，则a+b=1，但a1，b1，故不能推出。若a=b=1，则a+b=2,故不能推出.若a=-2，b=1，则a2+

12、b22，故不能推出.对于，即a+b2，则a，b中至少有一个大于1。反证法:假设a1且b1，则a+b2与a+b2矛盾，因此假设不成立,故a，b中至少有一个大于1.答案：三、解答题（每小题10分，共20分)5.(2015宜昌高二检测）已知函数f（x)=x22x-2，如果数列an满足a1=4，an+1=f(an），求证:当n2时，恒有an3成立。【证明】假设an3(n2)，则由已知得an+1=f（an）=an22an-2，所以当n2时，an+1an=an2an-2=121+1an-1121+12=341(因为an13-1），又易证an0，所以当n2时，an+12时，anan1a2;而当n=2时,a2

13、=a122a1-2=168-2=833，所以当n2时,an3；这与假设矛盾，故假设不成立，所以当n2时,恒有an3成立。【一题多解】由an+1=f（an）得an+1=an22an-2,所以1an+1=-2an2+2an=21an-122+1212，所以an+10或an+12.（1)若an+10，则an+103,所以结论“当n2时,恒有an3”成立.(2）若an+12,则当n2时，有an+1an=an22an-2an=-an2+2an2(an-1)=-an(an-2)2(an-1)0，所以an+1an，即数列an在n2时单调递减.由a2=a122a1-2=168-2=833，可知ana23，在n

14、2时成立。综上，由(1）、(2)知:当n2时，恒有an3成立.6.先解答（1)，再通过类比解答(2):(1)求证：tanx+4=1+tanx1-tanx；用反证法证明：函数f(x)=tanx的最小正周期是。（2）设xr，a为正常数，且f（x+a)=1+f(x)1-f(x)，试问：f(x)是周期函数吗?证明你的结论.【解题指南】本题考查的知识点是类比推理，在由正切函数的周期性类比推理抽象函数的周期性时,我们常用的思路是:由正切函数的周期性，类比推理抽象函数的周期性；由正切函数的周期性的证明方法，类比推理抽象函数的周期性的证明方法。【解析】（1）tanx+4=tanx+tan41-tanxtan4=1+tanx1-tanx.假设t是函数f(x)=tanx的一个周期，且0t，则对任意x2+k，kz,有tan(x+t)=tanx，令x=0得tant=0，而当0t时,tant0恒成立或无意义，矛盾，所以假设不成立，原命题成立。(2）由（1)可类比出函数f(x）是周期函数,它的最小正周期是4a。因为f(x+2a）=f(x+a+a）=1+f(x+a)1-f(x+a)=1+1+f