完整全等三角形的相关模型总结2推荐文档

1、全等的相关模型总结一、角平分线模型应用1角平分性质模型：I)(1) 例题应用:辅助线：过点G作GE 射线AC如图1,在ABC中距离是90, AD平分CABBC 6cm,BD 4cm,那么点d到直线ab的cm.如图2，已知，12，34.求证：AP平分BACA图1图2 2 (提示：作DE AB交AB于点E) 12 PM PN 34 PN PQ PM PQ, PA 平分 BAC(2) .模型巩固:练习一：如图3，在四边形ABCD中，BCAB，AD=CD，BD平分 BAC.求证：A C 180练习二：已知如图4,四边形ABCD中，B D 1800,BC CD求证：AC平分 BAD.练习三：如图5 Rt

2、 ABC中， ACB 90 , CD AB,垂足为D , AF平分 CAB,交cd于点E 交CB于点F.(1)求证：CE=CF.(2)将图5中的 ADE沿AB向右平移到 ADE的位置，使点E落在BC边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：BE于CF又怎样的数量关系？请证明你的结论图5图6练习四：如图 7，/ A 90，AD / BC，P是AB的中点，PD平分/ ADC求证：CP平分/ DCBC图7练习五：如图 8, AB AC / A的平分线与 BC的垂直平分线相交于 D,自D作DEL AB, DF丄AC,垂足 分别为E, F.求证：BE=CF图8练习六：如图9所示，在 ABC中，BC边的垂直

3、平分线 DF交厶BAC的外角平分线 AD于点D, F 为垂足，DE丄AB于E,并且 ABAC。求证：BE AC=AE。练习七： 如图10, D、E、F分别是 ABC的三边上的点， CE=BF，且 DCE的面积与厶 DBF的面积相等，求证：AD平分/ BAC 。2角平分线+垂线，等腰三角形比呈现辅助线：延长 ED交射线OB于F辅助线：过点E作EF /射线0B(1) 例题应用：.如图1所示，在 ABC中，/ ABC=3 / C, AD是/ BAC的平分线，BE丄AD于F。求证：BE -(AC AB)2证明：延长BE交AC于点F。已知：如图2，在 ABC中，BAC的角平分线AD交BC于D,且AB A

4、D,1作CM AD交AD的延长线于 M.求证：AM (AB AC)2/J图2分析：此题很多同学可能想到延长线段 在于AB=AD，由此我们可以猜想过例题变形：如图，1CM，但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此题突破口就 C点作平行线来构造等腰三角形 证明：过点 C作CE / AB交AM的延长线于点 E.2 B为AC的中点 CM FB于M , AN FB于N.求证：EF 2 BM ；FB -(FM FN). 2.模型巩固:练习一、 如图3,A ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 , BD平分/ ABC交AC于点D, CE垂直于BD交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE练习一变形：如图 4

5、,在厶ODC中,D 900 ,EC是 DCO的角平分线，且 OE CE过点E作EF OC交OC于点F猜想：线段EF与OD之间的关系，并证明图4练习二、如图 5，已知 ABC中，CE平分/ ACB，且 AE丄CE ,Z AED +Z CAE = 180度，求证:DE / BCC练习三、如图 E是DC中点。6，AD丄DC，BC丄DC，E是DC上一点，AE平分/ DAB，BE平分/ ABC，求证：点练习四、如图 7 (a).BD、CE分别是 ABC的外角平分线，过点 A作AD BD、AECE,垂足分另U是 D、E,连接DE求证:DE / BC, DEg(AB BC AC)图 7 (a)、如图7 (b

6、), BD、CE分别是ABC的内角平分线，其他条件不变;、如图7 (c), BD为ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线，其他条件不变.则在图7 (b)、图6 (c)两种情况下，DE与BC还平行吗？它与 ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你 的猜测，并证明你的结论.(提示：利用三角形中位线的知识证明线平行)练习五、如图8，在直角三角形 ABC中， C 90 , A的平分线交BC于D .自C作CG AB交AD 于E，交AB于G .自D作DF AB于F，求证：CF DE .C练习六、如图9所示，在ABC中，AC且交AD的延长线于 F，求证MF练习六变形一：如图10所示,点，求证DE IIA

7、B且练习六变形二：如图11所示,AB AC 2AM .练习七、如图12,在ABC中, 么如图13,已知在 ABC中，AB , M为BC的中点,AD是 BAC的平分线，若CFAD1 AC AB2C图9AD是 ABC中 BAC的外角平分线， CD AD于D , E是BC的中1(AB AC).2DEABC 中,BABC 3 C ,图10AD 平分 BAC , AD AB , CMAD于M，求证C图11BAC的平分线 AD交BC与D 则有AB12 , BE AE .求证：AC ABBD AC 那2BE A2图12图13练习八、在 ABC中，AB 3AC , BAC的平分线交 BC于D，过B作BE AD

8、 , E为垂足，求证: AD DE .C练习九、 AD是 ABC的角平分线， BE AD交AD的延长线于 E , EF / AC交AB于F . 求证：AF FB .3角分线，分两边，对称全等要记全两个图形的辅助线都是在射线 OA上取点B,使OB=OA，从而使 OAC OBC.(1).例题应用： 、在 ABC中，/ BAC=60，/ C=40 , AP平分/ BAC交 BC于 P, BQ平分/ ABC交 AC 于 Q 求证：AB+BP=BQ+AQ思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路：本题要证明的是AB+BP=BQ+A势较为复杂，我们可以通过转化的思想

9、把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过0作BC的平行线。得AQO得至U OD=OQAD=AQ只要再证出BD=O就可以了。图A 如图过。作交Ab于D.交AC于E, KUAADOAAQO, AEO空 AEO从而得以解决-图(3) 如图(4),过P作PD/7BQ交AB的延长续于D,则AAPDAAPCA而 得以解决.Dr 如图(5),过P作PD/ BQ交AC于。，则厶ABPA ADP从而得以解决图小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形 而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转 移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不

10、论是作平行线还是倍长中线，实质都是对 三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。、如图所示，在 ABC中，AD是 BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较 PB PC与AB AC的大小，并说明理由.E【解析】PB PC AB AC，理由如下.练习五、在 ABC中，AB 2AC,AD平分 BAC , E是AD中点，连结 CE，求证：BD 2CE【解析】在AB上截取AEAC，连结 EP，根据 SAS证得 AEP 旦 ACP，二 PE PC , AE AC又BEP中，BEPB PE , BE AB AC，二 AB ACPB PC(2)、模型巩固:练习一、如图，在 AB

11、C中，AD丄BC于D , CD = AB + BD，/ B的平分线交 AC于点E,求证：点 E恰好在BC的垂直平分线上。练习二、如图，已知ABC 中，AB = AC ,/ A = 100。，/ B的平分线交 AC于D,求证：AD + BD = BCA练习三、如图，已知ABC 中，BC = AC，/ C = 90,/ A 的平分线交 BC 于 D,求证：AC + CD = AB练习四、已知：在ABC中,B的平分线和外角ACM的平分线相交于 D,DF PBC,交AC于E,交AB于F,求证：EF BF CE变式：已知:求证:在厶 ABC 中， B 2 C, BD 平分 ABC , AD BQ于D,1

12、BD -AC2C练习六、已知：如图，在四边形 ABCD中, AD/ BC,BC=DC,CF平分/BCD,DF/ AB,BF的延长线交 DC于点E.求证：(1) BF=DF;(2) AD=DE.练习七、已知如图，在四边形交于点 P求证：/ APB= / CPDBC练习八、如图，在平行四边形ABCD的点，且BE、DF交于G点,BE=DF练习九、如图，在 ABC中,过 D 作 DE/ AB交 BC于 E,（两组对边分别平行的四边形）中,E, F分别是AD , AB边上，求证:为直角,求证：CT=BE.GC是/ BGD的平分线。CM 丄 AB 于 Ml, AT平分/ BAC 交 CM于 D,交 BC于

13、 T,练习十、如图所示，已知 ABC中，AD平分 BAC , E、F分别在BD、AD上. DE CD , EF AC .求 证：EF / ABED【补充】如图，在 ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF II AD交CA的延长线于点 F , 交AB于点G，若BG CF，求证：AD为 BAC的角平分线.4.中考巡礼：(1).如图1, OP是/AOB的平分线，请你利用图形画一对以 0P为所在直线为对称轴的 全等三角形，请你参考这个全等三角形的方法，解答下列问题。 、如图2,在厶ABC中，/ ACB是直角，/ B=600, AD CE是/ BAC / BCA的角平分线,相交于点F,请你判断

14、并写出EF与DF之间的数量的关系。 、如图3,在厶ABC中，/ ACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，请问，(1)中的 结论是否任然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。B(2).如图，在平面直角坐标系中，B (-1, 0), C (1, 0) D为y轴上的一点，点A为 第二象限内一动点，且/ BAC=2 / BDO，过点D作DM丄AC于M , 、求证：/ ABD= / ACD ; 、若点E在BA的延长线上，求证：AD平分/ CAE ; 、当点A运动时，(AC-AB ) /AM的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请 说明理由。二、等腰直角三角形模型操作过程:1. 在斜边上任取一

15、点的旋转全等:(1) .将厶ABD逆时针旋转900，使 ACMABD，从而推出 ADM为等腰直角三角形.(但是写辅助线时不能这样写)(2) .过点C作MC BC，连AM导出上述结论.2. 定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连AD.(1) .使 BF=AE (AF=CE )，导出 BDF ADE.(2) .使/ EDF+ / BAC= 1800，导出 BDF ADE.(1)、例题应用：在等腰直角ABE中.&4O9叽 点M犬在斜边BC上滑动，且44片=4樹 是辣究及认6之间的数量关系-.ATC丄砒解析：方法一：过点C作过点匚使X蚩二空连.空方法二：使连丄f结进二曲丄两个全等

16、的含30述(T角的三角板三角板4SU如團所示放置, E. 4. CH点在一条直线上.连接号6取0的中点甌 连接ME, 是判断EVC茁形状.并证明你的结论.证明：方法一：连接 AM，证明 MDE MAC.特别注意证明 Z MDE= Z MAC.方法二：过点M作MN丄EC交EC于点N，得出MN为直角梯形的中位线，从而导 出厶MEC为等腰直角三角形.fl(2)、练习巩固：已知：如图所示，Rt ABC中，AB=AC BAC 90，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持 AN=CM. 、是判断 OMN的形状，并证明你的结论 . 、当M、N分别在线段 AC、AB上移动时，四边形

17、AMON的面积如何变化？思路：两种方法:BL提示如右图BI)/B例题应用：已知：平面直角坐标系中的三个点BE=3，EF=5，DF=4，求 / BAE二 / DCF 为多少度在正方形ABCD中3构造等腰直角三角形(1) 、利用以上的1和2都可以构造等腰直角三角(略)(2) 、利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角 如下图：A1,，B 2, 1 , C 0,3，求/ OCA+ / OCB 的图3-1图3-2操作过程：在图3-2中，先将 ABD以BD所在的直线为对称轴作对称三角形，再将此三角形沿 水平方向向右平移一个正方形边长的长度单位，使A与M , D与E重合.度数.4.将等腰直角三角形补全为

18、正方形，如下图:图4-1J图4-2例题应用：如图，在等腰直角佃G AC=BCr N4C5FP,磅部一点，满足 fB=PCt 4J=4C 亲证：/5CP=1 評.1/BC又根据K4.ll603思路：构造正方形ACBM，可以构造出等边厶APM，从而造出，可得，再由于AP=AC,故而得到从而得证.例题拓展：若 ABC不是等腰直角三角形，即上却0，而是其他条件不变，求证：/2=2 / 1.练习巩固：在 平面直角坐标系中，A ( 0,3),点B的纵坐标为2，点C的纵坐标为0,当A、B、C三点围成等腰直角三角形时，求点(1 )、当点B为直角顶点：图3图4(3 )、当点C为直角顶点：三、三垂直模型(弦图模型

19、)由厶ABEBCD导出ED=AE-CD1.例题应用：由厶ABE BCD导 出 EC=AB-CDBAC 90例1.已知：如图所示，在 ABC中，AB=AC由厶ABE BCD导出BC=BE+ED=AB+CDD为AC中点，AF丄BD于E,交BC于F，连接DF. 求证：Z ADB= Z CDF.F23思路：方法一：过点C作MC丄AC交AF的延长线于点 M.先证 ABD CAM , 再证 CDF CMF即可.方法二：过点 A作AM丄BC分别交BD、BC于H、M.先证 ABHCAF , 再证 CDF ADH 即可.方法三：过点 A作AM丄BC分别交BD、BC于H、M.先证Rt AMF 也Rt BMH，得出

20、 HF / AC.由M、D分别为线段AC、BC的中点，可得MD ABC的中位线从而推出MD / AB，又由于 BAC 90 ,故而MD丄AC, MD丄HF，所以MD为 线段HF的中垂线.所以/仁/ 2.再由/ ADB+ /仁/CDF + Z 2，贝U/ ADB=Z CDF .例1拓展（1）:已知：如图所示，在 ABC中，AB=AC AM=CN AF丄BM于E,交 BC于F，连接NF.求证： / ADB = / CDF. BM=AF+FN思路：同上题的方法一和方法二一样拓展（2）：其他条件不变，只是将 BM和FN分别延长交于点 P,求证：PM=PN , PB = PF+AF.思路：同上题的方法一

21、和方法二一样例2如图2-1，已知AD / BC , ABE和厶CDF是等腰直角三角形，/ EAB=Z CDF=90 ,AD=2, BC=5,求四边形AEDF的面积.图2-1解析：如图2-2,过点E、B分别作EN丄DA , BM丄DA交DA延长线于点N、M. 过点F、C分别作FP丄AD, CQ丄AD交AD及AD延长线于点 P、Q.1 1 1S四边形 EAFD S AED S aDF 2?ad?en 2?ad?fp 2?ad?en fp ABE 和厶 CDF 是等腰直角三角形，二 / EAB = Z CDF= 90 , AE=AB , DF=CD. EN 丄 DA, BM 丄 DA , FP 丄

22、AD , CQ 丄 AD , a Z NMB=Z ENA= / FPD= / DQC=90 / ENA= Z MBA , Z FDP= Z QCD.： ENA ABM , FPD DQC.A NE=AM , PF=DQ .A NE+PF=DQ+AM=MQ-ADv AD / BC, CQ/ BM , Z BMN= 90 ,a四边形BMQC是矩形.a BC=MQv AD=2 , BC=5 a NE+PF=5-2=3S四边形EAFD1 2 3 3.图2-22.练习巩固：(1)、如图(1)-1,直角梯形 ABCD中，AD / BC, Z ADC= 90 , 1是AD的垂直平分线,交AD于点M ,以腰A

23、B为边做正方形 ABFE , EP丄1于点P.求证：2EP+AD=2CD.(1) -1(1) -2(2)、如图，在直角梯形 ABCD中，/ ABC=90 , AD / BC, AB=AC E是AB的中点,CE 丄 BD. 求证：BE=AD ； 求证：AC是线段ED的垂直平分线； 厶BCD是等腰三角形吗？请说明理由四、手拉手模型ABE和厶ACF均为等边三角形结论：(1) . ABF AEC(2)丄BOE=BAE= 600 (“八字模型证明”)(3) .OA 平分/ EOF拓展：条件： ABC和厶CDE均为等边三角形结论：(1)、AD=BE(2)、/ ACB= / AOB (3)、 PCQ 为等边三角形(4) 、PQ/ AE (5)、AP=BQ ( 6)、CO 平分/ AOE (7)、OA=OB+OC(8)、OE=OC+OD( 7), (8)需构造等边三角形证明)24ABD和厶ACE均为等腰直角