圆锥曲线知识点例题练习含答案整理

1、圆锥曲线一、椭圆：(1 )椭圆的定义：平面内与两个定点Fi,F2的距离的和等于常数(大于 厅芾2| L的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：2a IF1F2I表示椭圆；2a 4F1F2 |表示线段F1 F2 ； 2a ：|F1F2 |没有轨迹；(2)椭圆的标准方程、图象及几何性质:中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上标准方程2 2a b2 2笃 +笃=1(a nb 0)ab图形A小x1yIfB1汐A 23. 常用结论：(1)椭圆笃 2 -1(3 -b 0)的两个焦点为Fl, F2，过Fl的直线交椭圆于A,B两 a b点，贝U mbf2的周长= 2 2

2、(2) 设椭圆务 厶=1(a b 0)左、右两个焦点为F1, F2，过F1且垂直于对称轴的直线 a b交椭圆于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是 | PQ卜 、双曲线:B1顶点A (-a,0), A (a,0)R(0,-b),B2(0,b)A(-b,0),A2(b,0)B1(0,-a), B2 (0，a)对称轴x轴，y轴；短轴为2b，长轴为2a焦占八、八、F,-c,0), F2(c,0)F1(0,-c), F2(0,c)焦距|F1F22c(0)c2 =a2 -b2离心率eu-Wvec1)(离心率越大，椭圆越扁)a通径红 (过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段)a（1）双曲线的定义：平面内与

3、两个定点 Fi, F2的距离的差的绝对值等于常数（小于 | F1F2 |） 的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：|PFi | _| PF? |=2a 与 | PF? | - | PFi |=2a （ 2a ：| F1F2 |）表示双曲线的一支。2a =| F1F2 |表示两条射线；2aF1F2 |没有轨迹;（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质:中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上标准方程22xy2 =1(a 0,b 0)abA ( -a,0), A2(a,0)2 2笃二=1(a 0,b . 0)对称轴x轴，y轴；虚轴为2b，实轴为2a焦占八、八

4、、Fi(c,0),F2(c,0)Fi(0, -c), F2(0,c)1022 丄，2|FiF2=2c(c 0) c a b离心率渐近线e=c(e 1)a.byXa（离心率越大，开口越大）yxb因式分解得到工=0。a b2 2与双曲线字喰“共渐近线的双曲线系方程是22xy；22 =；ab（4）等轴双曲线为x b2a（3）双曲线的渐近线：求双曲线x2工的渐近线，可令其右边的1为0,即得乂2 . 2 2 a -y2 =t2，其离心率为.22 2(4)常用结论：(1)双曲线x _y 仗沁匕沁)的两个焦点为FF2，过卩十勺直线交双曲线 a2 b2的同一支于AB两点，则：abf2的周长= 2 2(2)设双

5、曲线 冷耸=i(ao,bO)左、右两个焦点为，过Fi且垂直于对称轴的 a2 b2直线交双曲线于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是 |PQ卜 三、抛物线:(1)抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线(2)抛物线的标准方程、图象及几何性质:焦点在x轴上,焦点在x轴上,焦点在y轴上,焦点在y轴上,开口向右开口向左开口向上开口向下标准对称轴焦占八、八、F(f0)F(0 冷)pF(0V离心率x卫22p焦半径|PF 円 X。|PF 冃 y。| 号焦点弦 焦准距四、弦长公式：| AB I= T k2 | 捲 - X2 |= . 1 k2

6、(X1 X2)2 - 4x1X2 = 1 k2I A|其中，代厶分别是联立直线方程和圆锥曲线方程，消去y后所得关于x的一元二次方程的判别式和x2的系数求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关B于x的一兀二次方程 Ax2 Bx C = 0,设A（Xi,yJ， B（X2,y2），由韦达定理求出 捲 x2 ：A x|X2 = C ；（3）代入弦长公式计算。A法（二）若是联立两方程，消去x,得关于y的一元二次方程Ay2 By C = 0,则相应的弦长公式是：|AB|=J +1 2 1 2 2 1 2(k)I y y2 h . 1 (k) . (% y2)-4y2

7、= 1 (j 両1 iT注意（1） 上面用到了关系式|治72|二（为 X2）2 -4x2和1 A |yi 7 二；(yi y2)2 必=-|1AI注意（2）求与弦长有关的三角形面积，往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一 般用分割法五、弦的中点坐标的求法法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于的一元二次方程Ax2 Bx C = 0,设A（ x1, y1）， B（x2, y2），由韦达定理求出x1 x2设中点M（X0,yo），由中点坐标公式得X。二宁；再把x = x代入直线方程

8、求出。法（二）：用点差法，设 A（x1，y1）， B（X2, y2），中点M （x。，y。），由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出x0, y0六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c，再代入公式法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e （求e时, 要注意椭圆离心率取值范围是 0 e 1）例1:设点P是圆x2 y2 =4上的任一点，定点D的坐标为（8, 0）,若点M满足PM当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程.解 设点M的坐标为x,y，点P的坐标为x0,y0，由PM = 2MD ,得 x-Xo, y

9、-y =2 8-X,-y，即 x=3x-16 , yo = 3y .因为点 P(x0, y0 )在圆 x2 +y2 =4上，所以 x +y02 =4 .即(3x_16)2 +(3y )=4，即x -16y4，这就是动点M的轨迹方程.I 3丿9例2:已知椭圆的两个焦点为（-2, 0），（ 2,0）且过点（5,-？），求椭圆的标准方程2 22 2 解法1因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 爲爲=1（a b 0）, a b由椭圆的定义可知：2aC2）22一0八（5一2）22一宀2 2”命又CM. b所以所求的标准方程为 釘器12 2解法2=2, b2二a2-c2 = a2-4，所以可设所求

10、的方程为 笃 弓1,将点（一，-一）a a -42 22 2代人解得：a = 10所以所求的标准方程为 110 6例3嗚圆三-匕* I上有一点乩 它到舒同叫左焦戌近的距离为乂求旳而获.人|0036解 t 由椭風的定义 PF-PF. |= 2a = 20 t 所 tt|PE|= 又 cosZFP/ =|刃汀+|円汀一|印讦F + E-府例 4一-设T v ).甘(也)* M 的中点 M (Xr y).则h 三 * 7 y = V J + 9昇=364.y? +=56 g -得 .y - .v： X a - a. + 9( j - y H_v + y, I - 0即祈求鮒软迹方程为4-|f+9/

11、=1高二圆锥曲线练习题11、Fi, F2是定点，且|FF2|=6，动点M满足|MFi|+|MF2|=6，则M点的轨迹方程是（）（A）椭圆 （B） 直线 （C） 圆 （D） 线段2、 已知 ABC的周长是16， A（3,0），B（3,0）,则动点的轨迹方程是（）2訂心）2 2 2 2 、,2 、，2 2xyxyxyxy(A)1 (B)1(y = 0) (C)1 (D)251625161625163、已知椭圆的长轴长是短轴长的 2倍，则椭圆的离心率等于（A.-34、设椭圆G的离心率为13，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，贝U曲线C2的标准方

12、程为（135、设双曲线2 X 2 a*1 a 0的渐近线方程为3x_2y = 0，9则a的值为（(A) 4(B) 3(C)(D)6、双曲线2x2-y2 =8的实轴长是（(A) 2(B) 22(C)(D)4、一227、双曲线42112的焦点到渐近线的距离为（28以双曲线-916A. 2、3丄可的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（22B . x y -10x 16 =0c.2 2x y 10x 16 =02 2x y 10x 9 = 09、2、过椭圆笃a2y=1 (a b 0) b2的左焦点Fi作x轴的垂线交椭圆于点P, F2为右焦点，若F1 PF2 -60，则椭圆的离心率为10.(A)

13、(C)充分而不必要条件充要条件mx2 ny-1 ”表示焦点在y轴上的椭圆的(B)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件11、写出满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)长轴与短轴的和为18，焦距为6;(2)焦点坐标为(-、3,0), (.3,0),并且经过点(2，1);(3) 椭圆的两个顶点坐标分别为(-3,0) , (3,0),且短轴是长轴的-;3：3212、与椭圆离心率为子，经过点(2，0);y 1有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆方程是:947213、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在x轴上，离心率为一.过2F1的直线I交C于代B两点，且 ABF2的周长为16

14、,那么C的方程为:2 214、已知 F2为椭圆11的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若259F2A| +|F2B =12，贝U AB =.x2 y2T T15、已知F1、F2是椭圆C:飞与=1( a b 0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PR PF?，a b若厶PF1F2的面积是9，则b=.16、求心在原点，焦点在坐标轴上，且经过 P ( 4，- 3 )，Q ( 2.2,3 )两点的椭圆方圆锥曲线练习题21.抛物线y= 10x的焦点到准线的距离是（5A .22.若抛物线厂15“B . 5 C . D . 10 22y =8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）。A . (

15、7_,T4)B . (14, _、14) C . (7, _2.14) D . (-7, _2.14)2 23.以椭圆y 1的顶点为顶点，离心率为9162的双曲线方程（2116482 2927C.2 22乞-1=1或乂-16 4892x127D .以上都不对4.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆y2-2x 6y 0的圆心的抛物线的方程是（=-3x2B . y = 3x22D . y = -3x 或y2 = 9xI2125. 若抛物线y2二x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为（(1, 一辺)B .(丄,一辽)C . J,辽)D . C二)44844 48 42 26.椭圆的

16、面积为（x y 1上一点P与椭圆的两个焦点 F“ F2的连线互相垂直，则厶PF1F2492420 B. 22 C. 28 D. 247 .若点A的坐标为（3,2） , F是抛物线y2 =2x的焦点，点在抛物线上移动时，使MF +|MA取得最小值的M的坐标为（A.0,01,1 i b0)的左焦点R作x轴的垂线交椭圆于点P， F2为右焦点，若a bN F1 PF2 =60，则椭圆的离心率为(B )A.210.“ m . n 0 ”是“方程 mx2 ny2=1 ”表示焦点在y轴上的椭圆的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件2解析：将方程mx2 ny2

17、=1转化为 罕 亍1 1m n2y =1,根据椭圆的定义,要使焦点在y轴上必须满足11110,0,所以 一，mnn m11、写出满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)长轴与短轴的和为18,焦距为6; _)2y- =1；(2)焦点坐标为(-.3,0), (.3,0),并且经过点(2，1);2 2x y .13 椭圆的两个顶点坐标分别为(-3,0) , (3,0),且短轴是长轴的2 21 或y 1;981离心率为虫，经过点(2 , 0);22=1或0丄=1.4162x +6y2 =12 212、与椭圆 y 1有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆方程是:9413、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原

18、点，焦点F1,F2在x轴上，离心率为二22F1的直线I交C于代B两点，且ABF2的周长为16,那么C的方程为：(和2 214 已知F1, F2为椭圆釘計1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若F2A|+|F2B =12，贝u AB =_82 2 415、已知F1、F2是椭圆C:务占=(a b 0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PR PF2 , a b若厶PF1F2的面积是9,则b =316、求心在原点，焦点在坐标轴上，且经过 P ( 4 , - 3 ), Q ( 2. 2,3 )两点的椭圆方2 2解：设椭圆方程为=1，将P，Q两点坐标代入，解得a2 =20,b2 =15a b2 2故

19、-1为所求。015圆锥曲线练习题221抛物线y =10x的焦点到准线的距离是(B )515A. 5 B. 5 C. 15 D. 10 222若抛物线y2 =8x上一点P到其焦点的距离为 9，则点P的坐标为(C )。A (7, -14) B (14,_.14) C (7, -2.14)D. (-7,_2.14)3.2 X 以椭圆C .+ J25162 X2y 1648 _2 X2y A.1162482X 是椭圆一9=1的顶点为顶点,21或X2 =1274.F1,F2离心率为=1的两个焦点,2的双曲线方程(C )2 21927以上都不对A为椭圆上一点，且/ AF1F = 450，则 AF1F2的面

20、积为5 .以坐标轴为对称轴,A.(丄，一4B.(8-C. (4,D.(冷842 2x y7. 椭圆1上一点P与椭圆的两个焦点 F1、F2的连线互相垂直，则厶PF1F2的面积为( D )4924A. 20B. 22 C.28 D. 248 .若点A的坐标为(3,2),2F是抛物线y =2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使MF | +1 MA取得最小值的M的坐标为(D0,0B.2丿1-2 D.2,22x9.与椭圆-4y2 =1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是(2 2X 2,x 2a . y 二 1 b. y242 2=1 C.332D. x2 -1210若椭圆x2 my2 =1的离心率为3，

21、则它的长半轴长为21,或211 .双曲线的渐近线方程为x_2y =0，焦距为10,这双曲线的方程为、2、312 .抛物线y =6x的准线方程为 x = - . 213 .椭圆5x2 ky2 =5的一个焦点是(0,2)，那么k =1_。2 2x y120514 .椭圆1=1的离心率为一，则k的值为24,或一 415 .双曲线8kx2 ky2 =8的一个焦点为(0,3)，则k的值为-1。216 .若直线x-y=2与抛物线y =4x交于A、B两点，则线段 AB的中点坐标是 _(4, 2)17 . k为何值时，直线y =kx - 2和曲线2x2 3y2 =6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？工 y = kx2222 2解：由 22，得 2x23(kx 2)2 =6，即(2 3k2)x212kx 6 =02x 3y =6: =144k2 -24(2 3k2) =72k2 -482=72k2-48 O 即k弓,或k ：-时，直线和