数学论文有关抽象函数的全面探析

1、数学论文-有关抽象函数的全面探析摘要：抽象函数是函数中的一类综合性较强的问题。这类问题不仅能考查学生的数学基础知识，更能考查学生的数学综合能力。 关键词：抽象函数；定义域；值域；对称性 抽象函数是一种重要的数学概念。我们把没有给出具体解析式，其一般形式为y=f(x)，且无法用数字和字母的函数称为抽象函数。由于抽象函数的问题通常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身。这类问题考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学的综合能力。 解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高。所以近几年来高考题中不断出现，在2009年的

2、全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花。但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心。下面通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法。 一、抽象函数的定义域 例1已知函数f(x)的定义域为1,3，求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a)（a0）的定义域。 解析：由由a0 知只有当0a1时，不等式组才有解，具体为x|1+ax3-a；否则不等式组的解集为空集，这说明当且仅当0a1时，g(x)才能是x的函数，且其定义域为（1+a,3-a。 点评：1.已知f(x)的定义域为a,b，则fg(x)的定义域由ag(x)b，解出x即可得解；2.已知fg(x)的定义域为a,b，则f(x)的定义域即是g

3、(x)在xa,b上的值域。 二、抽象函数的值域 解决抽象函数的值域问题由定义域与对应法则决定。 例2若函数y=f(x+1)的值域为-1，1求y=(3x+2)的值域。 解析：因为函数y=f(3x+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域与对应法则完全相同，故函数y=f(3x+2)的值域也为-1，1。 三、抽象函数的奇偶性 四、抽象函数的对称性 例3已知函数y=f(2x+1)是定义在r上的奇函数，函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称,则g(x)+g(-x)的值为（） a、2b、0c、1d、不能确定 解析：由y=f(2x+1)求得其反函数为y=，y=f(2x+1

4、)是奇函数，y=也是奇函数，。，而函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称，g(x)+g(-x)=故选a。 五、抽象函数的周期性 例4、（2009全国卷理）函数的定义域为r，若与都是奇函数，则() (a)是偶函数(b)是奇函数 (c)(d)是奇函数 解:与都是奇函数， 函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，即是奇函数。故选d 定理1.若函数y=f(x)定义域为r，且满足条件f(xa)=f(xb)，则y=f(x)是以t=ab为周期的周期函数。 定理2.若函数y=f(x)定义域为r，且满足条件f(xa)=f(xb)，则y=f(x)是以t=2（ab）为周期的周期函数。 定

5、理3.若函数y=f(x)的图像关于直线x=a与x=b（ab)对称，则y=f(x)是以t=2(ba)为周期的周期函数。 定理4.若函数y=f(x)的图像关于点（a,0)与点(b,0),(ab)对称，则y=f(x)是以t=2(ba)为周期的周期函数。 定理5.若函数y=f(x)的图像关于直线x=a与点(b,0),(ab)对称，则y=f(x)是以t=4(ba)为周期的周期函数。 性质1：若函数f(x)满足f(ax)=f(ax)及f(bx)=f(bx)(ab,ab0),则函数f(x)有周期2(ab)； 性质2：若函数f(x)满足f(ax)=f(ax)及f(bx)=f(bx)，(ab,ab0),则函数有

6、周期2(ab). 特别：若函数f(x)满足f(ax)=f(ax)（a0）且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a. 性质3：若函数f(x)满足f(ax)=f(ax)及f(bx)=f(bx)(ab,ab0)，则函数有周期4(ab). 特别：若函数f(x)满足f(ax)=f(ax)（a0）且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a。 从以上例题可以发现，抽象函数的考查范围很广，能力要求较高。但只要对函数的基本性质熟，掌握上述有关的结论和类型题相应的解法，则会得心应手。 参考文献： 1陈诚.抽象函数问题分类解析j.数理化学习，2008(8).焦牧捌跑盒冯躺剿喀狮怨揪丁化拘滞卢贱项慨吱抬延韭独胯

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