《正切函数的性质与图象》优质课比赛教学设计

1、正切函数的性质与图象【教学目标】知识目标1.能根据已有的知识（如正切函数的定义、诱导公式、正切线等）自主探究正切函数的性质。2.类比正弦函数图象的作法能画出正切函数的图象。3.借助正切函数的图象理解其性质并能解决一些简单三角问题。能力目标1.借助单位圆的直观，引导学生自主地探究正切函数的有关性质，培养学生观察能力、化归转化能力、分析问题和解决问题的能力。2.运用类比的方法画出正切函数的图象，引导学生运用类比的思想解决问题。3.经历先讨论正切函数的性质，再利用性质作图，最后由图象再理解性质的过程，充分体现了“由数到形和由形到数”的“数形结合”的思想，培养学生运用“数形结合”的思想从不同角度解决函

2、数问题。4.通过小组讨论，培养学生合作探究的学习能力。情感价值观通过数形结合，培养学生勇于探索、勤于思考的精神，渗透由抽象到具体思想方法，让学生理解动与静的唯物辨证观，进一步培养学生合作学习和数学交流的能力，增强对数学的应用意识。【教学重点】1.正切函数的性质与图象。2.深化研究函数性质的思想方法数形结合。【教学难点】1.利用单位圆中的正切线探究正切函数的单调性和值域。2.关于正切函数的单调性的理解。【教学方法】1.电脑多媒体辅助教学，加强教学的直观性和感染力。2.教师以问题为中心，层层推进，引导学生积极思维，多角度探究问题，有效地展开师生双边活动。【教具准备】1.电脑课件2.学生自备尺规。【

3、课时安排】1课时【教学情境设计】问题设 计 意 图师生活动1.回忆：在前面已经研究了正弦函数、余弦函数的图像及其性质，通常研究函数的哪些性质？通过复习，引出这节课的课题和明确研究方向。教师提出问题，学生集体回答后，引出：这节课我们将采用类似的方法研究正切函数的性质与图象（定义域、周期性、奇偶性、单调性、值域等）（给出课题）2.思考：由正切函数的定义，你能说出它的定义域吗？为后继探究提供研究范围。学生思考后，举手回答，教师总结并强调正切函数的定义域不连续，这不同于正、余弦函数。性质：定义域：x|xr且x+k,kz（投影给出）3.填空并思考：tan(x+?)=tanx，你发现正切函数是周期函数吗？

4、周期是多少？培养学生运用类比的方法分析问题，同时体会诱导公式的转化作用。引导学生类比正、余弦函数的周期性，并结合诱导公式去分析，学生自由发言后，总结得出，体会与正、余弦函数的异同。性质：正切函数是周期函数，最小正周期是。（kz）（投影给出）问题设 计 意 图师生活动4.思考：正切函数y=tanx具有奇偶性吗？你能证明吗？巩固函数奇偶性的判断及证明，培养严谨的科学态度。引导学生回忆奇偶函数的定义及对定义域的要求（定义域必须关于原点对称），口述证明过程得出结论。性质：正切函数是奇函数。（投影给出）5.探究：请同学们利用单位圆中的正切线研究正切函数的单调性。借助单位圆的直观，引导学生自主探究，再次体

5、会单位圆在研究三角函数时的作用，培养“数形结合”的思想。先共同回顾正切线的画法及增减函数的定义，学生在练习本上画图，引导学生观察正切线在一个周期（）内的变化规律，同桌交流，再动态演示，由其周期性，得出结论。性质：正切函数在开区间（-），kz内都是增函数（投影给出）6.思考：（1）正切函数在整个定义域内是增函数吗？为什么？（2）会不会在某一区间内是减函数？避免一些错误认识，通过讨论，进一步加深对正切函数单调性的理解。学生独立思考后，小组交流讨论，代表发言。教师针对学生情况，可再次进行动态演示正切线的变化规律，让学生充分感受到其单调性的涵义。7.思考：正切函数有最大、最小值吗？它的值域是什么？培养

6、学生观察图象的能力，体会“无限”的涵义。引导学生独立观察自己画出的正切线随x的变化趋势，得出结论，教师再进行动态演示。性质：正切函数的值域是实数集r。（至此，归纳五条性质，投影给出）8.回忆：怎样利用单位圆中的正弦线作出y=sinx，x0,2的图象？复习巩固作法，为下一步作图做准备。教师引导学生简述作图过程：建系画单位圆12等分单位圆并标出相应横坐标作正弦线并平移描点连线。同时，动态演示一遍。问题设 计 意 图师生活动9.画一画：你能类比正弦函数图象的作法，画出正切函数y=tanx,x（-/2，/2）的图象吗？培养学生运用类比的方法解决问题和动手操作能力，形成对正切函数图象的感知。学生先在练习

7、本上按照以上四步作图，说明8等分单位圆即可。教师巡视，针对出现问题及时引导，等大多数同学完成后，教师动态演示作图的全过程，学生自行对比，修正自己的图象。（图）oyxxyo10.思考：如何作出y=tanx在整个定义域内的图象？引导学生利用正切函数的性质对图象的特征作出解释，加强了理性思考的成分，体会由数到形的思想。教师提示学生从正切函数的周期性进行思考，将已得图象向左、右扩展，给出图象，让学生观察并总结其特征：正切曲线是被互相平行的直线x=/2+k, kz所隔开的无数多支曲线组成，这些直线是图象的渐近线。11.思考：根据正切曲线的特征，如何画出正切函数的简图？加深对正切曲线特征的理解，便于今后纸

8、笔作图。引导学生认识到：在每一个开区间上，曲线与x轴的交点以及渐近线在确定图象的形状时起着关键作用，类似于“五点法”，给出“三点两线法”作简图，三点为（k,0）(/4+k,1)、(-/4+k,-1)，两线x=/2+k, x= -/2+k。12.思考：你能从正切函数的图象出发，讨论它的性质吗？体会由形到数的思想，培养学生的识图能力。学生小组讨论后，结合图象，逐一说明五条性质：定义域周期性单调性 奇偶性 值域。问题设 计 意 图师生活动12.练习（1）求函数y=tan(x+)的定义域。巩固正切函数的定义域和换元法。两学生板演，其余学生练习本上完成，共同评析，说明可将x+作为一个整体来处理，而不必设

9、元。练习（2）不通过求值，比较大小：1.tan167与tan1732.tan(-)与tan(-)深化对正切函数的单调性的理解和转化的思想。学生思考后，举手发言，说明理由。教师提示学生注意利用诱导公式将角度转化为同一单调区间后才能进行比较。练习（3）求下列函数的周期：y=tan2x,x(kz)；y=5tan，x（2k+1）(kz).巩固周期函数的定义，运用类比推理寻找出规律，适当拓展课本知识。学生利用周期函数的定义推出后，教师引导学生观察与x系数的关系，对比正、余弦函数类似问题，归纳出y=atan(x+)（0）的周期t，以后可直接应用。练习（4）讨论函数y=tan()的性质。巩固研究函数的方法，

10、强化正切函数各性质的应用。两名学生板演，其余学生练习本上完成，共同评析，强调单调区间的求法。练习（5）观察正切曲线,写出满足下列条件的x值的范围:tanx0；tanx=0;tanx0.熟练“三点两线法”作简图，培养学生识图能力，渗透数形结合的思想。引导学生先画出正切函数在一个周期内的简图，再结合图象找到相应区间，从而由周期性推广到整个定义域。问题设 计 意 图师生活动练习（6）填空：函数y=tan(x+/4)的图象被平行直线隔开，与x轴交点的坐标是，值域是，它是函数（奇偶性）。进一步巩固学生对正切函数的图象特征认识，明确渐近线、对称中心的求法，渗透换元的思想。引导学生用换元的方法，对比正切曲线的渐近线方程、对称中心坐标、奇偶函数的定义分析得出。13.通过这节课的学习，你有