厦门大学2010 2011年第一学期高等代数期末考试参考答案

1、厦门大学高等代数课程试卷做歹科歹夕it %釦2010鼻銀专土主考教师：杜蛇、林鹫试卷类型：（A卷）20H.LU单选题（32分.共8题每题4分）设b为3维行向S. V = （片丫2心）心|/2心）= 则A)対仔意的V均是线性空间;B）対任S的b. V均不杲线性空何；Cl只仃卅6 = 0时.V楚线性空讪D）只仃卅6*（）时V是线性空何.2)已知向S組【：4，冬,卫JJ以由向aiIT：卩人心线性农示.则卜列叙述正确的是A)若向sail线竹:无关则5Z：Cl若向虽组I【线性无关.则f:D）若向II线性相关.则sn3设非齐次线性方楼纽4X二”中耒定元个数为爪方程个数为加系数WPI /f的秩为几则A）当r

2、 设A inxn阶矩H址wxw阶矩阵* llAfi = l.则A r(/1) = /w,r(B) = /n ；B) r(A) = inr(B) = n :C) r(/4) = w, r() = /w :D) r(/4) = , r() = w 5）设K上3维线性空间V上的线性变换卩在W眞卜的农示蚀阵是10 1,则0丫|忠 点2匕,上，卜的农示炬阵圧1 2 rn 1 1、I 2 1、2 0 21 T 1 U 1 *丿U i 1丿J 2 I,J i 1，6） 设卩是V到U的线性映射 dimV = .dimU = w若w必是满射;O）必IF满射.7 设V. U、W是数域K上的线性空间乂设0、W、是都

3、是V上的线性变换则卜列结论止确的右 个B Ker(w + y)cKere + Kew sIl KcTQcKcr（汐）：IlA 1；B）2：C)3：Ulm(加.D|4.ab AW = (“-Z,“ + 6) t/,ZeK：W =a+h a-hj勺数域K L的线性空MV = ab）|GbeK同构的线性空间冇个.C W = (Ga,b) a.bwK8）W = (a + ba + ba,be K:A I；B2：03：D)4.填空题（32分.共X题,每题4分）1设向星组4心24线性无关.01 =202+加1 +S八 A - +34 + +8八（选填A = +26+O-l)a, 0“产a|+26ifj+

4、(厂-l)a则A/】0小 “线件相关“线性无关”，a无法确定6 线性相关 2）设h 久以4和II：久“2,S是线性空间V中两个向fiai.向虽组I可山向虽组H线性表（选填必示 I打（I）= f（H）则向星组【与向虽组H_ （选填“必等价”末必等价。S上j/ 相等”.“未必相等）必等价，末必*11等 3）没442,6. a,郁肚4维列问宝.川=（4心2.4心丿己规齐次线性方柑纽z4X = 0的適解足A0JJ,0）以/表示/的件随矩阵则齐次线性方彩H/fX = 0解空间的维数是而楚它的一个屆础解系 3. 设W元齐次线性方程tn Ax = 0和&-0分别冇人加个线性无关解向. Il/ + ww则（A

5、Bx = Q _ （选填必彳厂.未必彳j”）非零解.必冇5）设特彳 i4,，久足V的两组也（44,，久）=（舀），务 il diin（V,*Vj = dim； + l ,则dimV2-dim（V,nVj =7）设eiiV到U的线映射 110（二鼻知=（74）0其中（0 0 I 丿JiV 和 U 的一组爲 则 Kcr0= Im = ,） U 或 （%仏）8）设 z4 =0 -10.Hi X 彳X宜义 Rt上的线性变换卩.则卩的不变子空何足/（6分）设向量组口2,4是齐次线性方程组/LV = 0的一个卑础解系.问下列向呈组cfi -2a, +cf,. 2a, + a, +. +匕彳+定杏也足齐次线

6、刃：方= 0的一个基础解系？为什么？解：（法一）（0 + 22+ 6,2?|+2+2a；,a|+?+aj= （ai.aajr 2r12 12 1121 1J 2L12 1=0故不r |（法二因厂2 I 1 =20r = （Z,O）0 -可证P. a即为所求显然，S和7分别fizixr矩阵和rxn矩阻 R因几0可逆所以()r(5) = r(r)= ro 下证 TS = I.由 A = A.得0=才=/0严IMP. Q可逆.所以:得(/);=(（法一）（10级 尹崽文）将广）等式两边分别右乘（/0）?-,右乘J即75=/八（法二）（10级 至穴工.土桂弘 hr龙.&宇劭帀（*）tskirqp/=(

7、/.,0)OV卩=(/,.0)丄、八0丿1 0丿1丿。叩0(/)(! TS、75、y丿(O)0P2丿(/.,0)=:沪(2(/)=、0,故75 = /,.（法三）（”）式=必要性（法四）10级供別）将/视为线性变换卩在/!维线性空MV的某基卜的表示矩阵由同构对应-则审=申设卩的秩为几?小，.是Kere的组毎 将扩成冷詁八|,农为V的的维数是”W此只耍证明倾即，,汎切，彳小,&线性无关即呗 设将卩作川于式了两边结得（2你2心）+ /0（即+斤冲囂+化）=切倚）+你2値）=0,由机彳J，仅彳的线性无关性，得K= = Z:尸=0.进而z=“ =心=0. W此I 、这嘶在可逆矩朴十J令S = P JM

8、/I = 57 . 75 = /,.r(5) = r(r)= r (/ )(A = P1 0丿尸.5=Plo丿（法K） ! 10级r HI.岛肠胡片占 ft步跃林琴暂）因/ = /,所以存在可逆矩阵P,使得,r = (Z,0)P 则 A = ST , TS=I. r(5) = r(r)= r .土耍伸丸 法二 法三屮73二/没冇证明六. （10分）设V楚数域K上z维线性空间怙bit V上线竹变换几卩 =0. R=0,（pa2（P =叭、jPP/Jy是V上th等变换求证:(1) V = Kew Kerrr :（2） V必是偶数维线性空间证明：(1对 Vae V . a =m(a) + b(p(a

9、、= 0 + y 山已知0 = 0 = T*(/) = 0.即eKcr, /e Kera 说明 V = Kcre + KcrT此外.对 Va w KereflKerc a) = 0,a(a| = 0. g” + 即=叭 Wa = (cr) + a(pa-0.说明 Ker。n Kerb = 0 综仁即WV = Kcr0KcnT（2）（法一=则dimKer0 = -r til（I，若&忑，境Kcy 的 纽农小乩wMJ是Kew的-纽？, 则隊2境心，&是V的 r 宰从而0（gj仅彳2）线性无关Huh =0.知仅占h0（M2）9）eKcr0恵;味着尸Sw-八 同理.bOc（“2）,oU）线件无关M由0

10、-=0-知T（ajoGQ）,bU）wKenT 意味看 wrF Mjttw-r = r* HP n = 2r .（法二（10吴圾）设厲恙2是Kerb的纽坯= 0,所以仮岳）eKerlS/S八 下M证明0倚）,0（冬），仅戛）线性无关事实上，设q0（MJ + c0（f2）+ S0（吕20两边同时作qw(J + C2b(fJ+ = 0而 f =0x(纟)+ b0C) = b0(f )所以(式即为+ + 心二=0 从而 Cj = 0 i k W 此仮MJ.祕刍)，殒)钱件无关故k = dim KerT 5dim Ker9 同理，dimKcrSdimKcnr 从而 dim Ker = dim Kerb 则 dimV = dim Kerb + dim Key = 2k 为偶数W加题：（10分）设w，b是/维线性空问V上线牲变换.且NeHMb）Sw证明：存在V上可逆变换r. 使得证明：（法一）设爲，盘是V的一纽農 e和b在该基下的衣示矩阵分别是AR.C=(?A*pg竹 1对儿B分别存在可逆阵P,Q,S,T,使得/ = P0Q, B = S4、 0,0丿鸽 1a （法二）（10 俟晚宇-上役/4=P0Q. B = S0、 ,且 = 0.r.令r定义V上饯性变换