换元法证明不等式（精编）

1、换元法证明不等式已知 a,b,c,d都是实数 ,且满足 a2+b2=1,c2+d2=4,求证:|ac+bd| 2a=cosA,b=sinAc=2cosB,d=2sinB|ac+bd|=2|cosAcocB+sinAsinB=2|cos(A-B)|=2得证若 x+y+z=1，试用换元法证明 x?+y?+z? 1/3解法一： (换元法 )证明：因为(x-1/3)2+(y-1/3)2+(z-1/3)2展开，得 0 0x2+y2+z2-2/3*(x+y+z)+3*1/9x2+y2+z2-2/3+1/3 0x2+y2+z2 1/3。其中等号当且仅当 x=y=z=1/3时成立解法二：因为:x+y+z=1所

2、以:(x+y+z)?=1化解为 :x?+y?+z?+2xy+2xz+2yz=1又因为： x?+y? 2xy;x?+z? 2xz;y?+z? 2yz;所以 x?+y?+z?+2xy+2xz+2yz=1bc，求证： 1/(a-b)+1/(b-c) 4/(a-c)证明：令 x=a-b，y=b-c，则 a-c=x+y且 x0，y0原不等式转化为： 1/x+1/y 4/(x+y)因此，只要证明： (x+y)/x+(x+y)/y 4只要证： 1+y/x+1+x/y 4只要证： y/x+x/y 2，而 y/x+x/y 2恒成立。1/(a-b)+1/(b-c) 4/(a-c)得证。换元的目的：化简、化熟命题，

3、把复杂的、不熟悉的命题化为简单的、熟悉的命题。 例 3：已知(x2-y2+1)2+4x2y2-x2-y2=0，求证：(3-5)/2 x2+y2 (3+5)/2证明：令 x2+y2=t由(x2-y2+1)2+4x2y2-x2-y2=0得：(x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2(x2+y2)2-3(x2+y2)+1 0t2-3t+1 0，解之得： (3-5)/2 t (3+5)/2(3-5)/2 x2+y2 (3+5)/2得证。换元的目的：转化条件，建立条件与结论间的联系。例 4：已知 x-1=(y+1)/2=(z-2)/3 ，求证： x2+y2+z2 59/14证明：设 x-1=(y+

4、1)/2=(z-2)/3=k ，则 x=k+1，y=2k-1，z=3k+2x2+y2+z2=(k+1)2+(2k-1)2+(3k+2)2=14k2+10k+6=14(k2+5k/7)+6=14(k+5/14)2+59/14 59/14x2+y2+z2 59/14得证。换元的目的：减少数的个数，直接利用已知条件。例 5：已知 a0，求证： (a+(a+(a+(a+ +a0.5)0.5)0.5)0.5)0.5证明：设 t1=a0.5，t2=(a+a0.5)0.5， tn=(a+(a+(a+(a+a0.5)0.5)0.5)0.5)0.5tn=(a+tn-1)0.5 tn2=a+tn-1，且 tn0，而 tntn-1tn20tn换元的目的：转换、化简命题例 6：已知 a c0，b c，求证： c(a-c)+c(b-c)ab证明：要证明原不等式，只要证明：c(a-c)/ab+c(b-c)/ab 1只要证明： (c/b)(1-c/a)+ c/a(1-c/b) 1令 sin=c/b，sin=c/a，且、(0，只要证明： sincos+cossin 1只要证明： sin(+) 1，而 sin(+) 1显然成立原不等式得证。换元的目的：利用两个正数的和等于 1进行三角换元，可以将原问题得到极大程度的化简，在各种命题的解题中有着广泛的应用。例 7：已知 a2+b2=c2，且