人教版九年级数学教材上册第二十三章《图形的旋转》教案

1、图形的旋转题型一：利用图形的旋转求线段长A旋转对称 : 一个平面图形绕着某一定点旋转一定角度(小于周角 )后能例 1.如图， P 为等边三角形 ABC 内一点， BPC等于 150,PC=5,PB=12，则 PA 的长为.与自身重合 ,这样的图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转中心 .解析 :将 BPC 绕 C 点顺时针旋转60, 连接 PP，P注意 : 旋转角是对应点与旋转中心的连线所成的夹角。 PCP=60，CP=CP，BC在旋转过程中保持不动的点是旋转中心。旋转过程中应注意旋转的方向（逆时针或顺时针）。 PCP是等边三角形，基本类型： APC= BPC=150 ， 正三角形类型 APP

2、=150-60=90，在正 ABC 中，P 为 ABC 内一点，将 ABP 绕 A 点按逆时针方向旋转 60， 又 PP=PC=5，AP=BP=12.使得 AB 与 AC 重合。经过这样旋转变化，将图(1 - 1- a)中的 PA、PB、PC 三条在 RtAPP中， PA=AP2PP213线段集中于图 (1- 1- b)）中的一个 PCP 中，此时 PAP 也为等边 三角形。点评： 解此题的关键是：把PA、 PB、PC放在“同一个四边形”中，题型二：利用图形的旋转求角的大小例 4.如图 ,在 ABC 中 , ACB 90 , BC=AC,P 为ABC 内一点 ,且 PA=3， PB=1， PC

3、=2,则BPC 的度数是.A解析 : 将 BCP 绕 B 逆时针旋转 90, 连接 PP， PCP=90，CP=CP， PCP是等腰直角三角形， CPP=45,222 .PPCPCP 2又 BPPA=3 ，PB=1 ， BP2PB2 PP2 ，即PPB=90 .A BPC=135CPBPCPB作出辅助线构造等边三角形是解本题的关键。DA例 2.如图，点P 是正方形 ABCD 内一点 ,PAP=1 ， PB=2 , APB=135o，则 PC 的长等于.例 5.如图， P 为正方形 ABCD 内一点， PA=1， PB=2 ， PC=3，则 APB =解析 :将 APB 绕 B 点顺时针旋转 9

4、0并连接 PE，将 APB 绕 B 点顺时针旋转 90，得 BEC ， BEC BPA ， APB= BEC ，ADPB C D图(1 - 1- a)图(1- 1- b) 正方形类型在正方形ABCD 中， P 为正方形 ABCD 内一点，将ABP绕 B 点按顺时针方向旋转 900 ，使得 BA 与 BC重合。经过旋转变化，将图(2- 1- a)中的 PA、PB、PC三条线段集中于图(2- 1- b)中的CPP中，此时BPP 为等腰直角 三角形。BC解析 :如图 ,把 PBC 绕点 B 逆时针旋转 90得到 ABP AP=PC， BP=BP=1. 故 PBP是等腰直角三角形 .DBP2 +BP2

5、A PPB45 , PP2PAPP=APBPPB 90在 RtAPP 中， APPP2 +AP 25PC PC5B点评： 解此题的关键是：把 PA、 PB、PC放在“同一个四边形”中， BEP 为等腰直角三角形 , BEP=45 ， PB=2 ， PE= 2 2 PC=3 ，CE=PA=1 ，PC2=PE2 +CE2，即 PEC=90 ， APB= BEC= BEP+PEC=45 +90=135例 6. 如图 ,已知 O 是等边三角形 ABC 内一点， AOB 、 BOC 、 AOC 的度数之比为 6:5:4，在以 OA 、 OB、OC 为边的三角形中，此三边APBC E (P)图 (2- 1

6、- a)图(2 - 1- b)作出辅助线构造等腰直角三角形是解本题的关键。例 3. 如图，四边形ABCD 的对角线AC 与 BD互相垂直，若AB=3 ， BC=4 ， CD=5 ，则 AD 的长为()所对的角的度数是.解析 : AOB ： BOC： AOC=6 ： 5：4， AOB=144 ， BOC=120 ， AOC=96 ，将 AOC 绕点 A 顺时针旋转60得到 AOB，连接 OO， AOB AOC ， 等腰直角三角形类型A.3 2B.4C.2 3D.4 2在等腰直角三角形ABC 中， C90，P为ABC内一点，将APC绕解析 :在 RtAOB222C 点按逆时针方向旋转90 0，使得

7、 AC 与 BC 重合。经过这样旋转变化， 在图 (3- 1- b)中， AO =AB -BO；Rt DOC 中可得： DO 2=DC 2- CO2；中的一个 P CP 为等腰直角 三角形。 AD 2=AO 2+DO 2=AB 2- BO2+DC 2- CO2=18 ，即可得 AD=183 2，故选 A思考题： 如图 , 将ABC绕顶点 A 顺时针旋转60 后, 得到 ABC , 且 C 为 BC的中点 , 则CD:DB= ()图 (1- 1- a)图(1- 1- b)A.1:2B.1:22C.1:3D.1:3 AOB= AOC=96 ，OB=OC，AO=AO， OAO=60，AO=AO ，

8、AOO是等边三角形， OO=AO， BOO即是以 OA ， OB，OC 为边长构成的三角形， AOO=AOO=60， BOO=84， BOO=36， OBO=60， A 思考题 : 如图 , 在等边 ABC 中, 点 E、D 分别为 AB 、BC 上的两点，且BE=CD ， AD 与 CE 交于点 M, 则 EAME( )MA. 60B. 120C. 135D. 150BDC题型三：利用图形的旋转求面积A ADE 的面积是（）BDC 是等腰三角形 ,且BDC120,以点 D例 7.如图，已知 RtABC 中，C 90，A .1B.2C.3D.4为顶点作一个60 的角，使其两边分别交AB 、D点

9、 D、E、F 分别在 AB 、AC 、B上，EAC 于点 M 、 N，则 AMN的周长为.四边形 CFDE 是正方形 ,若 AD=3,BD=4 ，题型四：利用图形的旋转探索图形中线段之间的关系题型五：利用A则 ADE 和 DBF 的面积之和为.CFB例 9.如图，正方形ABCD 边上有动点 E、 F，AFD例 11.在边长为2 的正方形 ABCD内求一点 P，解析 :该题常采用的思路是利用ADEDBF ，计算出直角三角形的DEF的周长等于正方形ABCD 周长的一半，使得 PA+PB+PC之和为最小 .并求这个最小值两条直角边的长度和正方形的边长，然后利用大三角形的面积减去探索：EBF的度数是否

10、随点E、 F 位置的变E解析 :将 BPC 顺时针旋转60 ，得为等边 PBE 化而改变，如果有变化，请找出变化的规律；正方形的面积，即可求得两个三角形的面积之和，但计算量较大。PE PB， EF PC若不变，请求出EBF的度数的大小。BBC即 PA+PB+PC AP+PE+EF 。若对于此题运用图形旋转的思想来解，会给我们耳目一新的感觉。解析 :由DEF的周长等于正方形 ABCD的一半，A要使最小只要AP ， PE，EF 在一条直线上，ADE 绕点旋转90 ，这时 DE 与 DF 重合.可以得到 AF+CE EF，这与EBF 的度数似乎无联系。如图，把即 PA+PB+P C AF 此时把BC

11、E 绕点 B 逆时针旋转 90,如图， GAFDADB180，EDF 90，A BC=BA, BAGBCE= BAF=90 ,BM=BF?cos30 =BC?cos30 =3,ADB90，又 AD=3,BD=4 ，ED点 G、 A、 F、D 在同一条直线上 .E则AM=23，B1SADB2 34 12 GF=GA+AF=CE+AF=EF,BG=BE,BF=BF, AB=BF ， ABF=150 ， BAF=15 .B即两个三角形的面积之和等于6.C AF (E)BGFBEF , GBFEBF .BC AF=AMcos15= 26 .例 .如图 ,P 是正方形 ABCD 内一点，又GBFEBF=

12、GBAABFEBF=EBCABFEBF=90 ,即 PA+PB+PC 的最小值为26点 P 到正方形的三个顶点 A 、 B、 CEBF=GBF= 1 9045例 12.已知 RtABC 中,C90 ,AC1,BCA的距离分别为PA=1， PB=2 ，PC=3，2BAC 903 ，例 10. 如图 ,已知 ABC 中 AB=AC, EPF 的顶点 P 是 BCO 为ABC 内一点 ,且AOBBOCCOA 120 ，O正方形 ABCD面积为.中点 ,两边 PE,PF 分别交 AB 、 AC 于点 E、 F，给出以下五个结论：则OA OBOC解析 :该题一般的思路是利用三角形的性质计算得到正方形的边

13、长， AE=CF;AC解析: 将BOC 顺时针旋转60，得为等边 APE= CPF;但受限于初中的数学知识，很难继续运算下去，故考虑用图形旋转PDE EPF 是等腰直角三角形 ;EODOB ，DEOC的思想来解。FA EF=BE+CP;又DOBODB 60 ，BDEBOC 120如图，把APB 绕点逆时针旋转90 ,S 四边形AEPF=1，CBDEBOD 180把 CPB 绕点顺时针旋转90 ,ABCBP2S即 A 、O、 D、 E 四点在一条直线上 .O易证， EAP 与 PCF 均为等腰直角三角形 .当 EPF 在 ABC 内绕顶点 P 旋转时 (点 E 不与 A 、B 重合 )上述结论O

14、A OBOCAE .PE= 2， PF=32C F中始终正确的序号有. Rt ABC 中 , AC1, BC3 ，EDA= PBA ，FDC=PBC .解析 ：如图，把PCF 绕点逆时针旋转90,A又PBA+PBC=90 ，ABC30，又CBE60.可得PAE ，即 PCFPAEEDF=EDA+FDC+ADC=180EABEABCCBE90 AE=CF ， PE=PF， APE= CPF，点、在同一条直线上.F又 BE BC3， AB2 ，正确 .EF ED DF 4.PCFPAE AEAB 2BC27在 EFD 中，EF=4， EP=2 ， FP=32 .B1PC即 OAOBOC7 . EP

15、2 FP290，即 EPF 为直角三角形 .EF2 , EPF S 四边形 AEPF= S PAE+ S PAF= SPCF+ S PAF= S PAC=2S ABC3 17正确 .思考题 : (2012 济南 )如图， MON=90 ， S正方形 ABCDS EPF +S EPA +S PFC22等腰直角三角形的斜边等于直角边的2 倍表示出 EF ，矩形 ABCD 的顶点 A 、 B 分别在边 OM ，思考题 ：如图 ,直角梯形 ABCD中 ,AD BC ，E EF 随着点 E 的变化而变化，判定错误，ON 上，当 B 在边 ON 上运动时， A 随之AB BC,AD=2,BC=3 ，将腰

16、CD 以 D 为中心，D思考题 : 如图,ABC 是边长为5 的等边三角形，在边 OM 上运动，矩形 ABCD的形状保逆时针旋转90至 ED ，连结 AE 、 CE，则ADPCDPCEFDEBBBC持不变，其中 AB=2 ， BC=1 ，运动过程中，A.1 2B. 5C.点 D 到点 O 的最大距离为（）思考题 : 如图 , 将 ABC绕顶点 A 顺时针旋转 60后, 得到ABC , 且 C 为 BC的中点 , 则 CD:DB= ()A.1:2B.1:2 2C.1: 3D.1:3解析 : ABC是 ABC 绕顶点 A 顺时针旋转60o后得到的， CAC=60o， ABC ABC ，又 AC=A

17、C，ACC 是等边三角形 ， AC=AC又 C为 BC 的中点， BC=CC，易得 ABC、 ABC 是含 30o角的直角三角形， ACD 也是含 30o角的直角三角形 CD= 12AC,AC= 12 BCCD= 14 BC ，故 CD:DB=1:3另解：利用“估值法”，拿出“尺子”量一下试一试？思考题 : 如图 , 在等边ABC 中 , 点 E、D 分别为 AB 、BC 上的两点，且BE=CD ，AD 与 CE 交于点 M,则 AME ()A. 60B. 120C. 135D. 150解析 :因为 BC=AC， = ,BE=CD,ABCACD=60所以以 AB 的中心（等边三角形三条中线的交

18、点）O 为旋转中心，将 ADC 顺时针旋转 120 就得到了 CEB AME=180- AMC=180 -120 =60另解：利用特殊位置，由且BE=CD ，不防取 D 、E 分别为 BC 、 AB 的中点，易得 AME=60 145D.552思考题 : 如图 , ABC 是边长为5 的等边三角形， BDC 是等腰三角形 ,且 BDC120 ,以点 D 为顶点作一个 60 的角，使其两边分别交AB 、 AC 于点 M 、 N，则 AMN 的周长为.解： BDC 是等腰三角形，且BDC=120 ， BCD= DBC=30 ABC 是边长为3 的等边三角形 ABC= BAC= BCA=60 DBA

19、= DCA=90 延长 AB 至 F，使 BF=CN ，连接 DF ，在 Rt BDF 和 Rt CND 中， BF=CN ， DB=DC BDF CND BDF= CDN ，DF=DN MDN=60 BDM+ CDN=60 BDM+ BDF=60 ， FDM=60 = MDN ， DM 为公共边 DMN DMF ， MN=MF AMN 的周长是： AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6思考题 : (2012 济南 )如图， MON=90 ，矩形ABCD 的顶点 A 、 B 分别在边OM ， ON 上，当 B 在边 ON 上运动时， A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的

20、形状保持不变，其中AB=2 ，BC=1 ，运动过程中，点D 到点 O 的最大距离为（）1455A.12B.5C.5D.2解：如图，取AB 的中点 E，连接 OE、 DE、 OD， ODOE+DE ，当 O、 D、 E 三点共线时，点 D 到点 O 的距离最大，此时， AB=2 ， BC=1 ，OE AE 1AB 1， DE AD2 AE22 .2OD的最大值为：2 1故选：A例 3.如图 , 将 ABC绕顶点 A 顺时针旋转60 后 , 得到 ABC , 且 C为 BC的中点 , 则 CD:DB= ( )A.1:2B.1:22C.1:3D.1:3解析 : ABC是ABC 绕顶点 A 顺时针旋转

21、60o 后得到的， CAC =60o，ABCABC，又 AC=AC，AC C 是等边三角形， AC=AC又 C为 BC 的中点， BC=CC，易得 ABC、 ABC 是含 30o 角的直角三角形， ACD 也是含 30o角的直角三角形 CD=1 AC,AC=1 BCCD=1 BC ，故 CD:DB=1:3224思考题： 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD互相垂直，若AB=3 ， BC=4 ， CD=5 ，则 AD 的长为 ( )A.3 2B.4C. 23D.4 2（ 2012 济南）如图， MON=90 ，矩形 ABCD 的顶点 A 、B 分别在边OM ，ON 上，当 B 在边

22、ON上运动时， A 随之在边 OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2 ，BC=1 ，运动过程中，点 D 到点 O 的最大距离为（）的面积相等，然后求出四边形AEPF 的面积等于ABC 的面积的一半，判定正确解析 ：如图，把PCF 绕点逆时针旋转 90 ,A可得 PAE ，即PCF PAEE AE=CF ， PE=PF， APE= CPF，F正确 .BPC PCF PAE S 四边形 AEPF = S PAE+ SPAF = S PCF+ SPAF= S PAC= 12 SABC正确 .等腰直角三角形的斜边等于直角边的2 倍表示出 EF ， EF 随着点 E 的变化而变化，判定

23、错误，例 10. 如图 ,已知 ABC 中 AB=AC,BAC 90 , EPF 的顶点 P 是 BC 中点 ,两边 PE,PF 分别交 AB 、AC 于点 E、 F，给出以下五个结论： AE=CF; APE= CPF; EPF 是等腰直角三角形 ; EF=BE+CP;S 四边形AEPF =1 ，2S ABC当 EPF 在 ABC 内绕顶点 P 旋转时 (点 E 不与 A、 B 重合 )上述结论中始终正确的序号有.解析 : 根据等腰直角三角形的性质可得AP BC,AP=PC, EAP= C=45，根据同角的余角相等求出APE= CPF ，判定正确，然后利用 “角边角 ”证明 APE 和 CPF 全等，根据全等三角形的可得 AE=CF ，判定正确，再根据等腰直角三角形的定义得到EFP是等腰直角三角形，判定正确；根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的2 倍表示出 EF ，可知 EF 随着点 E 的变化而变化，判定错误，根据全等三角形的面积相等可得APE 的面积等于 CPF例 1.如图， P 为等边三角形ABC 内一点， BPC等于 150,PC=5,PB=12 ，则 PA 的长为.解析 :将 BPC 绕 C 点顺时针旋转60, 连接 PP， PCP=60，CP=C