线性规划问题

1、数学模型实验报告投资规划问题姓名 田璐璐 学号 1112123067 专业及班级 统计1102 1某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：（1） 政府及代办机构的证券至少要购进400万元；（2） 所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；（3） 所购证券的平均到期年限不超过5年。证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益（%）A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5问题：（

2、1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益率增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？一、 摘要 本文针对证券投资问题，采用线性规划模型，用Lingo软件求解得到了不同限制条件下的最佳投资方案。对于问题一，该经理有1000万元资金，进行投资。即在一定的约束条件下，建立线性规划模型，使用Lingo软件解线性规划即可得到答案。可得A证券的投资资金为218.1818万元，B证券的投资资金为0，C证券的投资资金为736.3636万元，D证券

3、的投资资金为0，E证券的投资资金为45.45455万元，在此情况下，获益最大为29.83636万元。对于问题二，涉及到借款的问题，收益就会因借款而减小。同样运用线性规划的方法，对整体求最优解。在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益率增加为4.5%，投资策略在不改变。证券C的税前收益减少为4.8%A证券的投资资金为336万元，B证券的投资资金为0，C证券的投资资金为0万元，D证券的投资资金为648万元，E证券的投资资金为16万元。在此情况下，获益最大为29.424万元 对于问题三，在问题一的基础上，进行灵敏度分析，当变量在一定范围里变动时，不改变投资计划。用LINGO求解，若该经理能以2.

4、75%的利率借到不超过100万元资金，他应该改变投资策略，A证券的投资资金为240万元，B证券的投资资金为0，C证券的投资资金为810万元，D证券的投资资金为0，E证券的投资资金为50万元，在此情况下，获益最大为30.07万元，应借款100万元。关键词：线性规划、LINGO、灵敏度分析二、 问题的复述某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，为了实现证券投资的有效组合（降低风险和收益最大化），投资者要有正确的投资决策。可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：（1）政府及代办机构的证券至少要

5、购进400万元；（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益（%）A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5建立模型：（1）若该经理有1000万元资金，投资建立模型使收益最大化（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益率增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？三、 问题的分析该问题属于线性规划问题，即在一定约束条件下

6、建立线性规划模型，找到最优的解，使利润最大化。通过建立模型，使用Lingo软件解线性规划即可得到答案。四、 问题的假设（1） 假设该经理所购证券都只是简单地一次投资，不进行再投资。（2） 假设题中所涉及的收益率和利率都与年限无关。（3） 假设所有证券的信用等级在15年内不发生任何变化。（4） 假设所有证券的到期税前收益在15年内不发生任何变化。（5） 假设所有证券的到期税前税率在15年内不发生任何变化。五、 符号说明x1投资证券A的金额x2投资证券B的金额x3投资证券C的金额x4投资证券D的金额x5投资证券E的金额y 以2.75%的利率借到的资金金额w 所有投资的证券总收益六、 建立数学模型及

7、求解模型一建立模型：目标函数：设所有投资的证券总收益为W万元,约束条件：政府及代办机构证券购买量： 平均信用等级：不超过1.4，即： 平均到期年限：不超过5年，即： 总资金： 模型求解： Max S.t. 用LINGO求解，可得A证券的投资资金为218.1818万元，B证券的投资资金为0，C证券的投资资金为736.3636万元，D证券的投资资金为0，E证券的投资资金为45.45455万元，在此情况下，获益最大为29.83636万元。模型二建立模型： 目标函数：设所有投资的证券总收益为W万元,约束条件政府及代办机构证券购买量： 平均信用等级：不超过1.4，即： 平均到期年限：不超过5年，即： 总

8、资金： 模型求解Max S.t. 用LINGO求解，若该经理能以2.75%的利率借到不超过100万元资金，他应该改变投资策略，A证券的投资资金为240万元，B证券的投资资金为0，C证券的投资资金为810万元，D证券的投资资金为0，E证券的投资资金为50万元，在此情况下，获益最大为30.07万元，应借款100万元。模型三建立模型：根据模型一的灵敏度分析（附录）得，证券A的税前收益増加0.35%，减少1.3%，原投资计划不改变。而证券A的税前收益率增加为4.5%，只增加了0.2%，所以投资不改变。证券c的税后收益率增加1.733333%，减少0.056%，原投资计划不改变。即税前可增加3.4%，可

9、减少0.112%。若证券C的税前收益减少为4.8%，即减少了0.2%，要改变原投资计划。目标函数：设所有投资的证券总收益为W万元,约束条件：政府及代办机构证券购买量： 平均信用等级：不超过1.4，即： 平均到期年限：不超过5年，即： 总资金： 模型求解模型求解： Max S.t. 在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益率增加为4.5%，投资策略在不改变。证券C的税前收益减少为4.8%A证券的投资资金为336万元，B证券的投资资金为0，C证券的投资资金为0万元，D证券的投资资金为648万元，E证券的投资资金为16万元。在此情况下，获益最大为29.424万元七、 模型的评价优点：（1）建立的

10、模型可在一定约束条件下，给出最优解。（2）利用lingo软件进行的灵敏度分析，能给人直观的解。（3）所建立的数学模型在一定条件下符合实际情况。缺点：（1）没有考虑投资年限问题，在实际情况中不太适用。（2）这里假设是简单投资，没有考虑再投资问题，不符合实际情况。八、 模型的改进使用数据计算结果，进行分析与检验：此模型只是简单的线性规划模型，有效地表示出了各个量之间的关系，更以全局最优解为参照，详细地算出了各个约束的影子价格。没有将更多的变量引入，未能将收益与现实更紧密的联系结合起来，在计算投资金额时，有一定的误差。此模型因本身局限，并不能以点盖面地显示出其他有效信息，运用不广。如果该题能给出投资

11、年限对收益率的影响，我们将会找到更适用的投资方案。九、 参考文献1赵静 但琦等 数学建模与数学实验（第三版） 高等教育出版社2007年6月2姜启源等,数学模型（第四版），高等教育出版社，2010年8月十附录1、LINGO求解模型一代码：max 0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5st x1+x2+x3+x4+x54002x1+2x2+x3+x4+5x514009x1+15x2+4x3+3x4+2x5=400x1+x2+x3+x4+x5-y=10000.6x1+0.6x2-0.4x3-0.4x4+3.6x5=04x1+10x2-x3-2x4-3x5=0y

12、100end Global optimal solution found. Objective value: 30.07000 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 3 Variable Value Reduced Cost X1 240.0000 0.000000 X2 0.000000 0.3018182E-01 X3 810.0000 0.000000 X4 0.000000 0.6363636E-03 X5 50.00000 0.000000 Y 100.0000 0.000000 Row Slack or Surplus

13、 Dual Price 1 30.07000 1.000000 2 410.0000 0.000000 3 0.000000 0.2983636E-01 4 0.000000 0.6181818E-02 5 0.000000 0.2363636E-02 6 0.000000 0.2336364E-02Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 0.4300000E

14、-01 0.3500000E-02 0.1070833E-01 X2 0.2700000E-01 0.3018182E-01 INFINITY X3 0.2500000E-01 0.1733333E-01 0.5600000E-03 X4 0.2200000E-01 0.6363636E-03 INFINITY X5 0.4500000E-01 0.5200000E-01 0.1400000E-01 Y -0.2750000E-01 INFINITY 0.2336364E-02 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS

15、Increase Decrease 2 400.0000 410.0000 INFINITY 3 1000.000 INFINITY 556.7901 4 0.0 1288.571 220.0000 5 0.0 1100.000 1320.000 6 100.0000 INFINITY 100.00003、LINGO求解模型三代码：max 0.043x1+0.027x2+0.024x3+0.022x4+0.045x5st x1+x2+x3+x4+x54002x1+2x2+x3+x4+5x514009x1+15x2+4x3+3x4+2x55000endGlobal optimal solutio

16、n found. Objective value: 29.42400 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 6 Variable Value Reduced Cost X1 336.0000 0.000000 X2 0.000000 0.3064000E-01 X3 0.000000 0.4400000E-03 X4 648.0000 0.000000 X5 16.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 29.42400 1.000000 2 0.000000 0.8320

17、000E-02 3 248.0000 0.000000 4 0.000000 0.6360000E-02 5 0.000000 0.2440000E-02Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 0.4300000E-01 0.1600000E-01 0.2750000E-02 X2 0.2700000E-01 0.3064000E-01 INFINITY X3 0.2400000E-01 0.4400000E-03 INFINITY X4 0.220000