求数列的通项公式方法总结推荐文档

1、数列常见题型总结题型四：求数列的通项公式一 公式法：当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利 用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比。1、叠加法:般地，对于型如an 1 anf（n）类的通项公式，且f（1）f（2）f (n)的和比较好求，我们可以采用此方法来求an。即：an (an an 1) (an 1 an 2) L(a2 aj ai (n 2)；【例1】已知数列 an满足a12,an 12an，求数列n nan的通项公式。解：（1）由题知：an 1 an12n n1 1 1n(n 1) n n 1an(an an 1) (an 1 an 2)+

2、(a 2- a1) a1二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：an和an-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法2、叠乘法：一般地对于形如“已知a1,且 an 1 =f (n)an（f （n）为可求积的数列）”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。即：an anan 1La2a1 (n 2);an 1an 2a1【例2】在数列an卜中，a1 =1,(n+1) - an 1=n -an，求an的表达式。解:由(n+1) an1 =n an 1an得nann 1Or_ a2a3= 色an_1 2 3n 11所以an1a1a a?a3an 12 3 4nnn3、构造法：当数列前一项和

3、后一项即 an和a1的递推关系较为复杂时，我们往往对原数 列的递推关系进行变形，重新构造数列，使其变为我们学过的熟悉的数列（等比数列或等差数列）。具体有以下几种常见方法。（1）、待定系数法：、一般地对于 an =kan-1 +m（k、m为常数）型，可化为的形式an +入=k（ an-1 +入）.重新-7 -构造出一个以k为公比的等比数列，然后通过化简用待定系数法求入，然后再求【例3】设b0,数列an满足a1=b， an nban 1(n 2)an 1 2n 2求数列an的通项公式;ba. ian 12(n1)得an1na设一bn，则bnanbn 1当b 2时,bn是以1一为首项,21一为公差的

4、等差数列,2即bn12 (n 1)12n，-an 22时，设bn(bn 1则bnbn1(b1)，bnb(bn1九)(n2)，是等比数列,bn(b11 / 2、n 1 又 u，又 b1b 丄(2)n _L_n 2 b (b)2 bbn厂，annbn(2 b)2n bn、对于an 1 pan f(n)(其中p为常数)这种形式，一般我们讨论两种情况:i、当f(n)为一次多项式时，即数列的递推关系为an 1 Aan BnC型，可化为a n 11 n 2A an1 (n 1)2的形式来求通项。【例4】设数列 an中,a11,an 1 3an2n 1，求an的通项公式。解：设 an 1 A(n 1)B 3

5、(an An B)an3an 2An2B A与原式比较系数得:2A 22B A 1 Ban(n 1)13(an n 1)令 bn an n 1,则 bn+1=3bn且 b仁a1+1+1=3bn是b1=3为首项，公比q=3的等比数列bn3 3n 13n即：anii、当f(n)为指数幕时，即数列递推关系为 an 1 Aan B Cn ( a、B C为常数，) 型，可化为an 1 Cn 1 = A(an Cn)的形式构造出一个新的等比数列， 然后再求an 当A=C时，我们往往也会采取另一种方法， 即左右两边同除以 Cn +1，重新构造数列，来求an。【例5】设a0为常数，且an 3n 2an 1 (

6、 n N ),1证明：对任意 n 1, an -3n ( 1) 2n ( 1)n 2n ao51 解：证明：设 an t 3n 2(an 1 t 3n 1)用 an 3n 1 2an 1 代入可得 t -53n3- an是公比为 2，首项为a1 的等比数列，55n(n N*),an (1 2ao 3) ( 2)n1553n ( 1)n 1 2nnn即: an(1)25(2)、倒数法：一般地形如anan 1、kan 1b倒数法将其变形为我们熟悉的形式来求通项公式。aoan an 1 an 1 an等形式的递推数列可以用【例6】已知数列an满足:a1 1，an 30771，求an的通项公式。13a

7、n 1 1解：原式两边取倒数得： -anan 11设 bn =,则 bn-bn-1=3,且 b1=1an1an 11bn是b1=1为首项公差d=2的等差数列bn 1 (n 1) 3 3n 2 即 an13n 2pq(3)、对数法：当数列 an和an-1的递推关系涉及到高次时，形如：an = mai-1 (其中m、p、q为常数)等，我们一般采用对数法，等式两边分别取对数，进行降次，再重新构 造数列进行求解。【例7】若数列an中，a1=3且an1an2(n是正整数)，则它的通项公式是an=解 由题意知an 0，将an 1 an2两边取对数得lg an 1 2lg an，即lgan 1 2，所lga

8、n以数列lg an是以lgai=lg3为首项，公比为2的等比数列，lgan lg a1 2n 1 lg3 ,n 1即 an 32 .(4 )、特征方程法、一般地对于形如已知 a1 m1,a2 m2,Oi+2=A ch+i +B 3n (A、B是常数)的二 阶递推数列，我们可以采取两种方法来求通项。法一：可用特征方程的方法求解：我们称方程：x2-Ax-B=0为数列的特征方程(i) 当方程有两个相异的实根(或虚根)p、q时，有：anC1pnC2qn，其中c1与c由已知ai,a2 m2,确定。(ii) 当方程有唯一的实根p时，有an(C1nC2) pn，其中c1与c2由已知a1 ,a2m2,确定。法

9、二：可构造成an 2 x1an 1 x2(an 1 Xan)，则an 1 x1an为等比数列，进而求 通项公式，这种方法过程较为繁杂。【例8】已知a 1 =2， a 2 =3， an 2 2an 1 an，求通项公式。解法一：特征方程的根为1，所以an = (c1 n+c2)x 1n丄c1 c2 2 口由：得 & = c = 1，所以 an = n + 1。2c1 c23解法二：设 an 2 Xan x2 (an 1 x1an)，可得 x 1 = x 2 = 1，于是an+1 an 是公 比为1的等比数列，an+1 an = 1，所以an = n + 1。、一般地形如：an 1a习b (a、b

10、、c、d为常数)c an d可得到相应的特征方程：x a-b，再将其变为cx2 (d a)x b 0，通过该方程的根cx d的情况来重新构造数列。(i )如果方程cx2 (d a)x b0有两个相异的实根，则有数列anp是以a1p为anqa1qa cp首项，为公比的等比数列；a cq(ii)如果方程cx2 (d a)x b0有两个相同的实根,则数列1疋以1为首an pa1p2c项，上1为公差的等差数列。a d【例9】已知数列&满足ai 2,an窘(n 2)，求数列曲的通项3 -解：其特征方程为x朋，化简得2X2 20 ,解得 Xi 1,X2an 11an 11an 1 c -an 141由a1

11、2,得a25，可得c 3，数列3是以L 1为首项，an 1ai 1 3以3为公比的等比数列，an 111an 1 33an3n ( 1)n3n ( 1)nan = Si Si-1这个通用、当题中给出的是 S和an的关系时，我们一般通过作差法结合公式对原等式进行变形，消掉Sn得到an和an+1的递推关系，或消掉 an得到Sn和Sn-1的递推关系，然后重新构造数列求通项公式。【例10】已知数列an的前n项和为s，且满足：a1a (a 0)，an1rSn(nN*，r R,r1) 求数列 an的通项公式;解：(1)由已知an 1 rSn,可得an 2rSn 1，两式相减可得an 2an 1r(Sn 1Sn)ran 1,即an 2(r1)an1,又a2ra1ra ,所以r=0时，数列an为:a.，0，-， 0，；当r0,r1时，由已知a 0,所以an0(n*N )，于是由an 2(r 1)an 1,可得r 1(nN )，an 1a2 , a3 ,L :,an L成等比数列，1当n2时，anr(r 1)n 2aann1,综上，数列an的通项公式为an9r (r1)na,n2【例11】已知各项均为正数的数列an的前n项和满足Sn1，且6Sn (an 1)(an2),nN* 求an的通项公式；1解：由 a1 S1仙1)(a12),解得 a1= 1或 a1