全国10月自考概率论与数理统计（经管类）试题解析

1、全国2012年10月概率论与数理统计（经管类）真题解析选择题部分一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。1.已知事件a，b，ab的概率分别为0.5，0.4，0.6，则p（a）=a.0.1 b.0.2c.0.3 d.0.5【答案】b【解析】因为，所以，而，所以，即；又由集合的加法公式p（ab）=p（a）+p（b）-p（ab）=0.5+0.4-0.6=0.3，所以0.50.30.2，故选择b.快解 用venn图可以很快得到答案：【提示】1. 本题涉及集合的运算性质：（

2、i）交换律：ab=ba,ab=ba；（ii）结合律：（ab）c=a（bc）,（ab）c=a（bc）；（iii）分配律：（ab）c=（ac）（bc）， （ab）c=（ac）（bc）；（iv）摩根律（对偶律）,.2.本题涉及互不相容事件的概念和性质：若事件a与b不能同时发生，称事件a与b互不相容或互斥，可表示为ab，且p（ab）=p（a）+p（b）.3.本题略难，如果考试时遇到本试题的情况，可先跳过此题，有剩余时间再考虑。2.设f（x）为随机变量x的分布函数，则有a.f（-）=0，f（+）=0 b.f（-）=1，f（+）=0c.f（-）=0，f（+）=1 d.f（-）=1，f（+）=1【答案】c【

3、解析】根据分布函数的性质，选择c。【提示】分布函数的性质： 0f（x）1； 对任意x1，x2（x1x2），都有px10. 如果二维随机变量（x,y）的概率密度为，则称（x,y）服从区域d上的均匀分布. 本题x2+y21为圆心在原点、半径为1的圆，包括边界，属于有界区域，其面积s=，故选择d.【提示】课本介绍了两种二维连续型随机变量的分布：均匀分布和正态分布，注意它们的定义。若（x,y）服从二维正态分布，表示为（x,y）.4.设随机变量x服从参数为2的指数分布，则e（2x1）=a.0 b.1c.3 d.4【答案】a【解析】因为随机变量x服从参数为2的指数分布，即=2，所以；又根据数学期望的性质有

4、 e（2x-1）=2e（x）-1=1-1=0，故选择a.【提示】1.常用的六种分布（1）常用离散型随机变量的分布：x01概率qpa. 两点分布 分布列 数学期望：e（x）=p 方差：d（x）=pq。b. 二项分布：xb（n,p） 分布列：，k=0，1，2，n； 数学期望：e（x）=np 方差：d（x）=npqc. 泊松分布：xp（） 分布列：，k=0，1，2， 数学期望：e（x）= 方差：d（x）（2） 常用连续型随机变量的分布 a.均匀分布：xua,b 密度函数：, 分布函数：， 数学期望：e（x）, 方差：d（x）.指数分布：xe（） 密度函数：, 分布函数：， 数学期望：e（x）, 方差

5、：d（x）.c.正态分布（a）正态分布：xn（,2） 密度函数：，x 分布函数： 数学期望：e（x）, 方差：d（x）2， 标准化代换： 若xn（,2），则yn（0,1）.（b）标准正态分布：xn（0,1） 密度函数：，x 分布函数：，x0, 则p（b|a）=p（b）.12.设a，b为两事件，且p（a）=p（b）=，p（a|b）=，则p（|）=_.【答案】【解析】，由1题提示有，所以，所以，故填写.【提示】条件概率：事件b（p（b）0）发生的条件下事件a发生的概率；乘法公式p（ab）=p（b）p（a|b）。13.已知事件a，b满足p（ab）=p（），若p（a）=0.2，则p（b）=_.【答案】

6、0.8【解析】，所以p（b）=1-p（a）=1-0.2=0.8，故填写0.8.【提示】本题给出一个结论：若，则有.x12345，p2a0.10.3a0.314.设随机变量x的分布律 则a=_.【答案】0.1【解析】2a+0.1+0.3+a+0.3=1，3a=1-0.7=0.3，所以 a=0.1，故填写0.1.【提示】离散型随机变量分布律的性质：设离散型随机变量x的分布律为px=xk=pk，k1，2，3，（1）pk0，k1，2，3，；（2）；（3）.15.设随机变量xn（1，22），则p-1x3=_.（附：（1）=0.8413）【答案】0.6826【解析】（1）- （-1）=2（1）-1=20.

7、8413-1=0.6826【提示】注意：正态分布标准化代换为必考内容.16.设随机变量x服从区间2，上的均匀分布，且概率密度f（x）=则=_.【答案】6【解析】根据均匀分布的定义，-2=4，所以=6，故填写6.17.设二维随机变量（x，y）的分布律01200.10.15010.250.20.120.100.1则px=y=_.【答案】0.4【解析】px=y=px=0,y=0+px=1,y=1+px=2,y=2=0.1+0.2+0.1=0.4故填写0.4.18.设二维随机变量（x，y）n（0，0，1，4，0），则x的概率密度fx （x）=_.【答案】，-x0 （1,2,n）； a1a2an=，则对

8、于内的任意事件b，都有；（2）贝叶斯公式：条件同a，则，i=1,2,n。（3）上述事件a1,a2,an构成空间的一个划分，在具体题目中，“划分”可能需要根据题目的实际意义来选择。27.已知二维随机变量（x，y）的分布律-10100.30.20.110.10.30求：（1）x和y的分布律；（2）cov（x，y）.【分析】本题考查离散型二维随机变量的边缘分布及协方差。【解析】（1）根据二维随机变量（x,y）的联合分布律，有x的边缘分布律为x01p0.60.4y的边缘分布律为y101p0.40.50.1（2）由（1）有e（x）=00.6+10.4=0.4，e（y）=（-1）0.4+00.5+10.1

9、=-0.3又+1（-1）0.1+100.3+110=-0.1所以cov（x,y）=e（xy）-e（x）e（y）=-0.1-0.4（-0.3）=0.02。【提示】协方差：a）定义：称e（x-e（x）（y=e（y）为随机变量x与y的协方差。记做cov（x,y）.b）协方差的计算 离散型二维随机变量：； 连续性二维随机变量：； 协方差计算公式：cov（x,y）=e（xy）-e（x）（y）； 特例：cov（x,y）=d（x）.c）协方差的性质：cov（x,y）cov（y,x）；cov（ax,by）abcov（x,y），其中a，b为任意常数；cov（x1+x2,y）cov（x1,y）cov（x2,y）；

10、若x与y相互独立，cov（x,y）0，协方差为零只是随机变量相互独立的必要条件，而不是充分必要条件；四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）28.某次抽样结果表明，考生的数学成绩（百分制）近似地服从正态分布n（75，2），已知85分以上的考生数占考生总数的5%，试求考生成绩在65分至85分之间的概率.【分析】本题计算过程可按服从正态分布进行。【解析】设考生的数学成绩为随机变量x，已知xn（75,2），且其中 zn0,1。所以。因此，考生成绩在65分至85分之间的概率约为0.9.29.设随机变量x服从区间0，1上的均匀分布，y服从参数为1的指数分布，且x与y相互独立.求：（1）x及y

11、的概率密度；（2）（x，y）的概率密度；（3）pxy.【分析】本题考查两种分布，相互独立的随机变量的性质及二维随机变量概率的计算。【解析】由已知 xu0,1，ye（1），（1）x的概率密度函数为，y的概率密度函数为（2）因为x与y相互独立，所以f（x,y）=f（x）f（y），则,（3）积分区域d如图所示，则有d：【提示】1. 1. 随机变量x，y相互独立。2.二重积分化二次积分的方法。3.定积分的第一换元法。五、应用题（10分）30.某种产品用自动包装机包装，每袋重量xn（500，22）（单位：g），生产过程中包装机工作是否正常要进行随机检验.某天开工后抽取了9袋产品，测得样本均值=502g.

12、 问：当方差不变时，这天包装机工作是否正常（=0.05）?（附：u0.025=1.96）【分析】本题考查单正态总体、方差已知、均值的假设检验。【解析】设假设检验的假设h0：=0=500；h1：0=500，已知xn（500,22），所以选择适合本题的统计量u统计量，由检验水平=0.05，本题是双侧检验，所以查表得临界值从而得到拒绝域 根据样本得到统计量的样本观察值因为，所以拒绝h0，即可以认为这台包装机的工作不正常。【提示】假设检验的基本步骤1.提出统计假设：根据理论或经验对所要检验的量作出原假设（零假设）h0和备择假设h1，要求只有其一为真。如对总体均值检验，原假设为h0：=0，备择假设为下列三种情况之一：h1：，其中