2020年高三数学一轮复习：统计与概率

1、江苏省 2020 届高三数学一轮复习典型题专题训练统计与概率一、填空题1、（南京市 2018 高三 9 月学情调研）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有 150，150，400，300 名学生为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取 40 名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为2、（南京市 2019 高三 9 月学情调研）已知某地连续 5 天的最低气温(单位：摄氏度)依次是 18，21，22，24，25，那么这组数据的方差为 3、 （南京市2019高三9月学情调研）不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的5只球，其中2只白 球，3只红球，现从中随机取出2只球，则取出的这

2、2只球颜色相同的概率是 3、 （南京市六校联合体 2019 届高三 12 月联考）若一组样本数据 3，4，8，9， a 的平均数为 6，则 该组数据的方差 s2 4、 （南京市六校联合体 2019 届高三 12 月联考）从 1，2，3，4 这四个数中一次性随机地取出 2 个数， 则所取 2 个数的乘积为奇数的概率是_3、 （南京市 13 校 2019 届高三 12 月联合调研）已知 4 瓶饮料中有且仅有 2 瓶是果汁饮料，从这 4 瓶 饮料中随机取 2 瓶，则所取两瓶中至少有一瓶是果汁饮料的概率是 4、 （南京市 13 校 2019 届高三 12 月联合调研）如图是样本容量为 200 的频率分

3、布直方图根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在6,10)内的频数为 8、 （南师附中 2019 届高三年级 5 月模拟）某班有学生 52 人，现将所有学生随机编号，用系统抽样 方法，抽取一个容量为 4 的样本，已知 5 号、31 号、44 号学生在样本中，则样本中还有一个学 生的编号是 9、 （南师附中 2019 届高三年级 5 月模拟）3 张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖，甲、乙两人 同时各抽取 1 张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是 8、 （苏州市 2018 高三上期初调研）为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得 的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图

4、中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1 : 2 : 3，第 2 小组的频数为 12，则报考飞行员的学 生人数是 11、（徐州市 2019 届高三上学期期中）某水产养殖场利用 100 个网箱养殖水产品，收获时测量各箱 水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图所示，则该养殖场有 个网箱产量不低于 50 kg12、 （海安市 2019 届高三上学期期中）已知某民营车企生产 a，b，c 三种型号的新能源汽车，库存 台数依次为 120，210，150，某安检单位欲从中用分层抽样的方法随机抽取 16 台车进行安全测试， 则应抽取 b 型号的新能源汽车的台数为 13、 （海安市 2019 届高三

5、上学期期中）有红心 1，2，3，4 和黑桃 5 这五张扑克牌，现从中随机抽取 两张，则抽到的牌均为红心的概率是 14、 （南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）如图是某次青年歌手大奖赛 上5 位评委给某位选手打分的茎叶图，则这组数据的方差为15、 （如皋市 2019 届高三上学期期末）为了解某地区的中小学生视力情况，从该地区的中小学生中 用分层抽样的方法抽取 300 位学生进行调查，该地区小学、初中、高中三个学段学生人数分别为 1200、 1000、800，则从高中抽取的学生人数为 16、 （苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019 届高三期末）已知一组样本数据 5，4，

6、x，3，6 的平 均数为 5，则该组数据的方差为 17、 （南京市、盐城市 2019 届高三上学期期末）某工厂生产 a，b，c 三种不同型号的产品，产品数 量之比依次为 2：3：5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为 n 的样本，其中样本中 a 型号产品有16 件，那么此样本的容量 n18、 （泰州市 2019 届高三上学期期末）从 1，2，3，4，5 这五个数中随机取两个数，则这两个数的 和为 6 的概率为19、 （无锡市 2019 届高三上学期期末）史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上 等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等 马，

7、田忌的下等马劣于齐王的下等马，先从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的 马获胜的概率为 20、 （宿迁市 2019 届高三上学期期末）春节将至，三个小朋友每人自制 1 张贺卡，然后将 3 张贺卡 装在一盒子中，再由三人依次任意抽取 1 张，则三人都没抽到自己制作的贺卡的概率为 21、（南京市、盐城市 2019 届高三第二次模拟）某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kpa）的分组区间为12,13)，13,14)，14,15)，15,16)，16,17)，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、，第二组， ，第五组，右图市根据实验数据制成的频率 分布直方图，已

8、知第一组于第二组共有 20 人，则第三组钟人数为 .22、（南京市 2019 届高三第三次模拟）已知某商场在一周内某商品日销售量的茎叶图如图所示，那 么这一周该商品日销售量的平均数为 23、（南通、如皋市 2019 届高三下学期语数英学科模拟（二）随机抽取 100 名年龄在 10,20）， 20,30），50,60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从 不小于 40 岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取 8 人，则在50,60）年龄段抽取的人数为 24、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019 届高三第一次模拟（2 月） 某中学组织学生参加社

9、会实践活动，高二（1）班 50 名学生参加活动的次数统计如下：次数人数22031541055则平均每人参加活动的次数为 .25、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019 届高三第二次模拟）从甲、乙、丙、丁这 4 名学生中随机选派 2 人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有 1 人被选 中的概率为 26、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019 届高三第二次模拟（5 月） 一只口袋装有形状、大小都相同的 4 只小球，其中有 3 只白球，1 只红球从中 1 次随机摸出 2 只球，则 2 只球都是白球的概率为 27、（苏锡常镇四市 2019 届高三教学情况调查（二

10、） 口装中有形状大小完全相同的四个球，球的编 号分别为 1，2，3，4若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于 6 的概率为 28、（苏锡常镇四市 2019 届高三教学情况调查（一） 箱子中有形状、大小都相同的 3 只红球、1 只白球，一次摸出 2 只球，则摸到的 2 只球颜色相同的概率为 29、 （盐城市 2019 届高三第三次模拟）现有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随 机参加一个，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_.30、 （江苏省 2019 年百校大联考）某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为 45s，黄灯时间为 3s，绿 灯时间为 60s从西向东行驶的一辆

11、公交车通过该路口，遇到红灯的概率为 二、解答题1、（南京市 2018 高三 9 月学情调研）袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色 的小球各有 4 个，分别编号为 1，2，3，4现从袋中随机取两个球（1） 若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（2） 在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量 x，求随机变量 x 的概率分布与数学 期望2、（南京市六校联合体 2019 届高三上学期 12 月联考）将 4 名大学生随机安排到 a,b,c,d 四个公司实 习（1） 求 4 名大学生恰好在四个不同公司的概率；（2） 随机变量 x 表示分到 b 公司的学生的人数，求 x 的分布列

12、和数学期望 e(x)3、（南京市 13 校 2019 届高三 12 月联合调研）在某次活动中，有5名幸运之星这5名幸运之星可获得a、b两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品(骰子的六个面上的点数分别为 1 点、2 点、3 点、4 点、5 点、6 点），抛掷点数小于3 的获 得 a 奖品，抛掷点数不小于 3 的获得 b 奖品（1）求这5名幸运之星中获得a奖品的人数大于获得b奖品的人数的概率；（2）设x、y分别为获得a、b两种奖品的人数，并记x= x -y，求随机变量x的分布列及数学期望4、（徐州市 2018 高三上期中考试）某同学在上学路上要经过 a

13、 、 b 、 c 三个带有红绿灯的路口.已1 1 3知他在 a 、b 、c 三个路口遇到红灯的概率依次是 、 、 ，遇到红灯时停留的时间依次是 40 秒、3 4 420 秒、 80 秒，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的.（1） 求这名同学在上学路上在第三个路口首次遇到红灯的概率；，（2） 求这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间.5、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019 届高三第四次模拟）一个暗箱中有形状和 大小完全相同的 3 只白球与 2 只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得 2 分，取到黑球得 3 分甲 从暗箱中有放回地依次取出 3 只球（1） 求甲三次都取得白球的概

14、率；（2） 求甲总得分 的分布列和数学期望6、（镇江市 2018 届高三第一次模拟（期末）考试）某学生参加4 门学科的学业水平测试，每门得 a等级的概率都是14，该学生各学科等级成绩彼此独立，规定：有一门学科获a 等级加 1 分，有两门学科获 a 等级加 2 分，有三门学科获 a 等级加 3 分，四门学科全获 a 等级加 5 分，记x1表示该生的加分数， x 表示该生获 a 等级的学科门数与未获 a 等级学科门数的差的绝对值。2（1）求 x 的数学期望；1（2）求x2的分布列。7、（海安县 2019 届高三上学期期末）从集合 px1x9，xn*中等可能地取出 m 个不同元素，记所取元素之和为x

15、。（1） 若 m2，求 x为偶数的概率；（2） 若 m3，h表示 x被 3 带队的余数，求h的概率分布及数学期望 e（h).8、（扬州市 2019 届高三上学期期中调研）假定某人在规定区域投篮命中的概率为 篮游戏中，共投篮 3 次.23，现他在某个投（1） 求连续命中 2 次的概率；（2） 设命中的次数为 x，求 x 的分布列和数学期望e ( x ).9、（扬州市 2019 届高三考前调研）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水 平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对 准上面一排两相邻铁钉的正中央从入口处放入一个直径略小于两颗

16、钉子间隔的小球，当小球从两 钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通 过两钉的间隙，又碰到下一排铁钉如此继续下去，在最底层的 5 个出口处各放置一个容器接住小 球（1） 理论上，小球落入 4 号容器的概率是多少？（2） 一数学兴趣小组取 3 个小球进行试验，设其中落入 4 号容器的小球个数为 x，求 x 的分布列与 数学期望1 2 3 4 510、（镇江市 2019 届高三考前模拟（三模） 某商场进行抽奖活动已知一抽奖箱中放有8 只除颜色 外，其它完全相同的彩球，其中仅有 5 只彩球是红色现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三 次，拿到红色球的个数

17、记为 x（1） 若取球过程是无放回的，求事件“x2”的概率；（2） 若取球过程是有放回的，求 x 的概率分布列及数学期望 e(x)11、（南京市、盐城市 2019 届高三第二次模拟）如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进 口 a 开始到出口 b ，每遇到一个岔路口，每位有课选择其中一条道路行进是等可能的. 现有甲、乙、 丙、丁共 4 名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口 a 的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口 bc的概率；（1）求甲经过点中，设点c是其中的一个交叉路口点.（2）设这 4 名游客中恰有 x名有课都是经过点 c ，求随机变量 x的概率分别和数学期

18、望.12、（南通、扬州、泰州、苏北四市七市 2019 届高三第一次（2 月）模拟）“回文数”是指从左到右 与从右到左读都一样的正整数，如 22，121，3553 等显然 2 位“回文数”共 9 个：11，22，33， 99现从 9 个不同 2 位“回文数”中任取 1 个乘以 4，其结果记为 x；从 9 个不同 2 位“回文数”中 任取 2 个相加，其结果记为 y（1）求 x 为“回文数”的概率；（2）设随机变量 x表示 x，y 两数中“回文数”的个数，求x的概率分布和数学期望 e (x) 13、（南通市 2019 届高三适应性考试）已知正四棱锥 p -abcd 的底面边长和高都为 2现从该棱锥

19、 的 5 个顶点中随机选取 3 个点构成三角形，设随机变量 x 表示所得三角形的面积（1）求概率 p ( x =2)的值；（2）求随机变量 x 的概率分布及其数学期望 e ( x )522241 14 31 14 31 14 34 8 4 8 44()参考答案 一、填空题21、16 2、6 3、264 541656、 7、64 8 、18 9 、 6311、82 12、7 13、51310、4814、20 15、80 16、2 17、8018、1 1 119、 20、5 3 321、18 22、30 23、2 24、3 25、2326、1227、13128、 29、21330、512二、解答题

20、1、解：（1）两个球颜色不同的情况共有 c 496(种).4（2）随机变量 x 所有可能的值为 0，1，2，34c 1p(x0) ，96 43cc 3p(x1) ，96 82cc 1p(x2) ，96 4c c 1p(x3) 96 8所以随机变量 x 的概率分布列为：3 分5 分1 3 1 1 5所以 e(x)0 1 2 3 8 分10 分2、解：（1）将 4 人安排四个公司中，共有 4 =256 种不同放法 记“4 个人恰好在四个不同的公司”为事件 a， 事件 a 共包含 a4 =24 个基本事件，424 3所以 p a = = ，256 32所以 4 名大学生恰好在四个不同公司的概率332

21、 3 分( )( )( )1 1 3()()( )k 4 -k( )1 1 35555555（2）方法 1：x 的可能取值为 0，1，2，3，4，34 81p x =0 = =44 256， p (x=1)=c 1 33 274 =44 64， p (x=2 )=c 2 32 27 4 =4 4 128，p(x =3)=c 3 3 3 c 4 1 4 = ， p x =4 = 4 =44 64 4 4 256所以 x 的分布列为：x 0 1 2 3 4p81 27 27 3 1256 64 128 64 256 8 分 所以 x 的数学期望为：81 27 27 3 1e x =0 +1 +2

22、+3 +4 =1256 64 128 64 256 10 分xp方法 2：每个同学分到 b 公司的概率为 p( b) = ， p ( b) =1 - = 5 分4 4 4根据题意 x b 4 ， ，所以 p x =k =c k ， k =0 ，1，2，3，4，4 4 4 4所以 x 的分布列为：0 1 2 3 481 27 27 3 1256 64 128 64 256 8 分所以 x 的数学期望为 e (x)=414=1 10 分3、解：这5名幸运之星中，每人获得a奖品的概率为2 1 4 2 = ， b 奖品的概率为 =6 3 6 3（1）要获得a奖品的人数大于获得b奖品的人数，则a奖品的人

23、数可能为3,4,5，则则所求概率为1 2 1 2 1 17 p =c 3 ( ) 3 ( ) 2 +c 4 ( ) 4 ( ) +c 5 ( ) 5 =3 3 3 3 3 81 4 分（2） x的可能取值为1,3,5，且1 2 1 2 40p (x =1) =c 3 ( ) 3 ( ) 2 +c 2 ( ) 2 ( ) 3 =3 3 3 3 81，p (x=3) =c 4 51 2 1 2 10 ( ) 4 ( ) +c 1 ( )( ) 4 = 3 3 3 3 27，p (x=5) =c 0 52 1 11 ( ) 5 +c 5 ( ) 5 =3 3 81， 所以x的分布列是：xp14081

24、3 510 1127 81故随机变量x的数学期望ex=1 40 10+3 81 27+511 185=81 81 10 分4、（1）设这名同学在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 a ，因为事件 a 等于事件“这名同学在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红 灯” ，1 1所以事件 a 的概率为 p ( a) =(1- ) (1- ) 3 43 3= .4 分 4 8（2）记“这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间”为x，由题意，可得 x可能取的值为 0，40，20，80，60，100，120，140(单位:秒). 5 分 即 x 的分布列是：1 1 3 1 1 1 3 1p

25、(x=0) =(1- )(1- )(1- ) = ； p (x=40) = (1- ) (1- ) = ；3 4 4 8 3 4 4 161 1 3 1 1 1 3 3p(x=20) =(1- ) (1- ) = ； p(x =80) =(1- ) (1- ) = ；3 4 4 24 3 4 4 8p(x1 1 3 1 1 1 3 1 =60) = (1- ) = ； p (x =100) =(1- ) = ；3 4 4 48 3 4 4 81 1 3 3 1 1 3 1p(x=120) = (1- ) = ； p(x=140) = =3 4 4 16 3 4 4 161 1 3 1 1 3

26、1 235所以 ex=40 +20 +80 +60 +100 +120 +140 =16 24 8 48 8 16 16 3.答：这名同学在上学路上因遇到红灯停留的总时间为2353.10 分5、6、解析：(1) 记该学生有 i 门学科获得 a 等级为事件 a ，i1，2，3，4.(1 分)i 的可能取值为 0，1，2，3，5.(2 分)1则 p(a )cii41 i 3 4i 44，(3 分)81 27 27 即 p(a ) ，p(a ) ，p(a ) ，0 256 1 64 2 128 3 1p(a ) ，p(a ) ，3 64 4 256则 的分布列为1256 64 128 64 256

27、25612864 64 32256 256 128101235p81256276427128364125681 27 27 3 1 257所以 e( )0 1 2 3 5 .(5 分) 1(2) 的可能取值为 0，2，4，则227p ( 0)p(a ) ；(7 分)2 227 3 15p ( 2)p(a )p(a ) ；(8 分)2 1 381 1 41p ( 4)p(a )p(a ) ，(9 分)2 0 5则 的分布列为27、1 2 3 1 2 333338、解：（1）设 a (i =1,2,3) 表示第 i 次投篮命中， a 表示第 i 次投篮不中；设投篮连续命中 2 次为事i i2 2

28、1 1 2 2 8件 a ，则 p ( a) =p ( a a a +a a a ) = + = 4 分3 3 3 3 3 3 27（2）命中的次数 x 可取 0，1，2，3；2 1 2 2 2 2 2 4p ( x =0) =(1- ) 3 = ， p ( x =1) =c 1 ( )1 (1- ) 2 = ， p ( x =2) =c 2 ( ) 2 (1 - )1 = ，3 27 3 3 9 3 3 92 8p ( x =3) =( ) 3 =3 27x0 1 2 3p12729498278 分2 4 8所以 e ( x ) =1 +2 +3 =29 9 27答： x 的数学期望为 2 10 分9、解：（1）记“小球落入 4 号容器”为事件 a ，若要小球落入 4 号容器，则在通过的四层中有三层 需要向右，一层向左 p ( a) =c341 1( ) 4 =2 43 分（2）落入 4 号容器的小球个数 x 的可能取值为 0,1,2,31 27 1 1 27 1 1 9 p ( x =0) =(1 - )3 = ， p ( x =1) =c 1 (1 -