2019年北京市高考数学模拟试卷(含解析)

1、2322200 02020 022019 年北京市人大附中高考数学模拟试卷（理科）（一）（ 3 月份） 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1（5 分）设集合 axz|x 2x30，b1，0，1，2，则 ab（ ）a0，1 b0，1，2 c1，0，1d1，02（5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z ai bi，则 z （ ）c1 d13（5 分）命题“x0，2，x 2x0”的否定是（ ）ax0，2，x 2x0bx 0，2，x 2x 0cx0，2，x 2x04（5 分）f（x）是 r 上的奇函数，且 f（x）dx0，2，x 2x 0，则 f（ ）（ ）abc1 d15（5

2、分）已知焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为 距离为 2，则该双曲线的标准方程为（ ）a 1 b y 1c 1 d 1，且其焦点到渐近线的6（5分）两名同学分3 本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得 3 本书的概率为（ ）abcd7（5 分）中国古代数学著作算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等意思是现有松树高 5 尺，竹子高 2 尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹 子一般高？如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 x5，y2，输出的 n 为 4，则程序框图中的中应填（ ）第 1

3、 页（共 23 页）22 2ayx byx cxy dxy8（5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（ ）abc16d25二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。）9（5 分）双曲线 y 1 的焦距是 ，渐近线方程是 10 （5 分）若变量 x，y 满足11 （5 分）已知圆 c 的参数方程为，则 x +y 的最大值是 （ 为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin+cos1，则直线 l 截圆 c 所得的第 2 页（共 23 页）1 21 2弦长是 12（5 分）已知函数

4、，若关于 x 的方程 f（x）k 有两个不同零点，则k 的取值范围是 13（5 分）如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”若某勾股树含有 1023 个正 方形，且其最大的正方形的边长为 ，则其最小正方形的边长为 14（5 分）设 w 是由一平面内的 n（n3）个向量组成的集合若 ，且 的模不小于 w 中除 外的所有向量和的模则称 是 w 的极大向量有下列命题：若 w 中每个向量的方向都相同，则 w 中必存在一个极大向量；给定平面内两个不共线向量，在该平面内总存在唯一的平面向量 ，使得中的每个元素都是极大向量； 若中的

5、每个元素都是极大向量，且w ，w 中无公共元素，则 w w 中的每一个元素也都是极大向量其中真命题的序号是 三、解答题（共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15（13 分）已知（i）求的值；（）求 f（x）的单调递增区间16（13 分）某车险的基本保费为 a（单位：元），继续购买车险的投保人称为续保人，续保 人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：第 3 页（共 23 页）x2 2 2 2上年度出险次数0 1 2 3 45保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a随机调查了该险种的 1000 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次

6、数频数040012702200380440510（）记 a 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求p（a）的估计值；（）某公司有三辆汽车，基本保费均为 a，根据随机调查表的出险情况，记 x 为三辆 车中一年内出险的车辆个数，写出 x 的分布列；（）求续保人本年度的平均保费估计值17（13 分）如图，在三棱锥 pabc 中，abc 和pac 都是正三角形，ac2，e、f 分别是 ac、bc 的中点，且 pdab 于 d，平面 pac平面 abc（）证明：efed；（）求点 f 到平面 pab 的距离18（13 分）已知函数 f（x）e a（x+1）（）若曲线 yf（x）在（0，f（0

7、） 处的切线斜率为 0，求 a 的值；（）若 f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围；（）求证：当 a0 时，曲线 yf（x）（x0）总在曲线 y2+lnx 的上方19（14 分）已知o：x +y 4 和椭圆 c：x +2y 4，f 是椭圆 c 的左焦点（）求椭圆 c 的离心率和点 f 的坐标；（）点 p 在椭圆 c 上，过 p 作 x 轴的垂线，交o 于点 q（p，q 不重合），l 是过点 q的o 的切线圆 f 的圆心为点 f，半径长为|pf|试判断直线 l 与f 的位置关系，并第 4 页（共 23 页）n 1 2nkn*k0nk j55n 1 2m1 2mnnn证明你的结论20（14 分）

8、数列 a ：a ，a ，a （n2）满足：a 1（k1，2，n）记a 的前k 项和为 s ，并规定 s 0定义集合 e kn ，kn|s s ，j0，1，k1 （）对数列 a ：0.3，0.7，0.1，0.9，0.1，求集合 e ；（）若集合 e k ，k ，k （m1，k k k ），证明：1（i1，2，m1）；（）给定正整数 c对所有满足 s c 的数列 a ，求集合 e 的元素个数的最小值第 5 页（共 23 页）233 322200 02020 02019 年北京市人大附中高考数学模拟试卷（理科）（一）（3 月份）参考答案与试题解析一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分

9、）1（5 分）设集合 axz|x 2x30，b1，0，1，2，则 ab（ ）a0，1 b0，1，2c1，0，1 d1，0【考点】1e：交集及其运算【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5j：集合【分析】先求出集合 a0，1，2，然后进行交集的运算即可 【解答】解：ax z|1x30，1，2；ab0，1，2故选：b【点评】考查列举法、描述法表示集合的概念，以及交集的运算2（5 分）已知 i 为虚数单位，复数 z ai bi，则 z （ ）c1 d1【考点】a5：复数的运算【专题】38：对应思想；4o：定义法；5n：数系的扩充和复数【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位

10、 i 的性质求解【解答】解：z ，z i i故选：b【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题3（5 分）命题“x0，2，x 2x0”的否定是（ ）ax0，2，x 2x0bx 0，2，x 2x 0cx0，2，x 2x0dx0，2，x 2x 0【考点】2j：命题的否定【专题】35：转化思想；4o：定义法；5l：简易逻辑第 6 页（共 23 页）2200 022【分析】运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，可得命题的否定 【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题“x0，2，x 2x0”的否定是“x 1，2，x 2x 0”故选：d【点评】本题考查命题的否定，注意运用全称

11、命题的否定为特称命题，以及量词和不等 号的变化，考查转化思想，属于基础题4（5 分）f（x）是 r 上的奇函数，且 f（x） ，则 f（ ）（ ）abc1 d1【考点】5b：分段函数的应用【专题】11：计算题；33：函数思想； 34：方程思想；49：综合法；51：函数的性质及 应用【分析】利用分段函数以及函数的奇偶性转化求解即可【解答】解：f（x）是 r 上的奇函数，且 f（x） ，则 f（ ）f（ ）f（ ）log 1故选：c【点评】本题考查分段函数的应用，函数的奇偶性的应用，考查计算能力5（5 分）已知焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且其焦点到渐近线的距离为 2，则该双曲线

12、的标准方程为（ ）a 1 b y 1c 1 d 1【考点】kc：双曲线的性质【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5d：圆锥曲线的定 义、性质与方程第 7 页（共 23 页）abcabc【分析】利用双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式即可得出【解答】解：由题意可设此双曲线的标准方程为： （a0，b0）双曲线的一条渐近线的倾斜角为 ，取焦点 f（c，0），焦点到渐近线的距离为 3， ，解得 b2，a2，因此该双曲线的方程为： 1故选：d【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式，属于基本知识 的考查6（5分）两名同学分3 本不同的书，其中

13、一人没有分到书，另一人分得 3 本书的概率为（ ）abcd【考点】cb：古典概型及其概率计算公式【专题】11：计算题；34：方程思想；4o：定义法；5i：概率与统计【分析】两名同学分 3 本不同的书，利用列举法求出基本事件包含 8 种情况，其中一人没有分到书，另一人分到 3 本书的情况有两种，由此能求出一人没有分到书，另一人分 得 3 本书的概率【解答】解：两名同学分 3 本不同的书，基本事件包含：（0，3），（1，2），（1，2），（1，2），（2，1 ），（2，1 ），（2，1 ），（3，0），共8 种情 况，其中一人没有分到书，另一人分到 3 本书的情况有两种，一人没有分到书，另一人分得

14、 3 本书的概率为：p故选：b【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力， 考查函数与方程思想，是基础题第 8 页（共 23 页）7（5 分）中国古代数学著作算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等意思是现有松树高 5 尺，竹子高 2 尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹 子一般高？如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 x5，y2，输出的 n 为 4，则程序框图中的中应填（ ）ayx byx cxy dxy【考点】ef：程序框图【专题】11：计算题；27：图表型；

15、4b：试验法；5k：算法和程序框图【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 x，y 的值，由输出 n 的值为 4，可 得判断框内的条件【解答】解：模拟程序的运行，可得x5，y2，n1x ，y4不满足条件，执行循环体，n2，x，y8，此时，xy，第 9 页（共 23 页）2 22不满足条件，执行循环体，n3，x不满足条件，执行循环体，n4，x，y16，此时，xy，y32，此时，xy，由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出 n 的值为 4可得程序框图中的中应填 xy？故选：c【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关 键，属于基本知识的考查8（5 分）如

16、图，网格纸上小正方形的边长为 1，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球表面积为（ ）abc16d25【考点】l!：由三视图求面积、体积；lg：球的体积和表面积【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想； 49：综合法；5f：空间位置关系 与距离【分析】由三视图知该几何体是三棱锥，求出外接球的半径，然后求解球的表面积【解答】解：如图，由三视图知该几何体是三棱锥的底面是等腰直角三角形，高为2，侧面是等腰三角形与底面的三角形的斜边垂直，底面边长为 4，高为 4，如图：所以三棱锥 的外接球的圆心在侧面等腰三角形的高线上，球心为 o，设球的半径为 r，则：r 4+（4r） ，解得 r

17、，则该几何体的外接球表面积为：4（2r） 25故选：d第 10 页（共 23 页）22 22 22 2 2 2 2【点评】本题考查了几何体三视图的应用问题，由三视图还原出几何体是解题的关键 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。）9（5 分）双曲线 y 1 的焦距是 2，渐近线方程是 yx【考点】kc：双曲线的性质【专题】11：计算题；5d：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程【解答】解：双曲线1 中，a ，b1，c，焦距是 2c2，渐近线方程是 yx故答案为：2；yx【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础

18、10（5 分）若变量 x，y 满足，则 x +y 的最大值是 10【考点】7c：简单线性规划【专题】11：计算题；38：对应思想；44：数形结合法；5t：不等式【分析】由约束条件作出可行域，再由 x +y 的几何意义，即可行域内动点与原点距离的 平方求得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得 b（3，1），x +y 的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值|ob| 3 +（1） 10， 故答案为：10第 11 页（共 23 页）2 2【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题11（5 分）已知圆 c 的参数方程为 （ 为参数），以原点为极点，

19、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin+cos1，则直线 l 截圆 c 所得的 弦长是 【考点】j8：直线与圆相交的性质；q4：简单曲线的极坐标方程；qk：圆的参数方程【专题】5b：直线与圆【分析】利用弦长 ，（其中 d 为弦心距）公式即可计算出【解答】解：直线 l 的极坐标方程为 sin+cos1，化为直角坐标系下的普通方程为 y+x1；由圆 c 的参数方程为 （ 为参数），消去参数 化为普通方程 x +（y2） 1，其圆心 c（0，2），半径 r1直线 l 截圆 c 所得的弦长2 故答案为 【点评】熟练弦长、弦心距及半径三者之间的关系是解题的关键12（5 分）已

20、知函数 ，若关于 x 的方程 f（x）k 有两个不同零点，则k 的取值范围是 （0，1） 【考点】52：函数零点的判定定理【专题】31：数形结合；44：数形结合法；51：函数的性质及应用【分析】作出 f（x）的函数图象，根据图象得出 k 的范围【解答】解：作出 f（x）的函数图象如图所示：第 12 页（共 23 页）nf（x）k 有两个不同解， 0k1故答案为：（0，1）【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题13（5 分）如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”若某勾股树含有 1023 个正 方形，且其

21、最大的正方形的边长为 ，则其最小正方形的边长为 【考点】f4：进行简单的合情推理【专题】11：计算题；38：对应思想；4g：演绎法；54：等差数列与等比数列；5m：推 理和证明【分析】正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，利用共得到 1023个正方形，借助于求和公式，可求得正方形边长变化的次数，从而利用等比数列的通项 公式，即可求最小正方形的边长【解答】解：由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到 1023 个正方形，则有 1+2+211023，n10，第 13 页（共 23 页）1 21 21 2最小正方形的边长为 故答案为： 【点评】本题以图形为载体，考查

22、等比数列的求和公式及通项，关键是的出等比数列模 型，正确利用相应的公式14（5 分）设 w 是由一平面内的 n（n3）个向量组成的集合若 ，且 的模不小于 w 中除 外的所有向量和的模则称 是 w 的极大向量有下列命题：若 w 中每个向量的方向都相同，则 w 中必存在一个极大向量；给定平面内两个不共线向量，在该平面内总存在唯一的平面向量 ，使得中的每个元素都是极大向量； 若中的每个元素都是极大向量，且w ，w 中无公共元素，则 w w 中的每一个元素也都是极大向量其中真命题的序号是 【考点】9o：平面向量数量积的性质及其运算【专题】11：计算题；23：新定义；35：转化思想；4r：转化法；5a

23、：平面向量及应用【分析】在中，假如所有向量都相等显然是没有极大向量的；在和中，关键是： 3 个向量都是极大向量，等价于 3 个向量之和为 0【解答】解：在中，若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；在 中，使围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；在中，3 个向量都是极大向量，等价于 3 个向量之和为 0，故中的每个元素都是极大向量时，w w 中的每一个元素也都是极大向量，故正确故答案为：【点评】本题考查命题真假的判断，考查新定义的应用，考查学生分析解决问题的能力， 属于中档题三、解答题（共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明

24、过程）第 14 页（共 23 页）15（13 分）已知（i）求的值；（）求 f（x）的单调递增区间【考点】gl：三角函数中的恒等变换应用【专题】35：转化思想；57：三角函数的图象与性质【分析】（i）直接将 x带入计算即可（）利用二倍角和辅助角公司化简，即可求 f（x）的单调递增区间【解答】解：（）直接将 x带入，可得：2（）由 因为函数 ysinx 的单调递增区间为（kz），令解得（k z），（kz），故 f（x）的单调递增区间为（k z）【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解 决本题的关键16（13 分）某车险的基本保费为 a（单位：元），继续购买车险

25、的投保人称为续保人，续保 人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数0 1 2 3 45保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a随机调查了该险种的 1000 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数频数040012702200380440510（）记 a 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求p（a）的估计值；第 15 页（共 23 页）33（）某公司有三辆汽车，基本保费均为 a，根据随机调查表的出险情况，记 x 为三辆 车中一年内出险的车辆个数，写出 x 的分布列；（）求续保人本年度的平均保费估计值【考点】cg：离散型随机变量及其分布

26、列【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5i：概率与统计【分析】（）事件 a 的人数为：400+270670，该险种有 1000 人续保，由此能求出 p （a）的估计值（）x 的可能取值为 0，1，2，3，由出险情况的统计表可知：一辆车一年内不出险的概率为 ，出险的概率为 ，分别求出 x 的值为 0，1，2，3 对应的概率，由此能求出 x 的分布列（）由续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联表能求出续保人本年度的平均 保费估值【解答】解：（）事件 a 的人数为：400+270670，该险种有 1000 人续保，所以 p（a）的估计值为： 0.67（3 分）（）x 的可能取值为

27、 0，1，2，3，（4 分）由出险情况的统计表可知：一辆车一年内不出险的概率为 ，出险的概率为 1p（x0）（ ） p（x1）p（x2）p（x3）（ ） 所以的 x 分布列为：，（5 分） ， ，（9 分）xp0 1 2 3（10 分）（）续保人本年度的平均保费估值为：第 16 页（共 23 页）f pab p abf（0.85a400+a270+1.25a200+1.5a80+1.75a40+2a10）1.07a （13 分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查 古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题17（13 分）如图，在

28、三棱锥 pabc 中，abc 和pac 都是正三角形，ac2，e、f 分别是 ac、bc 的中点，且 pdab 于 d，平面 pac平面 abc（）证明：efed；（）求点 f 到平面 pab 的距离【考点】lw：直线与平面垂直；mk：点、线、面间的距离计算【专题】14：证明题；31：数形结合；49：综合法；5f：空间位置关系与距离【分析】（）推导出 efab，pe平面 abc，从而 peab，pdab，进而 ab平 面 ped，abed，再由 efab，能证明 efed（）设点 f 到平面 pab 的距离为 d，由 vv ，能求出点 f 到平面 pab 的距 离【解答】证明：（）e、f 分别

29、是 ac、bc 的中点，efab， （1 分）在正三角形 pac 中，peac，又平面 pac平面 abc，平面 pac平面 abcac，pe平面 abc，第 17 页（共 23 页）f pab p abfabf（3 分）peab，又 pdab，pepdp，ab平面 ped， （5 分）abed，又 efab，efed； （6 分）解：（）设点 f 到平面 pab 的距离为 d，vv ， ， （7 分）解得 pebe ，由 abed，可知 abedaebe，得 ed，（8 分）pd，（9 分），（10 分）由 efab，可知 s ，点 f 到平面 pab 的距离 d （12 分）第 18 页（

30、共 23 页）xxxxx【点评】本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档 题18（13 分）已知函数 f（x）e a（x+1）（）若曲线 yf（x）在（0，f（0） 处的切线斜率为 0，求 a 的值；（）若 f（x）0 恒成立，求 a 的取值范围；（）求证：当 a0 时，曲线 yf（x）（x0）总在曲线 y2+lnx 的上方【考点】6e：利用导数研究函数的最值；6h：利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】33：函数思想；49：综合法；53：导数的综合应用【分析】（i）根据 f（0）0 解出

31、 a 的值；（ii） 结合函数图象，求出 ye 的过点（1，0）的切线方程，从而可得 a 的范围；（iii） 求出 y2+lnx 的斜率为 1 的切线，可得直线 yx+1 为两函数图象的公切线，从而 得出结论【解答】解：（i）f（x）e a，f（0）1a0，解得 a1（ii）f（x）0 恒成立，即 e a（x+1）恒成立，ye 的图象在直线 ya（x+1）上方，第 19 页（共 23 页）x0 0x1 1x2 2 2 2由图象可知：a0设直线 yk（x+1）与 ye 相切，切点为（x ，y ），则 ，解得 ，0a1（iii）当 a0 时，f（x）e ，设曲线 y2+lnx 在（x ，y ）处的

32、切斜斜率为 1，则 ，解得 ，曲线 y2+lnx 在（1，2）处的切斜为 yx+1，y2+lnx 的图象在直线 yx+1 下方，由（ii）可知 ye 的图象在直线 yx+1 上方，当 a0 时，曲线 yf（x）（x0）总在曲线 y2+lnx 的上方【点评】本题考查了导数的几何意义，函数切线的求解，属于中档题19（14 分）已知o：x +y 4 和椭圆 c：x +2y 4，f 是椭圆 c 的左焦点（）求椭圆 c 的离心率和点 f 的坐标；（）点 p 在椭圆 c 上，过 p 作 x 轴的垂线，交o 于点 q（p，q 不重合），l 是过点 q的o 的切线圆 f 的圆心为点 f，半径长为|pf|试判断直线 l 与f 的位置关系，并第 20 页（共 23 页）0 00010 12 2 2 2 20 000 10 12 2证明你的结论【考点】kh：直线与圆锥曲线的综合；kj：圆与圆锥曲线的综合【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5d： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）利用椭圆 c 的方程，求出长半轴，短半轴的长，求出半焦距的长，然后求 解离心率和点 f 的坐标；（）直线 l 与圆 f 相切设