2019年高三数学试题分类：数列的通项与求和

1、（四川省内江、眉山等六市 2019 届高三第二次诊断性考试数学（理）试题）13.中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走里，第一日，第四日，第七日所走之和为里，则该男子的第三日走的里数为_【答案】120【解析】【分析】将题目转化成数学语言，得到等差数列关系，求出首项和公差，再求第三日走的里数，即数 列的第三项.【详解】因为男子善走，日增等里，可知每天走的里数符合等差数列，设这个等差数列为 其公差为 ，前 项和为 .，根据题意可知， 法一：，.法二： ，解得所以【点睛】本题考查文字描述转化数学语言的能力，等差数列求和和通项以及基本性质，属于 简单题.（安徽省宣城市

2、八校联考 2019 届高三上学期期末数学试题）14.已知数列的各项都是正数，其前 项和 满足 ， ，则数列的通项公式为_ 【答案】【解析】【分析】先由递推公式求出，再由时，整理，求出 ，进而可求出结果.【详解】因为数列的各项都是正数，其前 项和 满足， ，所以当时， ；当时，即，即，所以数列是等差数列，又 ，因此，因此,又也满足 ，所以 ，.故答案为【点睛】本题主要考查由递推公式求数列的通项公式，灵活处理递推公式即可，属于常考题 型.（广东省潮州市 2019 届高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题）16.设数列_【答案】【解析】【分析】的前 n 项和为 ，已知 ，且对任意正整数 n 都有

3、，则对任意正整数 n 都有 公式即可得出【详解】对任意正整数 n 都有，可得 ，利用等差数列的通项， ，即数列， 是首项与公差都为 1 的等差数列 ，解得 故答案为： 【点睛】本题考查由数列递推关系求通项公式，考查等差数列的通项公式的应用，考查推理 能力与计算能力，属于中档题（湖南省邵阳市 2019 届高三上学期 10 月大联考理科数学试题）11.已知数列的前 n项和为 ，且满足，则下列命题错误的是a.c.【答案】c【解析】【分析】b.d.， 则=， 两 式 相 减 得 到 a 正 确 ； 由 a 选 项 得 到进而得到 b=正 确 ； 同 理 可 得 到 c 错 误 ； 由【 详 解 】 已

4、 知 ， 则得 到进而 d 正确.， 两 式 相 减 得 到， 故a正 确 ； 根 据a选 项 得 到=，故 b 正确；=， 故c不 正 确 ； 根 据故 d 正确.故答案为：c.【点睛】这个题目考查了数列的应用，根据题干中所给的条件进行推广，属于中档题，这类题目不是常规的等差或者等比数列，要善于发现题干中所给的条件，应用选项中正确的结论n进行其它条件的推广.（山东省泰安市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题）5.已知数列 a. 57中，b. 61， 为其前 项和，则 的值为（ ） c. 62d. 63【答案】a【解析】试题分析 ：由条件可得，所以，故选 a.考点：1.数列的递推公式

5、；2.数列求和.（山东省淄博实验中学、淄博五中 2019 届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）7.已知数列的通项公式是 ，其前 项和 ，则项数a. 13b. 10c. 9d. 6【答案】d【解析】数列a 的通项公式是 ，则：据此可得： ，求解关于 的方程可得 n6. 本题选择 d 选项.（湖南师大附中 2019 届高三月考试题（七） 数学（理）6.已知数列满足： ，则（ ）a.b.c.d.【答案】c【解析】【分析】由已知得，由此利用累加法能求出数列a 的通项公式n【详解】数列满足：， ，当 n2 时，a a +a a +a a +a an 1 2 1 3 2 n n1= ，故选 c.【点睛

6、】本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意累加法的运用，是基础 题.（四川省攀枝花市 2019 届高三第二次统一考试数学（理）试题）17.已知数列（i）求数列中， ， . 的通项公式；（ii）设【答案】（）【解析】【分析】，求数列（的通项公式及其前 项和 . ）.（）n2n+1（i）由已知得 a a 2n-1，由此利用累加法能求出数列a 的通项公式n n1 n（ii）由（i）可得【详解】（）当 所以时，由于，由此利用裂项求和法能求出前 n 项和 ，又满足上式，故 （ ）.（）所以.【点睛】本题考查数列的通项公式和前 n 项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题， 注意累加法和裂项

7、求和法的合理运用（四川省泸州市 2019 届高三第二次教学质量诊断性考试数学（理）试题）17.已知数列的前 项和 满足（1）求证：数列 （2）设是等比数列；，求数列的前 项和 【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1） 根据数列的递推式和等比数列的定义，即可得证；（2） 运用等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，计算求和【详解】解：（1）证明：数列a 的前 n 项和 s 满足 2a 2+s ，n n n n可得 2a 2+s 2+a ，解得 a 2，a 4；1 1 1 1 2n2 时，2a 2+s ，又 2a 2+s ，n1 n1 n n相减可得 2a 2a 2+s 2s a

8、，n n1 n n1 n即 a 2a ，检验 a 2a ，所以数列a 是首项为 2、公比均为 2 的等比数列； n n1 2 1 n（2）由（1）可得 a 2 ，nb log a log 2 2n+1，n 2 2n+1 22数列b 的前 n 项和 t （3+2n+1）nn +2nn n【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的递推式，考查等比数列和等差数列的 通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题（江西省上饶市 2019 届高三第二次模拟考试数学（文）试题）17.设数列（1）求数列的前 项和为 .已知的通项公式；， ， .（2）记 为数列【答案】（）【解析】的前 项和，求 ；

9、 （）试题分析：（）由题意， 两式相减，得（ ）.又因为， ，则当时，.所以数列所以数列是以首项为 ，公比为 的等比数列，的通项公式是 （ ）.（）因为，所以，两式相减得，整理得，( ).考点：数列递推式点评：本题考查数列的通项与求和，考查错位相减法，考查学生的计算能力，属于基础题（江西省上饶市 2019 届高三第二次模拟考试数学（理）试题）17.已知首项为 的等比数列 数列的前 项和为满足 ，等差数列满足 ， ，（1）求数列，的通项公式；（2）若数列满足，求的前 项和 .【答案】（1）【解析】【分析】（2）（1）列的方程求解 q,即可求解 通项公式，再由， ，得公差 d,则 可求；（2）先求

10、由得当 ，两式做差得【详解】设，经检验，n=1 成立，由错位相减求和即可 的通项公式为设， ， ， 的公差为 ，（2）， ，当当，两式相减得综上 ，经检验，n=1 成立两式相减【点睛】本题考查等差等比数列通项公式，错位相减求和，递推关系求数列通项公式，熟练 利用公式，准确计算是关键，是中档题（江西省红色七校 2019 届高三第一次联考数学（文）试题）18.设数列1 求数列满足： ， ，且 的通项公式；2 设数列， ，设的前 项和证明： 【答案】（1）【解析】【分析】1 由已知得；（2）证明见解析.，从而推导出是首项为 1，公差为 的等差数列，由此能求出数列的通项公式; 2 由，利用裂项相消法能

11、证明【详解】 1数列满足： ，且 ，又 ，是首项为 1，公差为 的等差数列，2 证明： 数列 ，故【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前 n 项和小于 1 的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用这个题目也涉及了数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知 和 的关系，求 表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验 n=1 时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。（陕西省四校联考 2019 届高三 12 月模拟数学试卷（文科）试题）17.已知正项等比数列满足 ， 求数列记的通项公式；，求数列的前 n

12、项和 【答案】（1 ）【解析】【分析】(1) 由题意得(2) 由（1）知，（2），解出基本量即可得到数列，利用裂项相消法求和.的通项公式；【详解】（1）设数列 由题意得所以的公比为 q，由已知 ，解得因此数列，的通项公式为 （2）由（1）知，【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破 这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）； （3）；（4）外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.（广东省揭阳市 2019 届高三一模数学（理科）试题）；此17.已知数列（1） 求数列（2） 设的前 项和为 ，且的通

13、项公式；，求数列，（其中的前 项和 为常数），又 .【答案】（1）【解析】【分析】； （2） .（1）先根据待定系数法求得 ，再根据和项与通项关系求数列 先化简 ，再根据错位相减法求前 项和 的通项公式；（2）【详解】（1）由得 ，解得，即，-当时，-得，即不满足上式， ，（2）依题意得当当时，时，两式相减得：.显然当时，符合上式【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“ ”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于

14、 1 两种情况求解.（山东省淄博实验中学、淄博五中 2019 届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）18.已知等差数列（1）求数列的公差的通项公式；，其前 项和为 ，且 ，成等比数列.（2）令【答案】(1)【解析】，求数列；(2)的前 项和 .试题分析：（1）由化为： 由可得成等比数列，可得化为：联立解得： （2）列的求和公式即可得出 试题解析：即可得出利用裂项求和方法、等差数（1）因为，即即，因为为等比数列，即所以联立和得： ，化简得： 所以（2）因为所以（山东省淄博实验中学、淄博五中 2019 届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题）21.设1 求是等比数列，公比大于 0，其前 项和为

15、，和的通项公式；，是等差数列 已知 ，2 设数列求 ；证明的前 项和为 ，【答案】(1)， ；(2)（i）.（ii）证明见解析.【解析】分析：（1）由题意得到关于 的方程，解方程可得 ，则.结合等差数列通项公式可得 （2）（i）由（1），有 ，则，裂项求和可得（ii）因为详解：（1）设等比数列的公比为 q.由得 ，故设等差数列的公差为 d，由.可得，可得.因为.由，可，可得从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（2）（i）由（1），有 ，故.（ii）因为，所以.点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（四川

16、省内江、眉山等六市 2019 届高三第二次诊断性考试文科数学试题）17.若数列求 ；的前 项和为 ，且 .记数列【答案】（1）【解析】【分析】的前 项和为 ，证明：；（2）见解析.（1 ）利用迭代法证得是等比数列，由此求得的表达式，进而求得 的表达式.（2）根据（1）求得的 的表达式.利用表达式，由此证得不等式成立.求得 的表达式，再求得 的【详解】由题意有，所以数列是等比数列.又比为 的等比数列.所以，所以，所以，数列是首项为 ，公由知，时，.两式相减得时，也满足 ，所以数列的通项公式为 .当当时，时，显然且所以【点睛】本小题主要考查递推数列求通项公式，考查数列求和的方法，属于中档题.（四川

17、省凉山州市 2019 届高三第二次诊断性检测数学（理科）试题）11.我们把， ， ，叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）.设 ， 表示数列的前 项之和，则使不等式 成立的最小正整 数的值是（ ）a.【答案】b【解析】【分析】b. c. d.由题意可得 ， ，故，利用裂项相消法可得 【详解】，代入选项检验即可.，而，即当 n=8 时，左边=当 n=9 时，左边=，右边=，右边=，显然不适合；，显然适合，故最小正整 数的值 9故选：b【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破 这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2）； （3）；

18、（4）外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.（山东省泰安市 2019 届高三一轮复习质量检测数学（理）试题）；此17.已知等差数列满足求数列数列的通项公式；中， ， ，从数列中取出第 项记为 ，若是等比数列，求的前 项和 【答案】（1）【解析】【分析】；（2） 对 赋值为 ，可得： ， ，设等差数列的公差为 d，由通 项公式解方程组可得首项和公差，即可得到所求通项公式；分别求得 ， ，可得公比，由等差数列和等比数列的通项公式可求得 再利用分组求和方法即可计算所求和，【详解】差数列满足，可得，设等差数列的公差为 d，可得， ，解得， ，则；由题意可得，可得数列

19、由可得的公比为 3，的前 n 项和【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义和通项公式、分组求和公式的运用，考查了 赋值法及方程思想，还考查化简运算能力，属于中档题（山东省泰安市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题）18.已知等差数列的前 项和为 ，且，数列满足（1）求的通项公式；（2）求数列【答案】（1）的前 项和 ；（2）【解析】【分析】（1）首先利用已知条件建立 的首项与公差的方程组，求解 ，再由递推关系式写出时的等式，作差求出数列的通项公式（2）利用（1）的结论，求出通项，利用裂项相消法求出数列的和【详解】（1）设首项为 ，公差为 的等差数列的前 项和为 ，且 ，所以：所以：

20、由于，解得：，故：，所以：当时，得：，所以： ，当时（2）由于 ，所以：（首项符合通项），故： ，故：【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的 应用，主要考查了运算能力，属于基础题型（山东省济南市 2019 届高三 3 月模拟考试数学（文）试题）17.已知数列（1）求数列的前 项和为 ，且的通项公式；.（2）设【答案】（1）【解析】【分析】，数列；（2）的前 项和为 ，求 的最小值及取得最小值时 的值.（1）由条件中的 与 的关系，通过得到 与的递推关系，求出求出 的通项.（2）把（1）中 的通项代入，得到 ，求出 ，再求其最小值和最小值时 的值.【详解

21、】（1）当 当时，时， ，解得 ，所以所以所以，是以 为首项， 为公比的等比数列， ；（2），所以为等差数列，n所以，所以当时， 有最小值： .【点睛】本题主要考查数列通项的求法，以及等差数列的求和及其性质，属于中档题.（山东省德州市 2019 届高三期末联考数学（理科）试题）18.设是等差数列，前 项和为，是等比数列，已知 ， ， ，（1）求数列.和数列的通项公式；（2）设，记，求 .【答案】（1），;（2）【解析】【分析】（1）设数列的公差为等比数列b 的公比为 q，由已知列式求得 d，q 及首项，则可 n求数列和b的通项公式；（2）由（1）知，利用错位相减直接求和.【详解】（1）设数列的

22、公差为 ，等比数列的公比为由已知得：，即，又所以由于，所以，所以，即 （不符合题意，舍去）所以，所以和的通项公式分别为，.（2）由（1）知， 所以，所以上述两式相减，得：=，得.【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前 n项和等基础知识，考查数列求和的基本方法及运算能力，是中档题（江苏省七市 2019 届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三第二次调研考 试数学试题）20.已知数列 且（1）求的各项均不为零设数列 的值；的前 n 项和为 s ，数列n的前 n 项和为 t ，n（2）证明：数列 （3）若是等比数列；对任意的恒成立，求实数 的所有值【答案】（1）， ；（2）

23、数列是以 1 为首项，为公比的等比数列；（3）0【解析】【分析】（1）令 n=1,n=2 列关于的方程求解即可；（2）因为， ， 得进一步有， 得，检验 n=1 成立，即可证明是等比数列（3）由（2）将代入不等式，由对任意的恒成立，所以适合，讨论，当 为奇数时恒成立，和 ，当 为奇数时恒成立，通过证明 ，单调减，即（*），说明上面两个不等式不恒成立，推得矛盾，即可求得只有合适【详解】（1）因为，令，得，因为，所以令，得因为，所以 （2）因为所以 得，因为，所以， ， ，即，所以， 当时， 得，即 ，因为，所以又由（1）知，所以 ，所以数列是以 1 为首项，为公比的等比数列（3）由（2）知，因为

24、对任意的，恒成立，所以 的值介于 因为和之间对任意的恒成立，所以适合若记所以，当 为奇数时，因为，即恒成立，从而有，所以 （*），恒成立，从而当时，有，所以不符若 ，当 为奇数时，恒成立，从而有恒成立由（*）式知，当时，有，所以不符综上，实数 的所有值为 0【点睛】本题考查数列综合问题，由递推关系求数列通项公式，不等式恒成立问题， 考查 转化化归能力，准确计算是关键，是难题（湖南省岳阳市 2019 届高三第二次模拟考试数学（理）试题）17.已知数列（）求数列且 ， 的通项公式;.（）记 为数列的前 项和，求数列的前 项和 .【答案】() () . 【解析】【分析】()由 题 意 得 ， 由 累

25、 乘 法 得 ； （） 先 求 出 ， 进 而 得 到，由裂项相消法求数列的前 项和可得到答案。【详解】()由 ，得 ，所以 由累乘法:, , ， ，得 ，所以数列的通项公式为 .()由等差数列前 项和公式得： ， 则 ，数列的前 项和为：.【点睛】本题考查了累乘法求通项公式，及裂项相消法求数列的前 项和，属于中档题。（湖南省邵阳市 2019 届高三上学期 10 月大联考理科数学试题）19.设单调递增的等比数列的前 项和 ，已知 ， .（1） 求数列（2） 若【答案】（1）【解析】【分析】的通项公式；，求数列； （2） .的前 项和 .（1）设等比数列的公比为 ，则，解得： .，解得，可求数列

26、的通项公式；（2）由（1）及题设可得：裂项相消法可求数列【详解】（1）设等比数列，的前 项和 .的公比为 ，由则，解得： .，解得，所以 .（2）由（1）及题设可得：，所以 .【点睛】本题考查等比数列的基本量计算，考查裂项相消法求和，属中档题.（河南省郑州市 2019 年高三第二次质量检测数学（文）试题）17.数列（1）求满足：的通项公式；， .（2）设【答案】（1），数列的前 项和为 ，求满足 ；（2）10.的最小正整数 .【解析】【分析】（1）n=1 时，可求得首项，n2 时，将已知中的 n 用 n-1 代换后，与已知作差可得 ，再验证 n=1 也符合，即可得到数列a 的通项；（2）由（1

27、）可得 b 的通项公式，由裂项相消n n法可得 s ，再由不等式，得到所求最小值 nn【详解】（1）n=1 时，可得 a 4，1n2 时，与两式相减可得 （2）sn（2n1）+1=2n，n=1 时，也满足， =.，又 ，可得 n9，可得最小正整数 n 为 10【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用将 n 换为 n1，以及裂项相消的求和 公式，考查化简运算能力，属于中档题（广东省东莞市 2019 届高三第二学期第一次统考模拟考试文科数学试题）17.已知等差数列的首项 ，且 、 、构成等比数列求数列设的通项公式，求数列的前 n 项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】设公差为 d，运用等

28、比数列中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差d，即可得到所求通项公式；求得，由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和【详解】、等差数列、的首项 ，公差设为 d， 构成等比数列，可得，即为，解得或 ，当时，不成立，舍去，则， ，可得；，前 n 项和【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和， 化简整理的运算能力，属于中档题（安徽省宣城市八校联考 2019 届高三上学期期末数学试题）19.已知数列满足 ， ，.（）证明：数列为等比数列；（）设，求数列的前 项和 .【答案】（）见详解；（）【解析】【分析】（）对 ，两边取以 2 为底的对数，即可证明结论成立；

29、 （）由（）先求出 ，再由错位相减法即可求出结果.【详解】（）由，两边取以 2 为底的对数，得，则，所以为等比数列，首项为 2，公比为 2.且（）由（）得 则两式相减得.因为 为数列 .的前 项和，所以 ，所以 .【点睛】本题主要考查等比数列的概念，以及错位相减法求数列的前 项和的问题，熟记概 念和公式即可，属于常考题型.（安徽省宣城市八校联考 2019 届高三上学期期末数学试题）21.设递增数列（）求数列满足 ， 、 、 成等比数列，且对任意满足.的通项公式；，函数（）若数列【答案】（）【解析】【分析】的前 项和为 ， ，数列；（）见详解的前 项和为 ，证明： .（）先对函数求导，根据可得到

30、 ，以及之间的关系，进而可得结论成立；（）由（）先求出 ，进而可求出 成立.【详解】（）因为，再由 ，即可得出结论，所以，又，所以，即，因此是以 为首项的等差数列；设数列的公差为 ，则 即，解得 ，所以.，因为 、 、 成等比数列，所以 ，（）由（）可得，所以，因此 .又因为当所以时，故 .【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的性质，以及放缩法求数列前 项和的最值问题， 需要考生熟记相关知识点，属于常考题型（安徽省蚌埠市 2019 届高三第一次教学质量检查考试数学（文）试题）17.已知数列求 ， ；前 项和为 ，且 求数列的通项公式【答案】（1）【解析】【分析】， （2）且，时，解得 ，时，

31、同理可得；时，化为可得从而可得出【详解】且，时，时，解得 时，化为： ，时也成立【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的通项公式及其性质，属于中档题已知数列前 项和，求数列通项公式，常用公式 ，将所给条件化为关于前 项和的递推关系或是关于第 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用 与通项 的关系求 的过程中，一定要注意的情况.（安徽省安庆市 2019 届高三模拟考试（二模）数学文试题）17.已知等比数列满足：（）求（）设的通项公式及前 项和 .，求数列的前 项和 .【答案】（）,；（）.【解析】

32、【分析】（）由可得首项和公比，即可写出通项和前 n 项和;（）写出数列的通项，利用裂项相消求和法可得结果. 【详解】（）由题可知，解得 ，即 .所以的通项公式.前 项和.（）. 所以数列的前 项和.【点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或 .（福建省 2019 届高三毕业班备考关键问题指导适应性练习（四）数学(文)试题）17.已知数列()求数列的前 项的和为 ，的通项公式；()判断数列【答案】（）【解析】【分析】的单调性，并证明.；（）递减数列