届高考数学一轮复习 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 理 新人教A版

1、cp第 4 讲直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1若直线 axby1 与圆 x2y2 a在圆上c在圆内基础巩固题组(建议用时：40 分钟)1 相交，则 p(a，b) b在圆外d以上都有可能( )解析 由1 a2b21，点 p 在圆外答案 b2圆 x2y24x0 在点 p(1， 3)处的切线方程为( )ax 3y20cx 3y40bx 3y40dx 3y203解析 易知圆心 c 坐标为(2，0)，则 k 3，12所以所求切线的斜率为33.故切线方程为y 3答案 d33(x1)，即 x 3y20.3(2015甘肃诊断考试 )已知圆 o ：(xa)2 (yb)2 4，o ：(xa1)2(yb2)2

2、1 21(a，br)，则两圆的位置关系是( )a内含c相交b内切d外切解析 由 o ：(xa)2(yb)24 得圆心坐标为(a，b)，半径为 2；由 o ：1 2(xa1)2(yb2)21 得圆心坐标为(a1，b2)，半径为 1，所以两圆圆心之间的距离为 |o o | 1222 5，因为 |2 1| 1 5 21 3，所以两圆相交，故选1 2c.答案 c4若直线 ykx 与圆(x2)2y21 的两个交点关于直线 2xyb0 对称，则 k，b 的值1222 （1）211分别为( )1ak ，b4 21ck ，b4 21bk ，b4 21dk ，b4 2解析 因为直线 ykx 与圆(x2)2y21

3、 的两个交点关于直线 2xyb0 对称，则 y1kx 与直线 2xyb0 垂直，且 2xyb0 过圆心，所以解得 k ，b4.2答案 a5(2014江西卷)在平面直角坐标系中，a，b 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 ab 为直 径的圆 c 与直线 2xy40 相切，则圆 c 面积的最小值为( )4a. 5c(62 5)3b. 45d. 4解析 由题意得以 ab 为直径的圆 c 过原点 o，圆心 c 为 ab 的中点，设 d 为切点，要使圆 c 的面积最小，只需圆的半径最短，也只需 occd 最小，其最小值为 oe(过原点 o 作直线 2xy40 的垂线，垂足为 e)的长度(如图)由点到

4、直线的距离公式得|oe| a.答案 a45 4.所以圆 c 面积的最小值为 .故选 5 5二、填空题6(2015青岛质量检测)直线 y2x1 被圆 x2y21 截得的弦长为_解析 圆 x2y21 的圆心 o(0，0)，半径 r1.圆心 o 到直线 y2x1 的距离为 d1 5 1 4 5 ，故弦长为 2 r2d22 1 .2 2 5 5 5答案4 557(2014湖北卷)直线 l ：yxa 和 l ：yxb 将单位圆 c：x2y21 分成长度相等的1 2四段弧，则 a2b2_ 2 |a|解析 由题意知，直线 l 截圆所得的劣弧长为 ，则圆心到直线 l 的距离为 ，即2 222 21k22，则

5、a21.同理可得 b21，则 a2b22.答案 28(2014重庆卷)已知直线 axy20 与圆心为 c 的圆(x1)2(ya)24 相交于 a，b 两点，且abc 为等边三角形，则实数 a_解析 依题意，圆 c 的半径是 2，圆心 c(1，a)到直线 axy20 的距离等于 |1aa2|3，于是有 3，即 a28a10，解得 a4 15.a21答案 4 15三、解答题9已知直线 l：ykx1，圆 c：(x1)2(y1)212.(1) 试证明：不论 k 为何实数，直线 l 和圆 c 总有两个交点；(2) 求直线 l 被圆 c 截得的最短弦长ykx1，法一 (1)证明由（x1）2（y1）212，

6、消去 y 得(k21)x2(24k)x70，因为 (24k) 28(k 1)0，所以不论 k 为何实数，直线 l 和圆 c 总有两个交点(2)解 设直线与圆交于 a(x ，y )，b(x ，y )两点，1 1 2 2则直线 l 被圆 c 截得的弦长|ab| 1k2|x x |1 2322284k11k2 1k224k311 ，24k3令 t ，则 tk24k(t3)0，1k23当 t0 时，k ，当 t0 时，因为 kr，4所以 164t(t3)0，解得1t4，且 t0， 4k3故 t 的最大值为 4，此时|ab|最小为 2 7. 1k2法二 (1)证明 圆心 c(1，1)到直线 l 的距离

7、d|k2|，圆 c 的半径 r2 3，r2 1k23k24k4 11k24k8d212 ，而在 s11k24k8 中，1k2 1k2(4)241180 对 kr 恒成立，所以 r2d20，即 dr，所以不论 k 为何实数，直线 l 和圆 c 总有两个交点 (2)解 由平面几何知识，知|ab|2 r2d2284k11k2 1k2，下同法一法三 (1)证明 因为不论 k 为何实数，直线 l 总过点 p(0，1)，而|pc| 52 3r， 所以点 p(0，1)在圆 c 的内部，即不论 k 为何实数，直线 l 总经过圆 c 内部的定点 p.所 以不论 k 为何实数，直线 l 和圆 c 总有两个交点(2

8、)解 由平面几何知识知过圆内定点 p(0，1)的弦，只有和 pc(c 为圆心)垂直时才最短，而此时点 p(0，1)为弦 ab 的中点，由勾股定理，知|ab|2 1252 7，即直线 l 被 圆 c 截得的最短弦长为 2 7.10(2013江苏卷)如图，在平面直角坐标系 xoy 中，点 a(0，3)，直线 l：y2x4.设圆 c 的半径为 1，圆心在 l 上(1)若圆心 c 也在直线 yx1 上，过点 a 作圆 c 的切线，求切线的方程；(2)若圆 c 上存在点 m，使|ma|2|mo|，求圆心 c 的横坐标 a的取值范围解 (1)由题设，圆心 c 是直线 y2x4 和 yx1 的交点，解得点

9、c(3，2)，于是切 线的斜率必存在设过 a(0，3)的圆 c 的切线方程为 ykx3，|3k1| 3由题意，得 1，解得 k0 或 ，k21 4故所求切线方程为 y3 或 3x4y120.(2)因为圆心在直线 y2x4 上，所以圆 c 的方程为(xa)2y2(a2)21.设点 m(x，y)，因为|ma|2|mo|，所以 x2（y3）22 x2y2，化简得 x2y22y30，即 x2(y1)24，所以点 m 在以 d(0，1)为圆心，2 为半径的圆上412 由题意，点 m(x，y)在圆 c 上，所以圆 c 与圆 d 有公共点，则|21|cd|21， 即 1 a2（2a3）23.整理得85a21

10、2a0.12由 5a212a80，得 ar；由 5a212a0，得 0a .5所以点 c 的横坐标 a 的取值范围是0， 5 .能力提升题组(建议用时：25 分钟)11 已知圆 c ：(xa)2(y2)24 与圆 c ：(xb)2(y2)21 相外切，则 ab 的最大12值为( )a.623b.29c.4d2 3解析由两圆相外切可得圆心(a，2)，(b，2)之间的距离等于两圆半径之和，即9 9(ab)29a2b22ab4ab，所以 ab ，即 ab 的最大值是 (当且仅当 ab 时取等4 4号)，故选 c.答案 c12圆(x3)2(y3)29 上到直线 3x4y110 的距离等于 1 的点有(

11、 )a1 个 b2 个 c3 个 d4 个|91211|解析 因为圆心到直线的距离为 2，5又因为圆的半径为 3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为 1 的点有 3 个答案 c500013(2014新课标全国卷)设点 m(x ，1)，若在圆 o：x2y21 上存在点 n，使得omn045，则 x 的取值范围是_0解析 法一 当 x 0 时，m(0，1)，由圆的几何性质得在0圆上存在点n(1，0)或 n(1，0)，使omn45.当 x 0 时，过 m0作圆的两条切线，切点为 a、b.若在圆上存在 n，使得omn45，应有ombomn45，amb90，1x 0 或 0x 1.综上，

12、1x 1.0 0 0法二 过 o 作 opmn，p 为垂足，opomsin 451，1om ，om22，x212，x21，1xsin 451.答案 1，114(2015淮安一模)已知圆 o：x2y24 和点 m(1，a)(1) 若过点 m 有且只有一条直线与圆 o 相切，求实数 a 的值，并求出切线方程(2) 若 a 2，过点 m 作圆 o 的两条弦 ac，bd 互相垂直，求|ac|bd|的最大值 解 (1)由条件知点 m 在圆 o 上，所以 1a24，则 a 3.当 a 3时，点 m 为(1， 3)，k 3，k om 切33，此时切线方程为 y 3即 x 3y40，33(x1)当 a 3时，点 m 为(1， 3)，k 3，k om 切33.此时切线方程为 y 333(x1)即 x 3y40.所以所求的切线方程为 x 3y40 或 x 3y40. (2)设 o 到直线 ac，bd 的距离分别为 d ，d (d ，d 0)，1 2 1 2642则 d2d2om21 23.又有|ac|2 4d2，|bd|2 4d21 2所以|ac|bd|2 4d22 4d21 2