小学数学解题方法、思路归纳1：小学数学题的一般结构与解答规律

1、小学数学解题专题研究第一讲 小学数学题的一般结构与解答规律问题 1：四则运算的意义和相互之间的关系小学数学所涉及的运算主要是四种：加法、减法、乘法、除法，称为四则运算。另 外在小学高年级教学圆的面积和立体图形的体积时，引入乘方的概念。作为小学数学解 题的基础，我们首先要搞清四则运算的意义和它们之间的关系，再理解小学数学中的一 些基本数学关系。1、四则运算的意义和相互之间的关系：加法把两个数合并 成一个数的运算由加法得到减法减法是加法的逆运算减法已知两个加数的和 与其中一个加数求 另一个加数的运算同数连加乘法简便运算由乘法得到除法除法同数连减求几个相同 加数的简便运算除法是乘法的逆运算已知两个因

2、数的积 与其中一个因数求 另一个因数的运算2、加减法和乘除法算式中各部分之间的关系：小学数学加减法、乘除法算式中各部分之间的关系如下，可以作为基本的数量关系。 加法中：和一个加数另一个加数减法中：被减数差减数差减数被减数乘法中：积一个因数另一个因数除法中：被除数商除数商除数被除数1有余数的除法：商除数余数被除数问题 2：小学数学简单应用题的数量关系围绕小学数学四则运算的基本数量关系，根据解决问题的具体情况，以运算种类为 特征，又可以对小学数学应用题进行细致的划分，进一步理解应用题的基本数量关系。 在这里我们作简单介绍，供教学研究时参考。加法的简单应用有 2 种。求两个数的和。如：小明家养灰兔

3、6 只，养白兔 4 只。 一共养兔多少只？已知两个数：灰兔 6 只，白兔 4 只，求这两个数的和，要用加法计算： 6+4=10（只）。求比一个数多几的数。如：李强家养公鸡 5 只，母鸡比公鸡多 7 只。 母鸡有多少只？已知公鸡 5 只，母鸡比公鸡多 7 只，求母鸡有多少只，就是求比 5 多 7 的数是多少。母鸡的只数可以分成两部分，一部分是与公鸡只数同样多的 5 只，另一部 分是比公鸡多出的 7 只，合起来就可以算出：5+7=12（只）。减法的简单应用 3 种。求剩余。如：小明家一共养了 10 只兔，白兔有 4 只，其 余的是灰兔，灰兔有多少只？已知一共养了 10 只兔，白兔是 4 只，其余的

4、是灰兔，求 “灰兔有多少只？”就是在 10 只中去掉 4 只，求还剩几只，用减法计算：104=6（只）。 求比一个数少几的数。如：李强家养母鸡 12 只，养的母鸡比公鸡多 7 只，养公鸡多 少只？求“公鸡有多少只？”就是求比 12 只少 7 只的数：127=5（只）。求两个数 相差多少。如：李强家养母鸡 12 只，养公鸡 5 只，养的母鸡比公鸡多多少只？（或养 的公鸡比母鸡少多少只？）已知两个数：母鸡 12 只和母鸡 5 只，求它们的相差数“母 鸡比公鸡多多少只？”或“养的公鸡比母鸡少多少只？”，就是用较大数减去较小数， 求出相差数：125=7（只）。乘法的简单应用有 2 种。求几个相同加数的

5、和。如：学习小组有 5 个同学，每个 同学写 8 个大字，一共写多少个大字？要求一共写多少个大字，就是求 5 个 8 是多少， 根据乘法含义要用乘法计算：85=40（个）。求一个数的几倍是多少。如：学校有 6 棵杨树，柳树的棵数是杨树的 3 倍。柳树有多少棵？杨树有 6 棵，柳树的棵数是杨树的 3 倍，也就是说：柳树的棵数有 3 个杨树的棵数那么多，也就是求 3 个 6 棵是多少棵？ 列式计算：63=18（棵）。除法的简单应用有 4 种。把一个数平均分成几份，求一份是多少。如：学习小组 有 5 个同学，一共写 40 个大字，平均每个同学写几个大字？求平均每个同学写几个大 字，也就是把 40 平

6、均分成 5 份，求每份是多少：405=8（个）。求一个数包含几个2另一个数。如：学习小组同学一共写了 40 个大字，平均每个同学写 8 个大字，学习小 组有几个同学？求学习小组有几个同学，就是把 40 个大字每 8 个分一份，有几份就有 几个同学。列式计算：408=5（个）。求一个数是另一个数的几倍。如：学校有 6 棵 杨树，有 18 棵柳树，柳树的棵数是杨树的几倍？在柳树的棵数里面有几个杨树的棵数， 就是杨树的几倍。列式计算： 186=3。已知一个数的几倍是多少，求这个数。如： 学校有 18 棵柳树，柳树的棵数是杨树的 3 倍，杨树有多少棵？已知柳树有 18 棵，柳树 的棵数是杨树的 3 倍

7、，求杨树有多少棵，就是把 18 棵平均分成 3 份，每份的棵数就是 杨树的棵数。列式计算：183=6。上面的加减乘除的简单应用是以运算种类为特征的划分的，分为 11 种情况。如果 从各部分量之间的联系方式（内在联系）的角度思考，上面的简单应用题还可以归纳为 4 种数量关系。相并关系 （部分量与总量的关系）：求两个数的和；求剩余。相差关系 （两数相比较的关系，相差）：求比一个数多几的数；求比一个数少 几的数；求两个数相差多少。份总关系 （每份数与总量的关系）：求几个相同加数的和；把一个数平均分成 几份，求一份是多少（平均除）；求一个数包含几个另一个数（包含除）。倍数关系 （两数相比较的关系，倍数

8、）：求一个数的几倍是多少；求一个数是 另一个数的几倍；已知一个数的几倍是多少，求这个数。对以上 4 种数量关系 11 种情况从教学论的角度讲，可以作为一个研究思路，但在 教学中要慎重考虑。因为对教学内容的处理过于烦琐，教学反而会增加学习负担。针对 小学数学加减乘除的简单应用，只要我们在教学过程中，从一年级学生开始抓起，逐步 引导学生理解基本数量关系，正确掌握解题方法就可以为数学解题以及解答复合应用题 打好基础。结合日常生活与生产实践的实际问题，在小学数学应用过程中经常用到下面的基本 数量关系：单价数量=总价；路程时间=速度；3工作总量工作时间=工作效率问题 3：数学问题解答的一般步骤1、数学解

9、题的一般概念数学解题就是解决数学问题，也就是求出数学题的答案。这个答案在数学上也叫做 问题的“解”。所以数学解题就是根据数学知识和数学方法，通过思维找出解的活动。 从小学生算出一道简单作业题的答案、一个教师讲完数学定理的证明，到一个数学课题 的解决，甚至是一个数学技术应用于实际问题的解答过程都可以叫做数学解题。数学家 的解题是一个创造和发现的过程，而在数学教学中的解题则更多的是再创造、再发现的 过程。所以，数学解题教学的基本含义与意义就是：通过典型数学题的学习、解答，掌握数学问题解决的基本规律，学会像数学家那样 有创造性地进行思维和解决数学问题，培养数学能力。2、数学问题的组成在日常生活、生产

10、实践和科学实验中，经常会遇到一些具体的实际问题。这些实际 问题并非是数学问题。如果一个实际问题成为数学问题，都应该摈弃其它的非数学的属 性或物质性，只保留反映数学方面的属性，即保留“数量关系、空间形式和结构关系” 方面的性质，变成数学的抽象形式。例如在后面将要讲到的“哥尼斯堡七桥问题”，原 先并不完全以数学问题的面目出现，只是一个游戏。当数学家欧拉把它抽象为“一笔画” 问题后，它就形式化地变成了一个数学问题。数学问题一般由三部分组成：条件、运算和目标。条件，又称作条件信息。是指数学问题已经给出的材料，包括叙述问题的情景、相 关数据、关系，或者是数学问题的形态。例 1 把一根长 45 厘米的铁丝

11、折成一个三角形，使其三边长的比是 234.这个三 角形的三条边长分别是多少厘米？在这里，“情景”是将铁丝折成三角形；“数据”是 45 厘米和三边长的比；“关系” 则是对三角形三边长的比例要求；“状态”则是可以把这根铁丝按 2 34.的比例折成 三角形，也就是说满足几何学中三角形的性质。运算，又称作运算信息。是指数学问题允许对条件所采取的程序化处理方式，可以4是数学计算，可以是数学推理，也可以是数学操作和实验。目标，又称作目标信息。是指一个数学问题求解后所要达到的结果状态，即通常所 说的要求什么，结论是什么、结论成立与否。3、数学问题解答的一般步骤数学问题的解答是以思考为基本内涵，以数学问题的目

12、标为定向的心理活动过程。 是指在社会实践或数学学习过程中，面临新的问题情境和新课题，发生主客观之间的矛 盾或冲突，而又缺乏现成解决方法和对策时所引起的探求解决问题方法的心理活动。这 是一种高级的心理活动，并具有某种程度的创造性。小学数学问题解决有有一些特征。第一，数学问题解决是指初次遇到的新问题。也 就是说，学生必须具有解决数学问题的意愿，并且是第一次解决这样的问题。如果是第 二次、第三次解决的同类问题，那么这个数学学习活动只能说是一种练习。第二，数学 问题解决是一种进行探索、不断克服障碍的活动。它能使学生陷入一定的认知困惑状态 中，有别于常规习题的解答。例如，“根据三角形内角和是 180，探

13、索多边形内角和” 的问题，对于小学生来说具有探索性，而对于知道数学结论的中学生来说，就不成其为 数学问题。第三，数学问题解决的心理活动既包括内部心智活动，又包括外部操作活动。 如果只有内隐的操作而无外显的操作，那么这种活动就只能是一种思维。第四，导致数 学问题解决的方法和策略（包括概念、命题、法则等）的独特组合，往往会生成一种更 高级的解题方法或策略。这些解决问题的经历、经验、方法和策略，都可以成为数学认 知结构中的一个新的组成部分，在以后遇到同类问题、相似问题时，通过回忆与联想就 可作出解答。在数学史中，数学问题解决的过程，对于数学发展的作用不亚于问题解决的结果。 例如，寻找求解五次方程一般

14、公式的过程，导致了数论的重大发展；证明欧氏几何平行 公理的各种尝试，启迪了非欧几何的创立；解答哥尼斯堡七桥问题的过程，引出了一笔 画问题，导致了图论的产生。在数学学习中，问题解决的过程，对于强化已有知识的理 解和掌握，对于解题策略的形成，对于能力的提高，都有显而易见的作用。数学问题解 决是一种高级形式的学习活动，它既期望获得数学问题结果，又重视获得数学问题结果 的过程。美籍匈牙利数学教育家波利亚在怎样解题中将解数学问题（解答题）划分为四 个阶段，可以作为小学数学解题的一般步骤。5（1） “弄清问题”，这是解题的起点。我们必须清楚地了解问题内容，搞清问题的 主要部分。（2） “拟定计划”，这是解

15、题的关键。我们必须清楚理解已知条件与问题之间是的 关系，结合问题目标制定一个解题计划。（3） “实现计划”，这是解题的具体表述。逐步实现制定的解题计划，认真运算， 并仔细检查每一步的解题过程。（4） “回顾”，这是解题的检验、反思与推广。认真回顾所作的解题步骤，检查解 题的过程，并进行讨论，如果可能的话可以将结论作适当的推广应用。波利亚还把数学习题分为证明题和求解题两大类，并针对它们设计了“怎样解题表” 并对一些数学问题的解答进行了详细的讲解。波利亚的这一解题的划分思想，比较简明、 清晰，便于把握，对数学问题解决影响较大，对我们有一定的启发性。例 小学生在学习分数除以分数的计算法则时引入了一道

16、应用题：“修路队 3/4 小时修路 3/5 千米，修路队平均每小时修路多少千米？”第一步，弄清问题。修路队 3/4 小时修路 3/5 千米，已知修路时间和相应的修路长 度，要求平均每小时修路多少千米？3534千米小时第二步，拟定计划。根据整数应用题的数量关系已知数与未知数之间的数量关系是： 修路长度修路时间=平均修路数。同时还可以这样思考：因为 3/4 小时修路 3/5 千米， 因此 1/4 小时修了 1/5 千米；所以 1 小时修了 4/5 千米。第三步，实现计划。3/53/4=4/5（千米）。第四步，回顾。由于把整数应用题的数量关系迁移到分数的应用，可以列出算式 3/5 3/4，但是如何进

17、行分数除法计算又是一个新问题；在分析过程中，我们已经推算出结 果是 4/5 千米，那么算式与结果之间有什么联系？我们又可以进行如下研讨：63/53/4=3/5(34)=3/534=3/51/34=3/54/3把一个分数除以分数的计算问题转化为乘以这个分数的倒数的形式，找到了分数除 以分数的计算方法。这就是通过解题的检验与反思，解决了一种运算方法问题，思维的 结果也得到应用与推广。在小学数学解题中，如果解答的是应用题，其解答步骤与上面叙述的解题步骤类似。 但是为了通俗，便于学生理解和掌握，我们结合小学数学教学可以作如下的整理，在解 题学习中要掌握解答应用题的一般步骤。解答应用题的一般步骤：（1）

18、 理解题意。这是解答应用题的基础。读题（审题），摘抄（分离）已知条件和 问题。要注意克服“理解题意”中的干扰和障碍：第一，经验和知识的局限；第二，数 据的干扰；第三，原有思维定势的影响；最后是学生不善于分离已知条件和问题。（2） 分析数量关系。这是解答应用题的关键。分析应用题的方法有综合法、分析 法和线段图示法等，我们将在后面再作专题介绍。分析数量关系的目标是要寻找解答应 用题的思路和方法。（3） 列式解答。这是解答应用题的主体。根据上面的分析与解题思路，分步列出 算式并进行计算。（4） 检查和书写答句。这是解答应用题的目标。认真检查分析过程，检验每一步 的计算过程，确认分析正确、计算无误后，写出应用题的答句。应用题的检验方法有估 算法、多解法