微积分各章习题及详细答案

1、微积分各章习题及详细答案第一单元函数与极限第9页、填空题1、x已知f (sin )=1 COSX，贝y f (cosx)=2、(4 3x)2limx 厂 x(1 x )3、Xr 0时，tanx -sin x是 x 的阶无穷小。14、lim xksin =0成立的k为x 05、lim exarctanxx .6、宀1,x +b,x = 0在X = 0处连续，则b =x _07、In (3x 1)limx 0 6x设f (x)的定义域是0,1，贝U f (In x)的定义域是9、函数y =1 +|n(x +2)的反函数为 。10、 设a是非零常数，则佃(乞乜厂=。XY X a111、 已知当xr

2、0时，(1 ax2)3 -1与cosx-1是等价无穷小，贝U常数a-。3x12、 函数f(x)二arcsin的定义域是 。1 +x13、lim、x2 亠 2 ；;:x2 2 =nrbcx + 2a14、设 lim(3)x =8，则 a =。xr x-a15、lim ( n . n 1)( . n 2 - n)=。n二、选择题1、设f(x), g(x)是T,l上的偶函数，h(x)是T,l上的奇函数，贝U 中所给的函数必为奇函数。(A) f (x) g(x) ；(E) f (x) h(x) ； (C) f(x)g(x)h(x)；(D) f (x)g(x)h(x)。1 _ x2、Of (x)= ,

3、P(X)=1 幼X，则当 XT 1 时有。1 +X(A) :是比：高阶的无穷小；(E) :是比卜低阶的无穷小;(C) 与是同阶无穷小；(D) F:。3、函数f(X)=Wx = 0(x _ -1)在X =0处连续，则k =(A)(B) 2 ；3(C) 1；(D) 0。4、数列极限lim nln( n -1) -1n nn_.(A) 1 ;(B)-1；(C)(D)不存在但非:。sin x xx01 xcosX(A)连续点；(B)5、f (x)二：0=0 ,可去间断点;(C)跳跃间断点；(D)振荡间断点。6、以下各项中f(x)和g(x)相同的是()(A) f(x)=lgx2, g(x)=2lgx ；

4、(B) f(x)=x , g(x) -x2 ；,g(x)=xx-1 ； (D) f(x)=1 , g(x) = sec2 x - tan2 x。)-1 ；(C)0 ；(D)不存在。)-1 ；(C) e ；(D) e*。(C)7、(A)f (xVx4-xsin x|x|1；(B)龙叫(1 _x)(A)1；(B)9、f(x)在X0的某一去心邻域内有界是lim f(x)存在的()(A)充分必要条件；(B) 充分条件；(C)必要条件；(D)既不充分也不必要条件.10、lim x( . x1 21 -x)=(x .(A) 1;(B) 2;(C) 2;(D)0。= 0,lim bnn且 lim an :.

5、“、设an, bn, Cn均为非负数列,= 1,lim cn -：:,则必有()n (A) a. ： bn对任意n成立;(B)bn ：Cn对任意n成立;(C)极限lim ancn不存在；(D)极限lim bn不存在。nJpc12、当x1时,ex -1(E)等于0;(C)为：;(D)不存在但不为：。(1)lim 2n sin n :.(3)1lim x(ex -x L :(5)8 cos 设x1 a 0，且xn. axn (n=1,2,)，证明lnim xn存在，并求此极限值。x-xn n5、讨论函数f (x) =limrx的连续性，若有间断点，指出其类型。nT n 十 nlim1);x 2co

6、sx -1(A)等于2;三、计算解答1、计算下列极限(2)(4)(7)cscx cotx limx )0lim 9;x ：i.2x -12 ，x 尹cos x cosx1+xsi nxlcosx limx )0xta n xlim n 匸 1 2 2 3n(n 1)(8)lim(132二x)。t arctanx 4 一 x23、试确定a,b之值，使li 4、利用极限存在准则求极限6、设f(x)在a,b上连续，且a ： f(x) ：b，证明在(a,b)内至少有一点，使f)二o3第一单元函数与极限测试题详细解答一、填空题“2X2 X2 X1、 2sin x 。f(sin) =1 (12sin )=

7、22sin ，2 2 22 2 2 f(x)=2-2x . f (cosx) = 2-2cos x=2sin x。(4 3x)2 22、9x 24x 16 n lim2 lim30。x：x(1 x2) xi -x3 x3、高阶。tanx-sinxlimlimx )0xx.tan x -sin x是x的高阶无穷小。tanx(1cosx),m (1 一 cosx)，x )04、sin -为有界函数，所以要使lim xk sin丄=0 , TX只要lim x 0，即 k 0。x )05、lim e* x arctanx =0( lim eXx :ji ji= O,arctanx (,)。2 26、l

8、im f (x) = lim (x b) = b，x0 x 0 1叫.f (x) = lim (ex 1) = 2，f(0) =b, . b = 2。7、ln(3x 1)仆3。6x x 6x 29、2a10、 e11、 a1由(1 ax2)3 -1丄ax2 与 cosx _1 _丄 x2，32以及根据题意要求0乞In x乞1，所以1乞x乞e。y =1 ln(x 2), (y T) = ln( x 2)， x 2 二 ey，12、13、14、1(1 ax1 2)3 -1 limx 0COSX -11 2ax2=lim a = 1 ,x )0123x2可得由反三角函数的定义域要求可得j兰舒11 x

9、 = 0解不等式组可得1 1匸兰x兰2，二f (x)的定义域为兰丄。如一1242lim/2-x2-2=lim(x22一x2-2)(x22-2)n ): ：n ):：. x2+2-(x2-2)n%Jx2+2+厶2 2=0。In 2x + 2a x lim ()x=lim(1x- x - a x ?-x22x2 - 2x_a 3 ax-)厉越二 e3a =8x a3a =ln8= a Jn8315、lim ( n 、n 1)(、n Wn)二 lim /(n n 1) 2(.n 2. n)2(1二、选择题1、选(D)令 F(x)二 f(x)g(x)h(x),由 f(x), g(x)是-1,1上的偶函

10、数,h(x)是-l,l上的奇函数,-F(-x)工 f (-x)g(-x)h(-x) - - f (x)g(x)h(x) - -F(x)。a (x)2、选。妁1弔=01(1 x)(1，x)1 -x=limx 1 (1x)1 _31 _(1 _x)微积分各章习题及详细答案1 -x3=1 i m1 2(1+X)3(1x) 23、(A)4、 1lim f (x) = lim 31 x 一1 =佃* = 30x 0 31 x _ 1 jo 12x31 lim nln( n1) -ln n二 lim -1n(1)xx j 、 nx_：:x ：:5、f(0_) =1 ,f(0 )=0,f(0) =026、选

11、(C)在(A)中；f(x)=l nx的定义域为x = 0，而g(x)=2l nx的定义域为x 0，第13页.f(x)=g(x)故不正确在(B)幕f(x)=x的值域为(：)，g(x)二x2的值域为x 0，故错在(C)中 f(x) =1的定义域为R g(x)2= sec x tanx的定义域为x R,x = k二石，f(X)= g(x)，故错7、选(D) vm 背-lim 沁x 0 x=1limx I X I=- lim = -1 x Xsin x 十亠 lim 不存在 x 0 |x|18 选(D)lm(1 _x)XP叫1(-x)9、选(C)由函数极限的局部有界性定理知，lim f (x)存在，则

12、必有x0的某一去心邻域使f (x)有界，而f (x)在x0的某一去心邻域有界不一定有lim f (x)存在，例如011lim sin ，函数 T _sin1有界，但在x = 0点极限不存在x_0xx10、选(C)U lim x齐-x) = lim x(x2 =少2+宀)=xx Fx 1 xx h、x2 X2显然不对，因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当 的情况，不可能得出“对任意充分大时”(C)也明显不对，因为“无穷小无穷大”n成立”的性质。是未定型，极限可能存在也可能不存在。12、选(D)2 1X 1 lim e x1 _x -11=lim (x 1)ex二 x_1 -2lim x_1

13、 1 x -1lim (x 1)exJ当x1时函数没有极限，也不是 三、计算解答1、计算下列极限：(1)解:lim 2n sin 刍 二 lim 2nn ,2n (2)解:二二 2x。 2“ 11 cosxcscx =cotx _ lim sinx sinx_xmx2 x1 - cosx 2 =limlim 2x 刃 xsinxx 刃 x(3)解:1lim x(exx匸:1-1) = lim x 1。xr：x(4)解:lim( jxx ：2x -1)3x =lim(1-)3x2x -1Pm11 X-1 J 3七)223。 x2(5)解:17)23 X21X弋3二lim 1) 4cosx+1 l

14、im.x cosx 1 lim 1x j： ：1xi .x228cos x2cosx1(2cosx1)(4cosx+1)lim 2limx 才 2cos x cosx -1 x ； (2cosx - 1)(cos x 1)(6)解:、；1 +xsi nx 寸cosx limx 0xtanx1 + xsi n x cosx=limxsin x 1 - cosx2xxsin x 1 cosx=lim 2 lim2x 2x x 刃 2xo3 一 4-丄4+1 - 2xtanx(、1 xsinx cosx)1 1 1(7)解：lim汉22汉3n(n +1)= lim (1)=1 x n 1m2 1 c

15、ln(1 3 2 - x)arctanM x21 r3、解：；|x2 +1lim (ax -b) = lim -X x理1x .2 2x 1 -ax -(a b)x -b2(1 a)x (a +b)x +(1 b) 二 lim -x_.卜(a +b)=丄I2a=1J；jb = -I2亠亠1n11 11 -4、( 1)123111 -2n1 1 1 1 1 +- +- +- + 丄 + - 而 lim 二 1 = 1 lim-一3n .x -n 11 .11 .123 nn 1 _1I o(2)先证有界(数学归纳法)n =1 时，x2 二 a%- a a = a设 n = k 时，xk a ,贝

16、y xk 丁 raxk ； a2 = a数列Xn有下界,微积分各章习题及详细答案再证Xn单调减， Xn .1 ： Xn 即Xn单调减，.lim xn 存在，设 lim xn = A, n ,n ：第45页则有 A = . aA = A = 05、解：先求极限得f (x)(舍)或 A = a , . lim xanc2xn1=lim 矿n t：n 1-1x 0而 lim f(x) =1 lim f(x) =-1f(0)=0x 0 x 0 - f (x)的连续区间为(-二,0)(0,x=0为跳跃间断点.。6、解：令 F(x)=f(x)-x ,贝U F(x)在a,b上连续而 F (a) = f (a

17、) -a 0F(b) =f (b) -b ：0由零点定理，7 - (a,b)使F( J = 0即 f( ) 一 =0 ，亦即 f()二。第二单元导数与微分一、填空题1、已知 f (3) =2，则 lim f(3_ h) 一 f =。hT2h2、 f 0)存在，有 f(0)= 0,则 lim 丄凶=。T x3、 y =二x xarctan 1，贝H y x# =。兀|4、 f (x)二阶可导，y = f(1 si n x)，贝U y =； y =x5、曲线y =e在点处切线与连接曲线上两点(0,1), (1,e)的弦平行。6、y =1 narctan(1 -x)，则 dy =7、 24 沖 dy

18、y =sin x，贝U =dx若 f (t) =lim t(1 丄严，则 f (t) =x护xdy =，dP9、处的切线斜率为2。10、设 y 二 xex，则 y (0)二11、设函数y =y(x)由方程ex y cos(xy) =0确定,dy =dxx=1 t2则噢 y = cost dx-二、单项选择1 21设曲线y 和y = x在它们交点处两切线的夹角为x-1 ；(B) 1 ;f(x) =etankx，且 f () = e ,412、设 J(A)(C)-2 ;3、函数(A)1 ；(B) -1；(C)4、已知f (x)为可导的偶函数，且lim处切线的方程是(A)5、设(A)(D) 3。1

19、2 ；f (1 x) - f 二 _2 ,贝y曲线 y 二 f (x)在(一1,2)(D) 2。2xy =4x 6 ； (B) y - -4x -2 ； (C) y=x 3 ； (D) y-x1。22f(X Lx) - f (x) f (x)可导，则limo0 ;(B)2f(x) ；(C)2 f (x) ；(D) 2f(x) f (x) o6、函数f (x)有任意阶导数，且f (x)=f(x)2，则f(n)(x) =(A) nf(x)n1 ； (B)n!f(x)n1 ； (C) (n 1)f(x)n1 ； (D) (n 1)! f(x)2 。7、若 f(X)d，则讥 f(x0 )-讥)=()(

20、1)y =ex，求 dy ；d2ydx(3)x arctany 二 y ,(4) y = sin xcosx，求 y(50)；(A) 2x0 ；(B) X0 ；(C) 4x0 ；(D) 4x。8、设函数f(x)在点X。处存在f_(X。)和f(X。)，则f_(x。)= f .(x。)是导数f (Xo)存在 的()(A)必要非充分条件；(B)充分非必要条件；(C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件。9、设 f (x)=x(x - 1)(x - 2)(x -99)则f (0)=()(A) 99;(B)-99;(C)99!;(D)-99。10、 若 f (u)可导，且 y = f (-x?)，则

21、有 dy =()(A) xf(_x2)dx ； (b) -2xf (-x2)dx ； (C) 2f (-x2)dx； (D) 2xf (-x2)dx。11、设函数f(x)连续，且f(0)0，则存在0，使得()(A) f (x)在(0,、J内单调增加；(B) f(x)在(-0)内单调减少；(C)对任意的 x (0,、)有 f (x) f (0) ； (D)对任意的 x (-0)有 f(x) f(0)。2 . 112、设 f(x) = x sinxi ax +bx 0在x = 0处可导，则x乞0(A)a =1, b = 0 ；(B) a = 0, b为任意常数；(C) a =0, b = 0 ；(

22、C) a =1,b为任意常数。三、计算解答1、计算下列各题.2 1sin -(5)(6)x x y =()，求 y ；1 +xf (x) =x(x 1)(x 2) (x 2005)，求 f (0)；(7) f(x) =(x _a)(x) , :(x)在 x=a 处有连续的一阶导数，求f (a)、f (a)；-J(8) 设f (x)在x =1处有连续的一阶导数，且(1)=2，求lim f (cos . x -1)。1+dxb(1+sinx)+a + 2 xO2、 试确定常数a,b之值，使函数 f(x) =处处可导。、 eax 1x c 03、证明曲线x2y2二a与xy = b ( a,b为常数)

23、在交点处切线相互垂直。4、 一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升，其速率为140米/分，当此气球上升到500米空中时，问观察员视角的倾角增加率为多少。5、 若函数 f (x)对任意实数 x1, x2 有 f (x-1x2 f (x1 )f (x2)，且 f (0) = 1，证明f (x) =f (x)。6、求曲线y =x3 3x2 -5上过点(-1,-3)处的切线方程和法线方程。第二单元导数与微分测试题详细解答 一、填空题1、 -1moHhf(3-h) -f(3)2hf(3-h) f(3)-h1 1)f2、 f (0)lim迪x二 limx_0f (X) - f(o)x -0二 f (

24、0)3、二 Inx：卜禦y -二x| n?i：；xy|xj= : l nx 二4、f (1 sin x) cos x , f (1 sin x) cos x _ f (1 sin x) sin x.2y = f (1 sin x) cosx , y = f (1 sinx) cos x - f (1 sinx) sin xe 15、(In(e-1),e-1)弦的斜率 k=X=e-11-0.y = (ex)二 ex = e -1 = x = ln(e -1)，当 x = ln(e -1)时，y = e -1。dx6、厂arctan(1 - x)1Fd(1 一x)arctan(1 x) 1 +(1

25、 - x)2dyd arcta n(1 x)arcta n(1 _x)dxarctan(1 - x) 1(1 x)27、4x3 sin 2x4， 2x2 sin 2x4dydx=2sin x4cosx44x3 二 4x3sin 2x4冬二 2x2sin 2x4dx 2xdx8、2t2te 2tef(t)Pm：t(1f)2tx=te2t2t21f (t) =e 2te9、(1,2)y =2x，由 2x0 = 2 = x0 =1, y0 =12 1 =22-y=x 1在点(1,2)处的切线斜率为210、 2xxx xxy 二 e xe ， y 二 e e xe y (0) =e e0 =211、e

26、x y _ysin(xy) exy -xsin(xy)方程两边对 x求导得 ex y(1y)sin(xy)(y xy)=012、解得sin t -tcost4t3ex 7 - ysin(xy) ex y - xsin(xy)由参数式求导公式得dydxYtXt再对x求导，由复合函数求导法得(yx)tdx dxXt1 tcost -sint2t22tsin t -t cost3。4t3选择题1、选（D）1由yS y =x2=交点为(1,1),k11 2= (-) Ix-1 , k2(x2) |x厂 2 x.tan : =|tan( ; 2 - J |=|1 k1k2 33、选（c）krtan xk -1(x)二 e kt