专题2第5讲导数的综合应用

1、第一部分专题二第五讲A 组1设 f(x) x sin x，则 f(x) (B)A 既是奇函数又是减函数B既是奇函数又是增函数C是有零点的减函数D是没有零点的奇函数解析 f(x) x sin( x) (x sin x) f(x)，f(x)为奇函数又f (x) 1cos x0，f(x)单调递增故选 B2对 x (0， )恒成立，则实数2 (2017 河南洛阳质检 )若不等式 2xln x x ax3a 的取值范围是 ( B)A (， 0)B (， 4C(0， )D 4， )233解析 x0,2xln x x ax 3，a 2ln x x x.设 h( x) 2ln xx x(x0) ，则 h (x

2、)x3x 12.当 x (0,1)时， h (x)0 ，x函数 h(x)单调递增，所以h(x)min h(1) 4，所以 a h(x)min 4，故 a 的取值范围是 ( ， 432 m n x 1xmx3 (2017 河北衡水中学调研 )已知函数f(x) 32的两个极值点分别为x1， x2，且 x1 (0,1)， x2(1 ， )，点 P(m， n)表示的平面区域为D，若函数 y loga(x4)(a1) 的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是( A)A (1,3)B (1,3C(3， )D 3， )解析 f (x) x2 mxmn2 0 的两根为 x1， x2，且 x1(0,1

3、) ， x2(1 ， )，mnf 0 0 ，20 ，则?f 1 0m n1 m2 0，即3m n 21，所以 1a0，则函数 F(x) xf(x) x的零点个数是 ( B )A 0B 1C2D 3f x解析 x 0 时， f (x) x 0，xf x f x0，即xf xxx0.当 x0 时，由式知 (xf(x) 0，U (x) xf(x) 在(0， )上为增函数，且 U(0) 0 f(0) 0，U (x) xf(x)0 在 (0， )上恒成立1又 x0 ，F(x)0 在 (0， )上恒成立，F(x)在 (0， )上无零点当 x0 时， (xf(x) 0 在 ( ， 0)上恒成立，1F(x)

4、xf( x) x在 ( ， 0)上为减函数当 x 0 时， xf(x) 0，1F(x) x0 ，F(x)在 ( ， 0)上有唯一零点综上所述， F(x)在 ( ， 0) (0， )上有唯一零点故选 B5若 f( x) x3 3ax2 3(a 2)x 1有极大值和极小值，则a 的取值范围为 _(，1) (2， )_.解析 f (x) 3x2 6ax 3(a2)，由题意知 f (x) 0 有两个不等的实根， 故 (6a)24 3 3(a 2)0 ，即 a2 a20 ，解得 a2 或 a 16 (2017 皖南八校联考 )已知 x (0,2)，若关于 x 的不等式x1x0，即 kx2 2x 对任意

5、x (0,2)恒成立，从而k 0，所x1ex2ex2ex x 1 2(x 1) (x以由 e k2x x2可得 k0 ，函数 f(x)在 (1,2)上单调递增， 当 x (0,1)时， f (x)0，函数f(x)在 (0,1) 上单调递减，所以k5解析 (1)函数 f(x)ln x ax 的定义域为 x|x0 ，1所以 f (x) xa若 a 0，则 f (x)0，f(x)在 (0， )内单调递增；11若 a0 ，得 0x a，1f(x)在 (0， a)内单调递增；1由 f (x) x a a，1f(x)在 ( a， )内单调递减(2)证明： ln x1 ax1 0，ln x2 ax2 0，l

6、n x2 ln x1 a( x1 x2)(x1 x2 )f (x1 x2) (x1 x2)(1 a)x1 x2x1 x2x1 x2x1 x21x2x2x1x2a(x1 x2) ln lnx1 x2x1x2x11x1x221 t令 x1 t e，令 (t) 1 t ln t，则 (t)t210，1 t2t(t)在 e2， )内单调递增，(t)(e2) 12 12 6e2 132 158(2017 珠海模拟 )某造船公司年最大造船量是20 艘，已知造船 x 艘的产值函数为 R(x)3 700x 45x2 10x3(单位：万元 )，成本函数为C(x) 460x 5 000(单位：万元 )，又在经济学

7、中，函数 f(x)的边际函数 Mf( x)定义为 Mf (x) f(x 1) f(x).(1)求利润函数 P(x)及边际利润函数MP(x); (提示：利润产值成本 )(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3) 求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解析 (1)P(x) R(x) C(x) 10x3 45x2 3 240x 5 000(x N* ，且 1x 20)；MP(x) P(x 1) P( x) 30x2 60x 3 275(x N * ，且 1 x 19)2(2)P (x) 30x 90x 3 240 30(x12)( x9)

8、 ，因为 x0，所以 P (x) 0 时， x 12，当 0x0，当 x12 时， P(x)2f(1)B f(0) f(2) 2f(1)Cf(0) f(2)2f(1)D f(0) f(2) 2f(1)解析 当 x1 时， f (x)1 时， f (x)0 ，此时函数 f(x)递增，即当x 1 时，函数f(x)取得极小值同时也取得最小值f(1)，所以 f(0) f(1) ， f(2) f(1)，则 f(0) f(2)2f(1)故选 A2(2017 北秦皇岛二模河)已知函数f(x) x(ln x ax)有两个极值点，则实数a 的取值范围是(B)1A (，0)B (0， 2)C(0,1)D (0，

9、)解析 f(x) x(ln x ax)，f(x) ln x2ax 1，故f (x)在 (0， )上有两个不同的零点，令 f (x) 0，则 2aln x1ln x 1 ln xx，设 g(x)x，则 g (x)x2 ，g(x)在(0,1) 上单调递增，在 (1， )上单调递减，又当 x0 时， g(x) ，当 x1 时， g(x) 0，而 g(x) max g(1) 1，只需 02a1? 0a0， b R )，若对任意 x0 ，f(x) f(1) ，则 ( A )A ln a 2bD ln a 2b1解析 f (x) 2ax b x，由题意可知 f (1) 0，即 2ab 1，由选项可知，只需

10、比较 ln a 2b 与 0 的大小，而 b 1 2a，所以只需判断ln a 2 4a 的符号构造一个新函111数 g(x) 2 4x ln x，则 g (x) x4，令 g(x) 0，得 x 4，当 x4时， g(x)为减函数，所以对任意x0 有 g(x) g(4) 1 ln 40 ，所以有 g(a) 24aln a2b ln a0? ln a 2b.故选 A (理 )(2017 邯郸一模 ) 已知函数 f(x) x3ax2 bx c 有两个极值点x1，x2.若 f(x1)x1 x2，则关于 x 的方程 3(f(x)2 2af(x) b 0 的不同实根个数为( A )A 3B 4C5D 6解

11、析 f (x) 3x2 2ax b，原题等价于方程3x2 2ax b0有两个不等实数根 x1，x2，且 x10， f(x)单调递增； x (x1，x2 )时， f (x)0 ， f(x)单调递增x1 为极大值点，x2 为极小值点方程 3(f(x) 2 2af(x)b 0 有两个不等实根，f(x) x1 或 f(x) x2f(x1) x1，由图知 f(x) x1 有两个不同的解，f(x) x2 仅有一个解故选A 4(2017 州模拟广 )已知 yf(x)为 R 上的连续可导函数，且 xf (x)f(x)0，则函数 g( x) xf(x) 1(x0) 的零点个数为 _0_.解析 因为 g(x) x

12、f(x) 1(x0)， g (x) xf (x)f(x)0 ，所以 g( x)在 (0， )上单调递增，又g(0) 1， y f(x)为 R 上的连续可导函数，所以g(x)为 (0， )上的连续可导函数，所以 g(x)g(0) 1，所以 g(x)在 (0， ) 上无零点5 (2017 武汉模拟 )已知函数g(x)满足 g(x) g (1)ex11 2x0 使g(0)x x ，且存在实数2得不等式 2m 1g(x0)成立，则 m 的取值范围为 _1， )_.解析 g (x) g (1)ex 1 g(0) x，当 x 1 时， g(0) 1，由 g(0) g (1)e0 1，解得x1 2xg (1

13、) e，所以 g(x) e x 2x，则 g (x) e 1x，当 x0 时， g (x)0时，g (x)0，所以当 x0 时，函数 g(x)取得最小值g(0) 1，根据题意将不等式转化为2m1 g(x) min 1，所以 m 16已知函数 f(x) x aln x 1.(1)当 a R 时，求函数 f(x) 的单调区间；ln x 0 对于任意 x 1， )恒成立，求 a 的取值范围(2)若 f(x) 2x解析 (1)由 f(x) xalnx 1，a x a得 f (x) 1 x x ，当 a0 时， f (x)0， f(x)在(0 ， )上为增函数，当 a0 时，当 0x a 时， f (x) a 时 f ( x)0 ，所以 f(x)在 (0， a)上为减函数上恒成立，f (x) 在( a， )上为增函数ln x(2)由题意知x aln x 1 2x 0 在 x 1， )，设 g(x) x aln xln2xx1， x 1， )，a 1 ln x则 g (x) 1 x 2x22x2 2ax1 ln x2， x 1， )，2x设 h(x) 2x2 2ax1 ln x， h (x) 4x1x 2a，1当 a0 时， 4x x为增函数，所以3h (x)2 a0 ，所以g(x)在 1， )上单调递增，g(x) g(1) 0，当 32 a0 时， h (x) 32 a 0，所以 g(x)