平面向量的线性运算基本定理及坐标表示

1、平面向量的线性运算，基本定理及坐标表示1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量向量常用有向线段来表示，注意不 能说向量就是有向线段，（2） 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任 意的;（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量（5） 平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 、“叫做平 行向量，记作： H ，规定零向量和任何向量平行。三点】 共线 ；,；共线.2. 平面向量的基本定理：如果 el和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该 平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使

2、a= e1+ e2。3、 实数与向量的积：实数 与向量的积是一个向量，记作 ，它的长度和 方向规定如下：（1卜T引*当凡o时，2：的方向与匚的方向相同，当几0 时，的方向与的方向相反，当 =0时，注意： 工0。4、向量的运算：（1）几何运算：（2）坐标运算：设，贝 向量的加减法运算：，0 实数与向量的积：0 若 ，贝u r ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。向量的模：两点间的距离：若Vgd呵吠，则1 5、向量平行（共线）的充要条件： f 小 w-吒孑：|；心12、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2）丁 y “

3、旧汁匚，特别地，当一同向或有I |=| fl | + b01、A.2占2、已知卜卜户=，则A.卩加 B .3、已知向量，, （ ）A .的取值范围是（C.勺=（总1） u = 3 + 2b)D . iMl,:，且，则:-糾I -：H-上；当 一反向或有共线if |卅im汁吐1（这些和实数比较类似）.（3）在中，若1,1，则其重心的坐标为叫*忑*尽 VLLlAlj 3一 ?选择题：已知向量1 - - r h L：/；，则用表示为（:- =，：亠B .点A在直线BC外，4.（2010?四川）设点M是线段BC的中点, =16,| 初亠ML则| 几叫=（）A.8B.4C.2D.1可知,:丄则AM为Rt

4、 ABC斜边BC上的解析：由I曲山菽九1也-尼FAM |= -| flC|= 2,中线，因此选C.5.已知 ABC中，点D在BC边上,且厂&-出空、丁二二曲；则叶s的值是（ ）A-H-3J C.-3D.0解析:TCD=2D甘-n MCZJ =-CB= -(A&-33M)CD-zS-4C,3又IP -厂佔4X =二 r=-，二叶s=0L故选D.MU3.平面向量a,b共线的充要条件是（）146. 平面向量a, b共线则()A.a, b方向相同 B. a,b两向量中至少有一个为 0C.存在入 R,使b=X a D.存在不全为零的实数 入1,入2,使入 1a+入2b=0解析:a,b共线时,a,b方向相

5、同或相反,故A错.a,b共线时,a,b不一定是零向 量,故B错.当b= X a时,a,b 定共线,若b0,a=0.则b= X a不成立,故C错.排除 A、B、C,故选 D.7. 若 a= (2cos a , 1), b= (sin a , 1)，且 a / b,则 tan a 等于()A. 2B.C. - 2D.-解析： a / b,A a= X b,A2cos a = sin a ,. tan a = 2. 答案： A8. 若三点 A(2,2) , B(a,0) , C(0 , b)( ab0)共线，则 + 的值等于()A.丄丄1B.C.1D. 4解析：* = (a 2,-2) ,= ( 2

6、, b-2)，依题意，有(a 2) (b-2)4= 0,即 ab-2a-2b = 0,所以+=. 答案：B9 .设点A(2,0) , B(4,2)，若点P在直线AB上,且| = 2|丨|，则点P的坐标为()A. (3,1)B . (1 , 1)C . (3,1)或(1 ,1)D .无数多个解析：设 P(x, y)，则由 | = 2|，得=2 或=2. = (2,2) , = (x 2 , y)，即 (2,2) = 2(x 2 , y) , x = 3 , y = 1, P(3,1),或(2,2) = 2(x 2 , y) , x= 1 , y = 1 , P(1 , 1).答案：C10. 已知

7、点 A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0), 给出下面的结论：其中正确结论的个数 是()直线OC与直线BA平行；A. 1个B . 2个解析：kOC= = , kBA= = - .，错误；OC= O禺走=而-204C . 3个D . 4个,OC/ BA 正确；正确;.左 F冷-(-4,0),正确.故选C.11. 设向量a = (3 , ), b为单位向量，且a II b,则b=()V7Vsa/5JsA.(，)或(，)B. (, ) C.(,-)D.(,)或(-，一)解析：设 b= (x, y)，由 a I b 可得 3y x = 0,又 x2 + y2= 1 得 b=(,)或

8、b= (，).答案：D12. 在 ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,且nn= (b c, cosC) , n = (a, cos A), m/ n,则 cos A的值等于()A.B .C.sin BcosA = sin AcosC+ sin CcosA =解析： m/ n,.(b c)cosA= acosC,( sin B sin C)cos A = sin AcosC, 即sin( A+ C) = sin B,易知 sin Bm0,二 cosA=. 二？填空题：13、若/仆 H ；：厂i ,贝14、若点O ABC所在平面内的一点,且满足I F汇 十；亠 X-罚忌| ,

9、则解析：Off-t OC- 2QA OS | AB ACAB ABC的形状为.QAAB AC. QB- OC故A?B?C为矩形的三个顶点, ABC为直角三角形.15. (2010 陕西)已知向量 a = (2 , 1) , b = ( 1 , m) , c = ( 1,2)，若(a +b) / c,贝卩 m=.解析：由题知 a+ b= (1 , m-1) , c = ( 1,2)，由(a+ b) / c 得 1 x2 (m- 1) x ( 1) = m+ 1 = 0,所以 m= 1.答案：116. (2011 天津十二校联考)已知直角坐标平面内的两个向量a = (1,3) , b =(m,2m

10、 3),使平面内的任意一个向量 c都可以唯一的表示成 c =入a+卩b,贝U m 的取值范围是.解析：I c可唯一表示成c = X a+卩b , a与b不共线，即2mi- 3工3m, m- 3.答案：m|mE R, mi# 317. 如图,平面内有三个向量?？_其中与，的夹角为120。，与的夹角为30 ,且p 1 |=|=1,|=,若：=入|卩 （入,卩 R）,贝U入+卩的值为.AA/cJc017c解析：过C作，与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由/ BOC=90，/ AOC=30二忙*京即，得平行四边形的边长为2和4,故入+卩=2+4=6. 答案:618. 如图，在厶ABC中，点

11、O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB,AC于不 同的两点M,N，若M二讪则m+n的值为.解析：由于MN的任意性可用特殊位置法：当MN与BC重合时知m=1,n=1,故 m+n=2 答案:2三？解答题:19. 已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),O 为坐标原点.设=b,且i.z-m严- 出(1)求 3a+ b 3c； (2)求满足 a = mb+ nc 的实数 m, n. 解：由已知得 a= (5， 5) , b= ( 6, 3) , c= (1,8).(1) 3 a+ b 3c = 3(5 , 5) + ( 6, 3) 3(1,8)=(15 6 3, 15 3 24) = (6 , 42).(2) v mb+ nc= ( 6m+ n, 3m+ 8n) = (5， 5),解得.20. 已知向量 a= (sin 9 , cos 9 2sin 9 ), b= (1,2).(1) 若 a/ b,求 tan 9 的值；(2)若| a| = | b|,0 v 9 Vn,求 9 的值.解：(1)因为 a / b,所以 2sin 9 = cos 9 2sin 9 , 于是 4sin 9= cos 9，故 tan 9 =