三角恒等变换与解三角形

1、第 2 讲三角恒等变换与解三角形高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)两角和 (差 )的正弦、余弦及正切是C 级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B 级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用 .试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考查，构成中档题； (2)正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是B 级要求，主要考查： 边和角的计算； 三角形形状的判断； 面积的计算； 有关的范围问题 .由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视 .真题感悟1.(2017 江苏卷 )若 tan41，则 tan _.6解析 法一 tan tan tan 4

2、 tan 11，4 1tan 61tan tan 47 6tan 61tan (tan 1)， tan 5.法二tan tan 4 4tan 114tan46715.1 tan 4 tan41617答案542.(2016 江苏卷 )在ABC 中， AC6， cos B5，C4.(1)求 AB 的长；(2)cos A6 的值 .解(1)由4cos B 5，得sin B231cos B5.又 C4，AC6，由正弦定理，得ACAB6AB，即 ? AB5 2.sin B32sin 452342(2)由(1)得： sin B5，cos B5，sin Ccos C2 ，则 sin Asin(BC) sin

3、 Bcos C cos Bsin C7210 ，2cos A cos(BC) (cos Bcos C sin Bsin C) 10 ，则 cos A 7 2 66 cos Acos sin Asin 20.66考点整合1.三角函数公式(1)同角关系： sin2cos2 1，sin tan .cos k(2)诱导公式：对于 “2， kZ的三角函数值 ”与 “ 角的三角函数值 ”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin()sin cos cos sin ；cos()cos cos ? sin sin ；tan tan tan().1? tan

4、tan (4)二倍角公式： sin 2 2sin cos ， cos 2cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2.2.正、余弦定理、三角形面积公式abcab c 2R(R 为ABC 外接圆的半径 ).(1)sin A sin Bsin Csin Asin Bsin C变形： a2Rsin A，b2RsinB， c2Rsin C；sin A a ，sin B b ，sin C2R2Rc2R；abcsin Asin Bsin C.(2)a2 b2 c22bccos A，b2a2c22accos B，c2 a2b22abcos C；推论： cos Ab2c2a22c2b22 b2c22bc

5、， cos B a2ac，cos Ca2ab；变形： b2 c2a22bccos A，a2c2b2 2accos B， a2 b2c22abcos C.111(3)SABC2absin C2acsin B2bcsin A.热点一三角恒等变换及应用【例 1】 (1)(2015 重庆卷改编 )若 tan 2tan 5，则3cos 10 _.sin 5(2)(2017 北京卷 )在平面直角坐标系xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称 .若 sin 1，则 cos() _.31 (3)(2016 苏北四市模拟 )已知 cos 6 cos3 4， 3， 2 ，则 sin 2

6、_.33cos 10sin 210sin 5解析(1) sin 5sin5sin5tan 1sin cos cossintan52155tan 3.21 cos sinsin51cos5tan5(2)与 的终边关于 y 轴对称，则 2k，k Z， 2k. cos( )cos(2k)21 12 799.(3)cos 6cos 3 cos 6 sin611 2sin23 4，即 sin 1232. 43，2 ， 23 ，3 ， 3 cos 2 3 2 ， sin 2sin 23 3 1 sin 23 cos3cos 2 3 sin32.7 1 答案 (1)3 (2) 9 (3)2探究提高1.解决三

7、角函数的化简求值问题的关键是把“所求角 ”用“已知角 ”表示(1)当已知角有两个时， “所求角 ”一般表示为 “两个已知角 ”的和或差的形式；(2)当“已知角 ”有一个时，此时应着眼于 “所求角 ”的和或差的关系，然后应用诱导公式把 “所求角 ”变成 “已知角 ”.2.求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.【训练1】 (1)(2017南京、盐城调研)若sin3 6 5，0，2 ，则cos 的值为 _.苏北四市模拟5且 ，3 (2)(2017)sin(，则 sin _.)3222(3)(2015江苏卷已知tan ，1，则 tan 的值为 _.)2tan()7

8、 解 析(1) 因 为 0，2， 所 以 6 6，3， 则 cos 62 41sin 6 5， 所以 cos cos 6 6 cos 6 cos 6sin 6 sin 6433 1433. 10525 2(2)sin()sin 533 ，又 ，2，25 22 cos 1sin 1 33.2 3由 cos 2cos 21， 22，4 ，得 coscos 16226 . 6所以 sin 22 cos 26 .tan tan 2tan 1，解得 tan 3.(3)tan 2， tan( )1tan tan 12tan 74336答案 (1)10(2)6(3)3热点二正、余弦定理的应用 命题角度 1三

9、角形基本量的求解【例 21】 (1)(2016 全国 卷 )ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，45若 cos A5，cos C13，a1，则 b_.解析在 ABC 中由 cos A4，cos C5 ，513可得 sin A3，sin C12，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C63，由51365asin B21正弦定理得 b sin A 13.答案2113(2)(2017 天津卷 )在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a， b， c.已知 ab，3a5，c6，sin B5.求 b 和 sin A 的值；求 sin 2A4 的值 .解

10、在 ABC 中，因为 ab，34故由 sin B5，可得 cos B5.由已知及余弦定理，有b2a2 c22accos B13，所以 b 13.abasin B313由正弦定理 sin Asin B，得 sin Ab13 .3 13所以， b 的值为 13， sin A 的值为 13 .2 13由及 ac，得 cos A 13 ，12所以 sin 2A2sin Acos A13，2 5 cos 2A12sin A 13.7 2故 sin 2A 4 sin 2Acos4cos 2Asin4 26 .探究提高1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正

11、弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一 ”，即 “统一角、统一函数、统一结构”. 命题角度 2求解三角形中的最值、面积问题【例 22】 (2017 苏北四市调研 )已知 a，b，c 分别为 ABC 的内角 A，B，C 的对边，且 acos C3asin Cbc0.(1)求 A；(2)若 a2，求 ABC 面积的最大值 .解 (1)由 acos C 3asin Cbc0 及正弦定理得sin Acos C3sin

12、Asin C sin Bsin C 0.因为 BAC， sin B sin(A C) sin Acos C cos Asin C，所以3sin Asin Ccos Asin Csin C0.易知 sin C0，所以3sin Acos A1， 1 所以 sin A6 2.又 0A，所以A3.222(2)法一由(1)得 BC 3 ? C 3 B0B 3，由正弦定理得ab c2 4 ，sin Asin Bsin C 3sin 3所以 b4， 43sin Bcsin C.3所以 S1bcsin A1444 3ABC22sin Bsin C sin3sin Bsin C3334 324 3312333

13、sinBsin3B 32 sin Bcos B2sin Bsin 2B 3 cos 2B 3 2333sin 2B6 3 . 7 易知62B6 6 ，故当 2B62，233 3.即 B 时， SABC 取得最大值，最大值为333法二由 (1)知 A3，又 a2，222由余弦定理得 2 b c 2bccos 3，即 b2c2 bc4? bc 4 b2c22bc? bc 4，当且仅当 bc 2 时，等号成立 .1133，所以S ABC 2bcsin A22 bc4 43即当 bc2 时， SABC 取得最大值，最大值为 3.探究提高 1.求解三角形中的最值问题常用如下方法：(1)将要求的量转化为某

14、一角的三角函数，借助于三角函数的值域求最值.(2)将要求的量转化为边的形式，借助于基本不等式求最值 .112.求解面积问题时，根据已知条件选择适当的面积公式S2absin C，S2acsin1B，S2bcsin A.【训练 2】 (2017 全国 卷)ABC 的内角 A， B，C 的对边分别为 a， b，c，已2B知 sin(AC) 8sin 2.(1)求 cos B；(2)若 ac6，ABC 面积为 2，求 b.解 (1)由题设及 ABC，得 sin B8sin2B2，故 sin B4(1cos B).上式两边平方，整理得17cos2B32cos B150，15解得 cos B1(舍去 )，

15、cos B17.158(2)由 cos B 17得 sin B 17，故 S14又 2，则 ac17ABC2acsin B17ac.S ABC2 .由余弦定理及 ac6 得b2 a2c22accos B (ac)2 2ac(1cos B)17 15 3622 117 4.所以 b2.1.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.2.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1

16、)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论； (5)若涉及两个 (或两个以上 )三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解 .3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就1选择 S2absin C 来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角.一、填空题1.(2017 全国 卷)ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a，b，

17、c，若 2bcos Bacos Cccos A，则 B _.解析由正弦定理得 2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A sin(AC)sin B.1 2sin Bcos Bsin B，又 sin B0，cos B2，故 B3.答案32.(2017 苏、锡、常、镇调研 )已知 是第二象限角，且 sin 3 ，tan()10 2，则 tan _.解析由 是第二象限角，且 sin 3 ，则 cos 1sin2 1 ，则1010sin 231 3，所以 tan tan()7.tan cos 16答案1713.(2016 全国 卷改编 )在ABC 中， B4，BC边上的高等于3BC

18、，则 cos A_.12解析设 BC 边上的高 AD 交 BC 于点 D，由题意B4，BD3BC，DC3BC，12tanBAD1，tanCAD 2，tan BAC112 3，所以 cos BAC1010.答案10102 (a b)2 6，C在 中，内角A，B，C所对的边分别是4.ABCa，b，c.若 c3，则 ABC 的面积是 _.解析c2 (ab)2 6，即 c2 a2b2 2ab 6 . C3，由余弦定理得 c2a2 b2ab ，由 和得11333ab6，SABC absin C 62.222答案3325.(2012 江苏卷 )设 为锐角，若 cos 4的值为 _.6 ，则 sin 212

19、54解析为锐角且 cos 6 5， 26 6，3 ， sin 36 5. sin 212 sin 2 6 4 sin 2 6 cos 4cos 2 6 sin 422 2sin 6 cos 6 22cos 6 13 424 2 222515 512272172 2550 50.答案172506.在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为a，b，c，已知 ABC 的面积为， ，1，则 a 的值为 _.3 15bc2cos A4解析 cos A1，0A，sin A 15，44 1115 3 15， bc 24，S ABC2bcsin A2bc 4又 bc 2， b22bc c24，b2c

20、2 52，由余弦定理得，a2 b2c22bccos A 52224164， a 8.4答案87.(2017 浙江卷 )已知 ABC，ABAC4，BC2.点 D 为 AB 延长线上一点， BD 2，连接 CD，则 BDC 的面积是 _， cos BDC _.解析依题意作出图形，如图所示，则 sin DBC sin ABC.由题意知 AB AC 4， BC BD 2，151则 sin ABC4 ，cosABC4.所以S 1 11515 42 .BDC2BC BD sin DBC22 2因为 cos DBC cos ABC1 BD2BC2 CD28CD2，所以 CD42BDBC810.4 10410

21、由余弦定理，得cosBDC.22 1041510答案248.(2014 江苏卷 )若ABC 的内角满足 sin A2sin B 2sin C，则 cos C 的最小值是 _.解析 sin A 2sin B2sin C.由正弦定理可得 a2b2c，即 c a2b，22222a 2b 22 ab 2ab ccos C2ab2ab 3a2 2b2 2 2ab22 2ab62，8ab6ab48ab22a2当且仅当 3a 2b 即 时等号成立 . cos C 的最小值为6 2.4答案6 24二、解答题9.(2016 北京卷 )在ABC 中， a2c2 b22ac.(1)求角 B 的大小；(2)求2cos Acos C 的最大值 .解 (1)由 a2c2b2 2ac 得 a2c2 b2 2ac.由余弦定理得 cos Ba2 c2b22ac22ac2ac2 .又 0B，所以 B4. 3(2)ACB 4 4 ，所以33C 4 A，0A4 .3所以 2cos A cos C 2cos A cos 4 A332cos Acos4 cos A sin 4 sin A 2cos A222 cos A 2 sin A22A4，2