【数学】：第15章极限

1、第十五章极限第一部分五年高考荟萃2009年高考题一、选择题、（重庆理8）已知lim(2x2axb)2，其中a, bR，则ab的值为（）1 09x1xA.6B.2C.2D. 6【解析】2x2ax2axbxblim (2a) x2(ab)xb lim (2a) x( ab)blimx1x2xx1x1x1x则2 a0,解得a2,b4,故ab2(4)6(ab) 2答案D2、（ 09 湖北理6）设2x)2 na0a1 xa2 x2.a2n 1x2n1a2n x2 n，（2则 lim( a0a2a4.a2n ) 2(a1a3a5.a2n1)2（）nA.-1B.0C.1D.22【解析】令 x0 得 a0(2

2、)2n1n 令 x1时 (21)2na0 a1a2a2n222令 x1时( 21)2 na0a1a2a2n2(21)2n(21)2n两式相加得： a0a2a2n222( 21)2 n(21)2 n两式相减得： a1a3a2n1222代入极限式可得，故选B答案B二、填空题3、（09 陕西理 13）设等差数列an 的前 n 项和为 Sn ,若 a6S3Sn.12 ,则 lim2nna612a15d 12a1 2Snn 1limSnlimn 1解析：12a1d 12Sn n( n 1)n2nn21s3d 2nnn答案12005 2008年高考题一、选择题1、（ 2007 年江西） limx3x2（）

3、x 1x1等于0等于1等于3不存在答案 Bp1112、（ 2007 年湖北） 已知 p 和 q 是两个不相等的正整数，且 q 2 ，则 limn（）qn111nA 0B 1pp1CD1qq答案 3、（ 2006湖南） 数列 an 满足 : a11, 且对于任意的正整数m,n 都有 am naman , 则3lim( a1a2 Lan )()nA. 1B.2C.3D.22312【解析】 数列 an 满足 :a1m, n 都有, 且对任意正整数3111 ，公am nam ana2a1 1a1a1， an 1ana1an ，数列 an 是首项为933比为 1 的等比数列。lim ( a1a2an )

4、a11，选 A.3n1q2答案A4、（ 2005 年全国理 5） lim12()23x2 x24x3x1 xA1B 1C1D 12266【解析】 lim2122lim12x3x2 x4 x 3( x 1)(x 2)( x 1)( x 3)x 1x 1lim( x1)lim11 ,选 (A)x 1 ( x 1)(x 2)( x 3)x 1 ( x 2)( x 3)2答案A二、填空题3n1.5、（ 2008 上海 2）计算： lim n 1nn32答案136、（ 2007 年全国理16）已知数列的通项 a nn则 limSn=.=5n+2,其前 n 项和为 S ,n2n答案- 52n(5n1)Sn

5、5【解析】数列的通项，则 lim=.an= 5n+2，其前 n 项和为 Sn2n22n17、（ 2006 天津） 设函数 fx，点 A0 表示坐标原点，点Ann, fnnN * ，若向量x1uuruuuuruuuurLuuuuuuruurr1,0anA0 A1A1A2An 1 An，n 是 an与 i 的夹角，（其中 i），设Sntan1 tan2tann，则 lim Sn =n【解析】 函数 f x1，点 A0 表示坐标原点，点Ann, fnnN *，若向量x1uuruuuuruuuuruuuuuuruuuuuruurr11的夹角， tann1anA0 A1A1A2 LAn1 An= A0

6、An ， n 是 an 与 innn(n（其1)中 i1,0），设 Sntantantan11L11112n2 3n(n1)n，则1 21lim Sn =1n答案18、（ 2005 年上海 2） limn2.12nn答案0三、解答题9、（ 2007 年辽宁） 已知数列 an ， bn 与函数 f ( x) ， g( x) ， xR 满足条件：anbn ， f (bn ) g (bn 1)( n N* ) .（ I）若 f (x) tx 1， t0， t2 ， g ( x) 2x ， f (b)g(b) ， lim an 存在，求 x 的取值n范围；（ II）若函数 yf ( x) 为 R 上的

7、增函数，g (x)f 1 (x) ， b1， f (1)1 ，证明对任意n N* ， lim an （用 t 表示）nan1tbn11tan1 ，又已知 t2, 可得( ) 解法一：由题设知an2bn1 ,得 an12an 12t ( ant2 ).t222由f (b)g(b), t2, t0,可知 a1t2tbt20, t0,所以 an22t2t2是等比 其首项为 tbt,公比为 t.于是t22an2(tbt )( t )n1, 即an(tbt)( t ) n 1t .t2t22t2 2t2又 lim an 存在，可得0 |t| 1, 所以 -2 t 2且 t0.22lim an.2nt解法

8、二 . 由题设知 tb n+1=2bn+1, 且 t2. 可得bn11t (bn1).t22t2由 f (b)g(b), t2,t0, 可 知 b10, t0, 所 以bn1是首项为t22t2b 1 , 公 t 的等比数列 .t22bnt1(b1 )( t ) n 1 ,即 bn (b1 )( t )n 11 .2t2 2t 2 2t 2| t | 1, 所以 -1 由 an2bn 1可知，若 lim an 存在，则lim bn 存在 . 于是可得0 nn2t 0 .lim an =2 lim bn22.nnt解法三 : 由题设知 tb n+1=2bn+1, 即bn1tbn122 ,于是有bn

9、2tbn 11,22 - 得 bn 2bn 1t (bn 1bn ), 令cnbn 1bn ,得t2cn1cn .2(t2)b1t由f (b)g(b), t2, t可知c1 b20,0，所以cn 是首项0b122为 b 公比为 t的等比数列，于是21 ( t ) nbn 1(c1 c2cn ) b12(b2b1 ) b.t1( t ) n 241an2bn12（2-b1）+2 .2tbb| t又 lim an 存在，可得0| 1, 所以 -2 t 2 且 t0.n242 .lim an(b2b1 )2bn2t2 t说明：数列an 通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以标准

10、 .( ) 证明：因为g (x)f1(x),所以 ang (bn 1 )f 1(bn 1 ),即 bn 1f (an ) .下面用数学归纳法证明an 1 an( nN *).(1) 当 n=1 时，由 f ( x) 为增函数 , 且 f (1) 1, 得a1f (b1 )f (1) 1b2f (a1 )f (1) 1a2f (b2 ) f (1)a1 ，即 a2 a1 ，结论成立 .（ 2）假设 n=k 时结论成立，即ak 1 ak . 由 f ( x) 为增函数，得f (ak 1 ) f ak 即 b k 2 bk 1 进而得f (ak 1 ) f ( bk 1 ) 即 ak 2 a k 1

11、 .这就是说当n=k+1 时，结论也成立.根据（ 1）和（ 2）可知，对任意的( nN *) ， an 1 an .第二部分四年联考汇编1. （昆明一中三次月考理）若答案： 22010年联考题题组二 （5 月份更新）(2 x1) 9 展开式的第9 项的值为12，则 lim ( xx2xn ) =n2（师大附中理）lim(12)x 1x1 x21A 1B 1C 0D1答案： B223. （祥云一中月考理）已知lim(2x2b)2 ，其中 a,bR ，则 ab 的值为（）axxx1A 6B 2C 2D 6答案： D4. （ 祥 云 一 中 二 次 月 考 理 ） 已 知 数 列 an中 ， a11

12、,an 1 an1(n N), 则3n 1lim an _ .n答案： 7615. （哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）若0 xdx_.答案 126（祥云一中三次月考理）lim 1 35 L(2n 1) 等于nn(2 n1)1答案： 2a 0,a7. （三明市三校联考）已知，则当(cos x sin x)dx 取最大值时， a =_.20答案 4题组一 （1 月份更新）1.（ 2009 上海八校联考）an是无穷数列，已知an 是二项式 (12 x) n (nN *) 的展开式各项系数的和，记Pn11L1，则 lim Pn_。a1a2ann答案12，(1n2009)，对于任意的正整数 n

13、 ， an12.（ 2009上海青浦区） 已知数列an1)n 2009.(n2010)，2 (3设 S 表示数列an的前 n 项和下列关于 lim S的结论，正确的是 （）nnnA limSn1B lim Sn2008nnC lim，2009) （ nN * ）D以上结论都不对Sn2009(1nn1 .(n2010)答案 B3.（ 2009宣威六中第一次月考）设数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 an5Sn3( nN )，那么lim( a1a3La2n1 )（）nA 1B1C 4D 35554答案 C4.（2009上海九校联考） 设常数a，(ax15 的展开式中，x3 的系数为5，0)81

14、x则 lim( aa2Lan )n答案 12lim ( n25、（ 2009 宣威六中第一次月考）1an b) 3 ，则 a b。nn1答案 36、 2009 宣威六中第一次月考）lim2n 13n 1=nnn23答案 -32009年联考题一、选择题1、 (2009年 3 月 襄 樊 市 高 中 调 研 统 一 测 试 理 ) lim2x 2的值为( )6 xx 2x8A 0B 1C1D 123答 案C2、 ( 湖北省八市 2009年高三年级三月调考理) 若 (1+5 x) n 的展开式中各项系数之和为an， (7 x2 1) n 的展开式中各项的二项式系数之和为bn ，则 liman2bn的

15、值是（）n3an4bnA 1B 1C 1D 1342答 案A3、（ 2009 衡阳四校联考） 若 lim x22ax2P（PR，P 为常数），则 a 和 P 的值分别为（）x 2x4A 0，1B 1，3C 1,1D1 , 324224答 案Dx26 x51111L14、（ 2009 牟定一中期中） 若 lim2a, 则 lim(234n ) 的x 1x1naaaaa值为（）A. 2B.1C.1D.73212答案 B5、（ 2009 宣威六中第一次月考）下列命题不正确 的是（）A如果 f ( x) =1f(x) = 0，则 limxx+B如果 f ( x) = 2x 1，则 limf(x) =

16、0x0C如果 f ( n) =n 2 2n，则 limf ( n)不存在n + 2nD如果 f ( x) =x ， x 0，则 limf( x) = 0x + 1 ， x0， ( ax1)5 的展开式中，x3 的系数为5，a2L an )x81则 lim( an答案1217、（ 2009 宣威六中第一次月考） lim 2n 13n 1nn= .n23答案-3三、解答题18、（ 2009冠龙高级中学3月月考） 由函数 yf x确定数列an， anfn，函数yfx 的反函数 y f1x 能确定数列bn， bnf1 n ，若对于任意 nN* ，都有 anbn ，则称数列bn是数列an的“自反数列” 。(1)若函数 fxpx1 确定数列an的自反数列为bn，求 an的通项公式；x1(2)在 (1)条件下，记n为正数数列xn的调和平均数，若dn21 ，1