点的运动轨迹

1、点的运动轨迹点的运动轨迹 符合一定条件的动点所形成的图形，或者 说，符合一定条件的点的全体所组成的集合， 叫 做满足该条件的点的轨迹.“动点路径”是一个比较抽象的问题，但在高 中解析几何中的学习是非常有用的， 也是非常重 要的。在研究动点问题时，可以在运动中寻找不 变的量，即不变的数量关系或位置关系.如果动 点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该 动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点 的轨迹是一段圆弧，那么其中不变的量便是该动 点到某个定点的距离始终保持不变. 因此，解决 此类动点轨迹问题便可转化为寻找变量与不变 的关系。常用的基本轨迹：1、如图，已知AB=1Q P是线段AB上的动点

2、， 分别以APPB为边在线段AB的同侧作等边 ACP 和厶PDB连接CD设CD的中点为G,当点P从 点A运动到点B时，则点G移动路径的长是 变式1、（2010桂林）如图：已知 AB=10点CD在线段 AB上且AC=DB=2 P是线段CD上的动 点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边 AEP和等边 PFB连接EF,设EF的中点为G; 当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的 长是.变式2、如图：已知AB=10点C D在线段AB上且AC=DB=2 P是线段CD上的动点，分别以 AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形 APEF和 正方形PBGH点0和Q是这两个正方形的中心， 连接QQ,设0

3、Q的中点为Q当点P从点C运 动到点D时，则点Q移动路径的长是.2、如图，已知线段 AB=1Q AC=BD=2点P是CD线段0102中点G的运动路径的长是 母题：若x t 3 , y 5 t，则y与x之间的关系是3、如图 1,在 Rt ABC中，/ C=90, AC=6BC=8动点P从点A开始沿边AC向点C以1个 单位长度的速度运动，动点 Q从点C开始沿边 CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过 点P作PD/ BC交AB于点D,连接PQ分别从点 A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一 点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t 0).(1) 直接用含t的代数式分别表示：QB= ， PD= (

4、2) 是否存在t的值，使四边形PDB(为菱形？ 若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.并 探究如何改变Q的速度(匀速运动)，使四边形 PDB(在某一时刻为菱形，求点 Q的速度；(3) 如图2,在整个运动过程中，求出线段 PQ 中点M所经过的路径长.乩1t 0变式1:如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边OA OC分别在x轴、y轴的正半轴上， OA4, OC= 2点P从点O出发，沿x轴以每秒 1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达 点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒将 线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90得 点D,点D随点P的运动而运动，连接 DP DA变式2:如图，边长

5、为4的等边三角形AOB勺顶点0在 坐标原点，点A在x轴正半轴上，点B在第一象限.一 动点P沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动， 当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t 秒.将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60得 点C,点C随点P的运动而运动，连接CP CA过点P 作PDL 0B于点D.（1）填空：PD的长为用含t的代数式表示）；（2）求点C的坐标(用含t的代数式表示)；(3)在点P从O向A运动的过程中， PCA能否成为直角三角形？求t的值若不能，说理由;(4)填空：在点P从0向A运动的过程中，点C运动路线的长为x4、在矩形ABCD中，点P在AD上, AB= 以，AP=1将

6、直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边 分别交AB, BC于点E, F,连接EF (如图).当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如 图2）,则PC的长为；（2）将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针 旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中， 从开始到停止，线段EF的中点所经过的路径（线 段）长为。变式、如图，直角坐标系中，已知点 A（2, 4）, B（5，0），动点P从B点出发沿B0向终点0运 动，动点Q从A点出发沿AB向终点B运动.两 点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发 起运动了 x秒.（1）Q点的坐标为（_ （用含x的代数式表示）；（2）当x为何值时， APQ是一个以AP为腰

7、的 等腰三角形？（3）记PQ的中点为G.请你直接写出点G随点 P, Q运动所经过的路线的长度.5、如图，OALOB垂足为O, P、Q分 别是射线OA OB上的两个动点，点C 是线段PQ的中点，且PQ=4则动点C 运动形成的路径长是。变式、某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究， 已知AB=8.问题思考：如图1,点P为线段AB上的一个动点，分别以 AP、BP 为边在同侧作正方形APDC BPEF(1) 当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？ 若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和 的最小值.问题拓展：(2) 如图2,以AB为边作正方形ABCD动点P、Q在正 方形ABCD勺边上

8、运动，且PQ=8若点P从点A出发，沿 A-B-C-D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运 动过程中，PQ的中点0所经过的路径的长.(3) 如图3,在“问题思考”中，若点 M N是线段AB 上的两点，且AM=BN=1点G H分别是边CD EF的中点， 请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点0所 经过的路径的长及0M+0的最小值.&等边三角形ABC勺边长为6,在AC, BC边上各取一点E,F,连结AF BE相交于点P.1）若AE=CF求证：AF=BE并求/ APB的度数.2）若AF=BE当点E从点A运动到点C时，试求点P 经过的路径长9、（2018达州中考16） 6、如图，在Rt ABC

9、中, / ACB=90 , AC=2 BC=5 点 D是 BC边上一点 且CD=1点P是线段DB上一你动点。连接AP, 以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt AOP当点 P从点D出发运动至点B停止时，点0的运动路 径长为。(南京)8如图，正方形 ABCD勺边长是2, M 是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点 B停止连接EM并延长交射线CD于点F,过M 作EF的垂线交射线BC于点G,连结EG FG(1) 设ABx时， EGF的面积为y，求y关于 x的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；(2) P是MG的中点，请直接写出点P运动路线 的长.如圈1,在矩形榭中，沖“宀= 点恵从点号岀艮 沿

10、必边运动到点G连结场，过点於励的垂 线交冲肝点凤0）求彳正，盘曲FE 丄貞求助的最大值；如图2,在点J3的运动过程口，以也力边，在附土方作等边乂求边 M 中点打所经过的爵径长.阅读下列材料：小华遇到这样一个问题，如图1, ABC中，/ ACB =30o,BC=6,AC=5,在厶 ABC内部有一点 P,连接 PA.PB.PC,求 PA+PB+P的最小值.小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想 办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后 再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线段最短”，就可 以求出这三条线段和的最小值了.他先后尝试了翻折.旋转.平移的方法，发现通过旋转可以解决 这个问题他的做法是，如图2,将厶APC绕点C顺时针旋转60o,得到 EDC连接PD.BE则BE的 长即为所求.(1) 请你写出图2