【数学】江苏省无锡市2017-2018学年高二下学期期末考试(理)(解析版)

1、江苏省无锡市2017-2018 学年高二下学期期末考试（理）1已知复数，其中 是虚数单位，则的模是 _ 2设离散型随机变量的概率分布如下：则的值为 _ 3已知直线在矩阵对应的变换作用下变为直线：，则直线 的方程为 _4直线与圆相交的弦长为 _ 5若，则 ， 的大小关系是 _ 6求值：_ 7有甲、乙、丙三项不同任务，甲需由人承担，乙、丙各需由人承担，从人中选派人承担这三项任务，不同的选法共有_ 种（用数字作答）8用反证法证明命题：“定义在实数集上的单调函数的图象与 轴至多只有 个交点 ”时，应假设 “定义在实数集上的单调函数的图象与轴 _”9在圆中：半径为 的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，

2、最大值为.类比到球中：半径为的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，最大值为_ 10平面上画条直线，且满足任何条直线都相交，任何条直线不共点，则这条直线将平面分成 _ 个部分11在平面直角坐标系中，已知点是椭圆：上第一象限的点，为坐标原点， 分别为椭圆的右顶点和上顶点，则四边形的面积的最大值为_ 12在的展开式中的所有的整数次幂项的系数之和为_13湖面上有 个相邻的小岛 ， ， ， ， ，现要建 座桥梁，将这 个小岛连接起来，共有 _不同方案（用数字作答）14一个袋中有形状、大小完全相同的个小球，其中个红球，其余为白球 .从中一次性任取个小球，将 “恰好含有个红球 ”的概率记为，则当_时，取得

3、最大值15已知复数在复平面内对应的点位于第二象限，且满足.（ 1）求复数；（ 2）设复数满足：为纯虚数，求的值 .16已知二阶矩阵 对应的变换将点变换成，将点变换成.（1）求矩阵的逆矩阵；（2）若向量，计算.17在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为（ 为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆极坐标方程为.（ 1）若直线 与圆相切，求的值；（ 2）已知直线与圆交于， 两点，记点、相应的参数分别为，当时，求的长 .18将正整数排成如图的三角形数阵，记第行的个数之和为.（ 1）设，计算，的值，并猜想的表达式；（ 2）用数学归纳法证明（1）的猜想 .19有甲、乙两个游戏项目，要参与游戏

4、，均需每次先付费元（不返还），游戏甲有种结果：可能获得元，可能获得元，可能获得元，这三种情况的概率分别为， ，；游戏乙有种结果：可能获得元，可能获得元，这两种情况的概率均为.（ 1）某人花元参与游戏甲两次，用表示该人参加游戏甲的收益（收益=参与游戏获得钱数 -付费钱数），求的概率分布及期望；（ 2）用 表示某人参加次游戏乙的收益，为任意正整数，求证：的期望为.20已知函数，其中，.（ 1）若，求的值；（ 2）若，求的最大值；（ 3）若，求证：.参考答案1【答案】【解析】分析：分子分母同时乘以，化简整理，得出，再得模。详解：，所以。点睛：复数的除法运算公式。2【答案】【解析】分析：离散型随机变量

5、的概率之和为1详解：解得：。点睛：离散型随机变量的概率之和为1，是分布列的性质。3【答案】【解析】分析：用相关点法求解，设直线上的点为直线上的点为，所以，代入直线的方程详解： 设直线 上的点为直线 上的点为，直线 在矩阵对应的变换作用下所以：，代入直线的方程整理可得直线的方程为。点睛：理解矩阵的计算规则和相互之间的转换。4【答案】【解析】试题分析：将直线化为普通方程为：，化为普通方程为：，即，联立得，解得，直线与圆相交的弦长为故答案为将极坐标方程化为直角坐标系方程是常用方法考点：简单曲线的极坐标方程5【答案】【解析】分析：作差法，用，判断其符号。详解：，所以，。点睛：作差法是比较大小的基本方法

6、，根式的分子有理化是解题的关键6【答案】 1【解析】分析：观察通项展开式中的中 的次数与中的一致。详解：通项展开式中的，故=点睛： 合并二项式的展开式， 不要纠结整体的性质，抓住具体的某一项中的中的次数与中的 一致，有负号时注意在上还是在上。7【答案】 60【解析】分析：先从5 人中选 4 人（组合），再给 4 个人分派 3 项任务，甲需2 人 ，乙、丙各需由 人。详解：先从5 人中选 4 人（组合），再给 4 个人分派 3 项任务，甲需2 人，乙、丙各需由 人（乙、丙派的人不一样故要排列）。共有 60 种。点睛：分配问题，先分组（组合）后分派（排列）。8【答案】至少有个交点【解析】分析：反证

7、法证明命题，只否定结论，条件不变。详解：命题： “定义在实数集上的单调函数的图象与轴至多只有个交点 ”时，结论的反面为 “与 轴至少有个交点 ”。点睛： 反证法证明命题，只否定结论， 条件不变， 至多只有个理解为，故否定为.9【答案】【解析】分析：圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，当边长等于时，类比球中内接长方体中，以正方体的体积最大，棱长为详解：圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，当边长时，解得时，类比球中内接长方体中，以正方体的体积最大，当棱长, 解得时，正方体的体积为点睛：类比推理，理会题意抓住题目内在结构相似的推导过程，不要仅模仿形式上的推导过程。10【答案】【解析】分析：根据几何图

8、形，列出前面几项，根据归纳推理和数列中的累加法即可得到结果。详解： 1 条直线将平面分成2 个部分，即2 条直线将平面分成4 个部分，即3 条直线将平面分为7 个部分，即4 条直线将平面分为11 个部分，即，所以 .根据累加法得所以点睛：本题综合考查了数列的累加法、归纳推理的综合应用。在解题过程中，应用归纳推理是解决较难题目的一种思路和方法，通过分析具体项，找到一般规律，再分析解决问题，属于中档题。11【答案】【解析】分析：的面积的最大值当到直线距离最远的时候取得。详解：时候取得的最大值，设直线，当，到直线距离最远的所以，故的最大值为。点睛：分析题意，找到面积随到直线距离的改变而改变，建立面积

9、与到直线离的函数表达式，利用椭圆的参数方程求解距离的最值。本题还可以用几何法分析与直线平行的直线与椭圆相切时，为切点，到直线距离最大。12【答案】 122距【解析】分析：根据二项式定理的通项公式，写出所有的整数次幂项的系数，再求和即可。详解：所以整数次幂项为为整数是，所以系数之和为122点睛：项式定理中的具体某一项时，13【答案】 135写出通项的表达式， 使其满足题目设置的条件。【解析】分析：个相邻的小岛一共可座桥梁，选座，减去不能彼此连接的即可。详解：个相邻的小岛一共可座桥梁，选座不能彼此连接，共 135 种。点睛：转化问题为组合问题。14【答案】 20【解析】分析：由题意可知，满足超几何

10、分布，列出的公式，建立与的表达式，求最大值。详解：，取得最大值，也即是取最大，所以：解得，故。点睛：组合数的最大值，可以理解为数列的最大项来处理。15【答案】（ 1）；（ 2）.【解析】分析： （ 1）解一元二次方程，得到，根据在复平面内对应的点位于第二象限，即可判断的取值。（ 2）根据复数的乘法运算、纯虚数的概念、模的定义，联立方程求得x、y 的值，进而求得的值。详解：（ 1）因为，所以，又复数对应的点位于第二象限，所以；（ 2）因为，又为纯虚数，所以，有得，解得，或，；所以.点睛：本题考查了复数相等、纯虚数等概念和复数的混合运算，对基本的运算原理要清晰，属于基础题。16【答案】（ 1）；（

11、2）【解析】分析： （ 1）利用阶矩阵对应的变换的算法解出，再求（ 2）先计算矩阵的特征向量，再计算详解：（ 1），则，解得，所以，所以；（ 2）矩阵的特征多项式为，令，解得，从而求得对应的一个特征向量分别为，.令，求得，所以.点睛：理解矩阵的计算规则和相互之间的转换。17【答案】（ 1）或；（ 2）【解析】分析： （ 1）消元法解出直线的普通方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式解出圆的直角坐标方程，直线与圆相切，则。（ 2）将直线的参数方程为代入圆的直角坐标方程并化简整理关于的一元二次方程。利用的几何意义求解问题。详解：（ 1）圆的直角坐标方程为，将直线 的参数方程代入圆的直角坐标方程得，即

12、为，因为直线与圆相切，所以所以或，所以（ 2）将代入圆的直角坐标方程为得，又，所以，或；，.点睛：将直线的参数方程为代入圆的直角坐标方程并化简整理关于的一元二次方程。利用的几何意义求解问题是解决直线上的定点与交点问题的常规解法。注意，要去绝对值符号，需判断交点与定点的位置关系，上方为正，下方为负。18【答案】（ 1）；（ 2）见解析【解析】分析：直接计算，猜想：；（ 2）证明：当时，猜想成立 . 设时，命题成立，即证明当时，成立。详解：（ 1）解：，猜想；（ 2）证明：当时，猜想成立 .设时，命题成立，即，由题意可知.所以，所以时猜想成立 .由、可知，猜想对任意都成立 .点睛：推理与证明中，数

13、学归纳法证明数列的通项公式是常见的解法。根据题意先归纳猜想，利用数学归纳法证明猜想。数学归纳法证明必须有三步：当时，计算得出猜想成立.当时，假设猜想命题成立，当时，证明猜想成立。19【答案】（ 1）分布列见解析，期望为；（ 2）见解析【解析】分析： （ 1） 表示该人参加游戏甲的收益，可能取值为， ， ，分布列为：（ 2）用表示某人参加次游戏乙的收益可能取值为，（且），每次独立，获奖的概率为.满足二项分布。详解：（ 1）则的所有可能取值为， ， ，（ 2）证明： 的所有可能取值为，；， ， （且），（且），两式相加即得，所以.点睛：（ 1）离散型随机变量的分布列，根据题意，搞清随机变量的最小值和最大值，其它值随之确定。（ 2）根据题意， 要能判断出是否为二项分布， 抓题目的关键词： 事件相互独立 （放回），每次事件成功的概率相等 .（ 3）二项分布的期望公式，方差20【答案】（ 1）；（2）；（ 3）见解析【解析】分析： （ 1）赋值法：