高中数学论文：一道习题的探究性教学

1、一道习题的探究性教学教学内容：这是一堂在学了一元二次不等式的解法之后的复习课。复习一元二次方程根的分布问题和处理含参数的恒成立问题。教学目标：通过这堂习题课是想让学生学会处理一元二次方程根的分布，以及含参数不等式恒成立的问题。体验多种思想方法：分类讨论，转化和化归，数形结合。学会如何对题目进行变式，培养自主创新能力和发散思维能力，从而提高对数学的兴趣。 教与学互动过程：原题：浙江省普通高中新课程作业本数学高一下 人教版 b p24 第10题 设集合 ，集合。若 ，求实数的取值范围。分析：这是集合运算、解不等式及一元二次方程根分布结合的题目。综合性比较强。解：由题得：当，则得； 当，则设，为的两

2、根。那么由图象可得：，；12xy ； ； 对称轴；所以；综上所述：。解题小结反思：显然这里涉及一元二次方程根分布的一个典型问题：两根分布在同一个区间。让学生试着总结一下需要考虑哪一些问题，注意四个方面：前的系数（抛物线的开口方向），判别式，对称轴，还有两个端点的函数值。所以解这类问题要数形结合。另外集合运算的一个老问题：注意空集的存在。（以后不妨先考虑）接下去教师就该抓住机会巩固的时候。笔者提出让学生设计题目，通过改编题目条件或结论来解决问题。这时学生都想试一把，参与热情比较高，同时让他们体验如何编题，以便以后拿到题目就能快速分析。学生们就提出以下比较好的变式： 变式1：把 改为。再让学生来解

3、决这个问题。结合原题解法,利用数形结合很清晰。解题过程如下：12xy解：设，为的两根。因为，那么由图象可得：；。所以。这样的变式较简单，但它蕴涵了一元二次方程根分布的另一个典型问题：两根分布在不同区间。显然比两根分布在同一个区间来得简单。只要考虑：两个端点的函数值。此时判别式都不用考虑，已经保证大于等于零。这时让学生就总结一下根的分布问题,做好笔记。继续变式：在变式1的基础上，有学生就提出：改为，尝试的解了一下： 当，则得；当，由于对称轴为在里面。此时，所以 无解。所以。解到这里，学生都有点意犹未尽，所以这个时候笔者抓住机会提点一下：学生们感觉这个变式少一点味道，那么再试着改编一下条件，使当时

4、也有解，那么无解的原因是什么？对称轴定了！那么如何改编呢？在提示下，学生就提出：变式2：设集合 ，集合，若，求实数 的取值范围。分析：只是添加了一个，题目似乎变得活起来了。那么接下去就是研究如何解题？解法1：这是从二次函数角度考虑的，要注意对对称轴的分类。12xy 当，则得；当，或，对称轴为；记 （）当即时，只要，得；此时； （）当即时，只要，得； 此时无解； 所以中：，综上所述：。解法2：（转化思想）从角度考虑，转化为求含参数二次函数最值问题。解：由说明：当时，恒成立。即的最小值大于零。下面求当时的最小值。 （）当即时，得；此时；12xy（）当，即时，由，得 ，得，此时无解；（）当即时，得；

5、此时无解。综上所述：。可以发现解法1，解法2类似。解法3：从恒成立出发，考虑分离参数法：解：由说明：当时，恒成立。即恒成立，因为，所以；也即恒成立。待添加的隐藏文字内容2只要小于（）的最小值。而，令，再令，所以因为函数在上是增函数，所以，所以则此题分离参数综合性比较强，能力要求特别高，尤其是用换元求函数最值。当然可以用基本不等式来求解。解法4：从根的角度考虑：这个还是比较直接想到： 解：当，则得；当，或，则设，为方程的两根。得 ，；所以由或，同样得。这中间的计算量尤其大，容易出错，一般不提倡这个方法。接下去让学生自己总结一下各方法的优劣及适应的题型，以便对症下药。变式3：改为：。引发学生认识求

6、其集合的补集，即先求，再取其补集。学会化归思想，把复杂难理解的转化为简单熟悉的问题。通过上面的变式，题目变得有血有肉，课堂上也生动起来。学生吸引力就转过来了。课后再做相应题目，得以巩固。当然还有很多其他的变式。还有待继续挖掘。总结反思：学完这堂课，大家有什么收获呢？可以从数学知识和数学思想方法两方面谈。 数学知识：一元二次方程根的分布问题，用最值解决恒成立问题。注意分离参数法。 思想方法：数形结合，转化与化归，分类讨论。课后作业：设集合 ，集合，（1）若，求实数 的取值范围；(2) 若，求实数 的取值范围；（3）若，求实数 的取值范围。（试用两种方法）此次设计也是为了巩固这节课，提高学生的运作

7、能力,提高课堂效率。教学设计及其反思：爱因斯坦说过：“单纯的专业知识灌输只能产生机器，而不能造就一个和谐发展的人才”，因此数学学习的核心是思考，离开思考就没有真正的数学。这堂复习课总体强度还是比较大的，知识的涵盖也比较广，涉及的数学思想方法比较多，所以需要层层递进。通过学生自主参与编题，兴趣比较浓厚，合作积极，收到了较好的效果。当然对学生解题的能力要求也比较高的，一些基础不是很扎实的学生可能接受得不是很好，更需要一些简单的题目来铺垫。教学生“学会思考”。学生要培养的是“能力”知识运用的能力，分析问题的能力，解决问题的能力。所以，我们要经常想一想，学生离开了老师该怎么办？老师讲得再好，可能还是老

8、师的，要想一想怎样才能成为学生的。所以就提出：问题是怎么讲？要讲什么？不仅要讲过程，更要讲原理。多让学生感到自然，没有强加于他，尽可能使学生真正理解。不仅要给“鱼”，更要给“渔”，重视思想方法的复习，从源头上解决问题。一题多解，发展学生思维的广阔性。新课程标准要求，学生应尝试从不同角度思考问题。这就是说，我们教师的教学设计的素材、思维不能单一，应提供给学生既能强化基础，适合学生个性，又能训练学生多方思维的素材。因此，精选素材成为教学设计的一个重要环节，也是教师备课的核心。选什么样的素材，从哪里选，都是教师关注的焦点。笔者在教学中，选择教材中基础性强，解题方法典型，又能一题多解的题目，引导学生从

9、不同角度思考问题，获取不同的解法，使看似平淡的问题获得较好的教学效果，从而激发学生学习、研究教材的兴趣。这既可引导学生重视教材，走出题海战术，又可发展学生思维的广阔性，培养学生的探索能力和创新意识。教材以及练习都是学生学习的素材，是学生思想的源头，也是高考的源泉，所以作为教师要好好利用起来，不要忽视了“原题”的教学功能。解题教学不光是“练”，更注意“变”。教师试图从一道题引出一个话题，通过开放一题，达到复习一片的目的。在设计本课时，首先是从一个集合运算求参数开始，引导学生发现问题，不断改变题中的条件，环环相扣，加强了逻辑性，提高了效率。同时培养了学生的发散思维能力，挖掘出学生的创新潜力，形成探究意识，从而提高应变能力。解题教学必须注意总结反思，画“龙”点“睛”。回顾经历了哪些过程做出了这道题，做到层次分明。一定做好题后反思，哪怕只有一两句话，必须注意在质量上下工夫，而不仅仅是数量。