完整版知识讲解 正余弦定理在解三角形中的应用 提高

1、正弦、余弦定理在三角形中的应用【学习目标】1进一步巩固正弦定理和余弦定理，并能综合运用两个定理解决三角形的有关问题；2学会用方程思想解决有关三角形的问题，提高综合运用知识的能力和解题的优化意识【要点梳理】要点一：正弦定理和余弦定理的概念a bsin A sinB正弦定理公式：2R （其中R表示三角形的外接圆半径）si nCcosAcosBcosCb22 c2 a2bc222acb2ac2.22abc2ab余弦定理公式:第形式：a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosC第二形式:要点二：三角形的面积公式1 1 1 S ABC 2 a ha-b hb -c hc

2、 ；ABCbcsin A2abs in C2acsin B ；2要点三：利用正、余弦定理解三角形已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论在 ABC中，已知a,b和A时，解的情况主要有以下几类:若A为锐角时:B一解a bsin Aa bsin Absin A a无解一解（直角）二解（一锐，一钝）一解（锐角）两解无解若A为直角或钝角时:a b无解 a b 一解（锐角）要点四：三角形的形状的判定特殊三角形的判定:（1）直角三角形勾股定理：a2 b2互余关系：A B90，

3、cosC 0， sinC 1 ；（2）等腰三角形a b， A B ；用余弦定理判定三角形的形状（最大角A的余弦值的符号）（1）在ABC 中,0090cos Ab2c2 a22bcb2c2 a2 ；(2 )在ABC 中,900cos Ab2c2 a22bcb2(3 )在ABC 中,900cos A2bcb2要点五：解三角形时的常用结论ABC在 ABC 中，A B C 1800, p- 900cos A cosB;(1 )在 ABC 中 A B a b si nA si nB(2)互补关系：sin(A+B)二sin(180 0 C) sinC ,cos(A+B)0cos(180C)cosC ,ta

4、n (A+B)tan (1800C)tan C;A(3)互余关系：sinBsin (9002A B0C、.Ccos 2cos(902)sin ,2+ A B tan tan (90C)c cot .【典型例题】类型一：利用正、余弦定理解三角形Ccos ，2例 1. ABC 中，c 、一 6,A=45，a=2，求 b 和 B, C.【思路点拨】本题已知边边角，用正弦定理比较简单，但要注意结合三角形中大边对大角定理以及有解、无解的图 形来考虑。【解析】解法一：正弦定理asin A得sin C2sin 45.6si nC所以 sin C= 3 .2a若 C=60，贝U B=75，bsin Bsi n

5、A a若 C=120，贝U B=15 , bsinBsi nAsin75sin452sin 45sin 153 1,3 1.解法二：余弦定理2 2 2a b c 2bccos Ab26 2.3b 4,解得 b=、G 1,-222 U 厉3 1,贝V cosB= a c=，所以 B=75 , C=602ac41,则 cosB= - = 6+ 2，所以 B=15 , C=1202ac4解法三：正余弦定理a2b。c2bccosAb262.3b4 解得b31a b c 6+ 2,/3右 b i31,则由 = ，得 sin B=,sin C= ,si nA sin B si nC42/ bca，所以 B

6、CA，所以 B=75 , C=60 ;若 b . 3 1,贝V 由 一= b = -，得 sin B= 62 ,sinC=,si nA sin B si nC42/ cab，所以 CAB，所以 B=15 , C=120 .【总结升华】解三角形时，对于求解三角形的题目,般都可有两种思路.但要注意方法的选择， 同时要注意对解解三角形时，要留意三角形内角和为180。、同一个三角形中大边对大角等性质的应用。举一反三:【变式1】在 ABC中，若a 2 ,c 6 、一 2，求角 A 和 sinC .b2【答案】根据余弦定理：cos A 2 2c a2bc8 8 4.3 4_322,2 （.62）/ 0o

7、A 180o,二 A 30o, sinCcsin AC-.6.2）【变式2】（2015天津高考）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知 ABC的面积为3 15 , bc 2,cos A丄，则a的值为4【答案】因为0 A ,所以si nA1 cos2 A.754 ，又 S ABC3 15, bc24，解方程组bc0242 得 b6,c 4，由余弦定理得a2b22 2c 2bccos A 6422 6 464，所以a8.例2. ABC的内角A , B, C所对应的边分别为 a, b, c.(I )若 a, b, c 成等差数列，证明：sinA + sinC = 2sin(A +

8、C);(n )若a, b, c成等比数列，求cosB的最小值.【思路点拨】(1)因为a, b, c成等差数列，所以a+c=2b,利用正弦定理用角表示边。(2)因为a, b, c 成等比数列，所以ac=b2,利用余弦定理用边表示角，然后利用基本不等式求解。【答案】(I)见解析；(n )12【解析】(I) Ta, b, c成等差数列，2b= a+ c,利用正弦定理化简得：2si nB = sinA + sinC,/ sinB = sin n (A + C) = sin(A + C),sinA + sinC = 2sinB = 2sin(A + C)；(n ) / a, b, c成等比数列， b2=

9、 ac,2 2 , 2 2 2a c b a c ac 2ac ac 1 cosB2ac2ac2ac 2当且仅当a = c时等号成立，1 cosB的最小值为2【总结升华】对于三角形中边角的最大值或最小值问题可以运用正弦定理或余弦定理建立所求变量与三角形的角 或边之间的函数关系，利用正、余弦函数的有界性、二次函数或基本不等式的知识解决问题。举一反三：【变式】在 ABC中，三内角满足的方程 (s in B si nA)x2 (si nA si nC)x (si nC si n B) 0 有两个相等的根。(1) 求证：角B不大于一3(2) 当角B取最大值时，判断 ABC的形状【答案】(1)由韦达定理

10、得 sinC sinB 1,即 2si nB si nA si nC , sin B sin A22,aC)、2a c ( 2 )2 23(a c ) 2ac6ac 2ac1ac8ac8ac2由正弦定理，有2b=a+c2 2 ,2由余弦定理得 cosB= a c2ac 0 B 3(2)当角B取最大值时，B ,且a=c，易知 ABC为正三角形 3类型二：正、余弦定理的综合应用例3.在厶ABC中，根据下面条件决定三角形形状2 2 2 2(a b )sin(A B) (a b )sin( A B).【思路点拨】题目中给的是角与边的混合关系式，可用正弦定理化简成单一的角的关系，然后判断【解析】2 2

11、2 2(a b )si n(A B) (a b )si n( A B),2 2二 2a sin BcosA 2 b sin AcosB ,由正弦定理得：sin Asin BcosA sin Bsin AcosB , ABC 中，si nA 0, s in B 0, sin AgcosA sin BgposB ,即 sin2A sin2B , 2A=2B 或 2A2B ,即：A=B 或 A B -2， ABC是等腰三角形或直角三角形 【总结升华】(1) 要判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？ 是否符合勾股定理？还要研究角与角的大小关系：是否两个角相等？

12、是否三个角相等？有无直角或钝角？(2) 解题的思想方法是：从条件出发，利用正、余弦定理等进行代换、转化、化简、运算，找出边 与边的关系或角与角的关系，从而作出正确判断。(3 )一般有两种转化方向：要么转化为边，要么转化为角。(4)判断三角形形状时，用边做、用角做均可。一般地，题目中给的是角，就用角做；题目中给的 是边，就用边做，边角之间的转换可用正弦定理或余弦定理。(5) sin sin或，不要丢解。举一反三：【变式】已知 ABC中acosA bcosB，试判断厶ABC的形状【答案】方法一：用余弦定理化角为边的关系a2c2b2”22 22ac由 acosA bcosB 得 a - c2bc整理

13、得 a2(b2 c2 a2) b2(a2 c2 b2), 即(a2 b2)(a2 b2 c2)0,2 2当a b 0时，ABC为等腰三角形;ABC为直角三角形;2 2 2 2 2 2 当 a2b2c20 即 a2b2c2时，则 综上： ABC为等腰三角形或直角三角形。方法二：用正弦定理化边为角的关系由正弦定理得：2Rsin A sin B即 a 2Rsin A, b 2RsinB:acosA bcosB ,二 2Rsin AcosA 2Rsin BcosB即 sin2A sin2B/ A、B (0,)二 2A 2B或 2A 2B ，即 A B或 AABC为等腰三角形或直角三角形。4.(2016

14、 平果县模拟)已知在锐角ABC 中，a,b,c为角A,B,C所对的边，且b 2c2 BcosA a 2acos 一2求角A的值;若a ,3,则求b c的取值范围.【答案】(1)(3【思路点拨】2) 3,2 3角 ABC根据条利用正弦定理可得sin B 2sin C cosAsin A(cosB)，化简可得cosA 12，由此可得的值。(2 )由正弦定理可得sin Bcsin C2，可得bsin Ac 2 sin Bsin C2 3sin(B 6)，0再由，求得B的范围，再利用正弦函数的定义域和值域求得c的取值范围。【解析】(1)在锐角2 BABC 中，根据 b 2c cosA a 2acosa

15、 2a2cosB2利用正弦定理可得sinB 2sinC cosA sinA( cosB),即 sin BcosA cosBsi nA 2si nCcosA，即 sin( A B) 2si nCcosA , 1即 sin C 2si nCcosA, cosA - A 23；3,则由正弦定理可得 sin Bcsi nCc 2(sin BsinC) 2 sin BB)由于=3sin B3cosBsin( B举一反三:【变式】(2016，求得c 3,2、3 .唐山一模)在如图所示的四边形BAC 600,AC 2,记 BAC(1)求用含的代数式表示 DC ;(2)求 BCD面积S的最小值【答案】(1 )

16、在 ADC 中，ADCDC由正弦定理可得DC -sin DACB DC而厂疋：(2)在 ABC 中,由(1)知:DCABCD360 90 AC sinADC由正弦定理得ACsin1200sin (1500S】BC2CDsin 1200中,150DC，即 sin 300BAD 900, BCDsin (1501200,4sin sin (150)32sin cos 23si n2.3 2si n(260)故75, S取得最小值为6 3,3。37.【高清课堂：正余弦定理在解三角形中的应用377477例1】(1)(2)求 cosC5u,且a b29,求cuuu 若CBuiu CA【解析】(1tanC3.7 sinC 3 7 cosC又T sin2C cos2C1,解得cosC18例5.在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，tanC、 1t tanC