线性系统理论（复习）

1、一、 线性系统的状态空间描述 二、 线性系统的运动分析 三、 线性系统的能控性和能观性 四、 系统运动的稳定性 五、 线性反馈系统的时间域综合,主要内容,一系统数学描述的两种基本类型,1、输入输出描述（外部描述）,(1) 用传递函数、微分方程等表征；(2)是系统的外部描述；(3)是对系统的不完全描述。,第2章 线性系统的状态空间描述,2、状态空间描述（内部描述）,(1)用状态空间表达式表征；(2)是系统的内部描述；(3)是对系统的完全描述。,二、线性定常连续系统状态空间表达式的建立,建立状态空间表达式的方法主要有两种： 根据系统机理建立状态空间表达式 由系统输入输出描述建立状态空间表达式,可控

2、标准型实现 可观测标准型实现 对角标准型实现,例：如下图所示电路， 为输入量， 为输出量。,建立方程：,初始条件：,1、根据系统机理建立状态空间表达式,2 、 由系统输入输出描述导出状态空间描述,可控标准型,可观标准型,对角标准型（特征值互异）,设线性定常连续系统的状态空间描述为：,在初始条件为零时，系统的传递函数矩阵表达式为：,三、传递函数矩阵的计算,最小多项式,的各个元多项式之间互质,定义（s）为系统矩阵A的最小多项式，最小多项式（s）也满足凯莱-哈密尔顿定理，即（A）=0,系统矩阵的循环性,如果系统矩阵A的特征多项式(s)和最小多项式（s）之间只存在常数类型的公因子k，即,则称系统矩阵A

3、是循环的。,例 线性定常系统状态空间表达式为,求系统的传递函数矩阵。,解,1、非奇异线性变换的不变特性,非奇异线性变换后系统特征值不变（极点）、传递函数矩阵不变、可控性不变、可观测性不变、稳定性不变。,四、 线性定常系统的坐标变换,线性定常系统,引入非奇异变换矩阵,或者,其中,2、线性系统等价状态空间描述,3、状态方程的对角规范形和约当规范形,定义：称具有相同输入和输出的两个同维线性时不变系统代数等价，当且仅当它们的系数矩阵之间满足状态空间描述坐标变换中给出的关系。,代数等价的系统的基本特征是具有相同的代数结构特性，如特征多项式、特征值、极点、稳定性、能控性、能观测性等。,五、 组合系统的状态

4、空间描述及传递函数矩阵,1、子系统的并联,例：求如下并联系统的状态空间描述,解：,例：求如下并联系统的状态空间描述,其中，S1：,S2：,解： S2：,组合系统：,2、子系统的串联,例：求如下串联系统的状态空间描述,其中，S1：,S2：,解：,3、子系统的反馈联接,或,例：求如下反馈系统的状态空间描述,S1：,S2：,解：,第3章 线性系统的运动分析,一线性定常系统的状态转移矩阵的定义,线性定常系统 的状态转移矩阵为：,当t0 = 0时，可将其表为,即对于线性定常系统来说，它的状态转移矩阵就是矩阵指数函数。,二线性定常系统的状态转移矩阵的性质和计算（）,1性质：,2 的计算方法（）,1）幂级数

5、求和法,2）拉氏反变换法（）,（最常用）,例 线性定常系统的齐次状态方程为,求其状态转移矩阵,解,于是,L,三线性定常系统状态方程解x(t)的计算（） (求线性定常系统的状态响应和输出响应),1积分法：,2拉氏变换法：,例 线性定常系统的状态方程为,解,例 线性定常系统的状态方程为,解,前面已经求得,第4章 线性系统的能控性与能观测性,一、线性定常连续系统的可控性判据（）,1秩判据,2PBH秩判据,3约当规范型判据,已知约当规范型系统如下：,试判断其可控性。,解： ， ，均行线性无关， 所以：系统完全可控。,二、线性定常连续系统的可观测性判据（）,1秩判据,2PBH秩判据,3约当规范型判据,约

6、当标准型系统如下：,试判断其可观测性。,解：,所以：系统完全可观测。,是列线性无关的；,是列线性无关的；,三、能控性指数和能观性指数,1、能控性指数 对线性定常系统，定义nkp矩阵：,能控性指数：矩阵 的秩随着k单调增加，直 至k=。在k时， 的全部p个列将线性 相关于它的左边各列，此时 的秩不再增加，即,称为系统的能控性指数。,定理：能控性指数满足,其中， 为矩阵A的最小多项式次数， ，n为系统的阶次。,例 已知能控的线性定常系统,搜索3个线性无关列,解,2、能观测性指数,对线性定常系统，定义kq n 矩阵：,能观性指数：矩阵 的秩随着k单调增加，直 至k=。在k时， 的秩不再增加，即,称为

7、线性定常系统的能观测性指数。,定理：能观测性指数满足,其中， 为矩阵A的最小多项式次数， ，n为系统的阶次。,1、对偶系统,考虑线性时变系统,线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：,式中：-n维行向量，协态；-输出，p维行向量； -输入，q维行向量。,四、对偶性,2、对偶原理,对偶系统的状态转移矩阵之间满足如下关系：,线性时变系统的完全能控等同于其对偶系 统的完全能观测，线性时变系统的完全能观测 等同于其对偶系统的完全能控。,1能控规范形 对单输入-单输出线性定常系统，如果其状态空间描述具有如下形式,则称此状态空间描述为可控规范形。,五 能控能观规范形,变换矩阵 P的确定,或,结论：对于完全

8、能控的单输入单输出系统,设系统的特征多项式为,若系统能控，通过线性变换可以将其变成如下形式的能控标准形。,例 已知能控的线性定常系统,判断系统能控性,解,系统能控,A 的特征多项式,计算,变换矩阵 P,能控标准形,2、能观测规范形,对单输入-单输出线性定常系统，如果其状 态空间描述具有如下形式,则称此状态空间描述为能观测规范形。,结论：若系统能观测，通过线性变换可以将其变成如下形式的能观标准形。,单输入单输出线性定常系统,设A的特征多项式,系统能观测,或,例 已知能观的线性定常系统,判断能观测性,解,系统能观测,A 的特征多项式,计算,变换矩阵 Q,结论：对不完全能控的系统，引入线性非奇异变换

9、 ，即可导出系统按能控性结构分解的规范表达式,1、线性定常系统按能控性的结构分解,六 连续时间线性时不变系统的结构分解,1）从可控性判别阵 中任意的选取k个线性无关的列向量，记为 。 2）在n维实数空间中任意选取尽可能简单的(n-k)个列向量记为 ，使它们和 线性无关。 这样就可以构成nn非奇异变换矩阵,nn非奇异变换矩阵P-1的构造方法：,例 系统方程如下，要求按可控性进行结构分解。,解,从 中任选两个线性无关的列向量，例如 和 再补充一个与之线性无关的列向量 构成非奇异变换阵 。,线性变换后,系统可观测性判别矩阵的秩为 ,则可从可观性矩阵中选出 个线性无关的行向量 ,另外再任意选取尽可能简

10、单的 个行向量 ,构成非奇异变换矩阵 。,2、线性定常按能观测性的系统结构分解,不能观测线性定常系统,结论：若系统不能观测，且状态 有 个状态分量能观测，则存在线性变换 ，使其变换成下面形式,例 系统方程如下，要求按能观性进行结构分解。,解,从 中任选两个行向量，例如 ，再补充一个与之线性无关的行向量。,线性变换后,七 最小实现,1定义：对于传递函数矩阵G(s)的一个维数最低的实现，称为G(s)的最小实现或不可约简实现。,2定理：设(A,B,C)为传递函数矩阵的一个n维实现，则其为最小实现的充要条件是A,B可控且A,C可观测。,3 定理：SISO系统实现(A,b,c)为最小实现，即为可控且可观

11、测的充要条件是， 与 互质。,第五章 系统运动的稳定性,一、线性定常系统内部稳定性和外部稳定性,结论：对连续时间线性时不变系统，内部稳定BIBO稳定， 反之不成立。 若系统能控且能观测，则内部稳定BIBO稳定。,的所有极点都是A的特征值，但A的特征值并不一定都是 的极点。可能存在零极点对消。所以， 处的渐近稳定就包含了BIBO稳定，而BIBO稳定却可能不是 处的渐近稳定。,对于线性定常系统,平衡状态 的渐近稳定性由A 的特征值决定。而BIBO的稳定性是由传递函数的极点决定的。,X=0为系统平衡状态，若可构造对x具有连续一阶偏倒数的标量函数V(x)，V(0)=0，且对状态空间中所有非零状态X满足

12、如下条件：,）V(x)为正定 ) 为负定 )当x，有V(x) 则系统原点的平衡状态x=0为大范围一致渐近稳定。,1、李亚普诺夫主稳定性定理二,对连续时间非线性时不变自治系统,二、李亚普诺夫第二法的主要稳定性定理,X=0为系统平衡状态，若可构造对x具有连续一阶偏倒数的标量函数V(x)，V(0)=0，且对状态空间中所有非零状态X满足如下条件：,）V(x)为正定； ) 为负半定； )对任意非零 ； )当x，有V(x) 则系统原点的平衡状态x=0为大范围一致渐近稳定。,3、李亚普诺夫主稳定性定理三,对连续时间非线性时不变自治系统,三、李亚普诺夫意义下稳定的判别定理,若可构造对x和t具有连续一阶偏导数的

13、一个标量函数V(x,t),V(0,t)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸引区，使对所有非零状态x和所有tt0,)满足如下条件：,（1）V(x,t)为正定且有界；,为负半定且有界；,则系统原点平衡状态x=0在域内为李亚普诺夫意义下一致稳定。,对连续时间非线性时不变自治系统,（2）,特征值判据二 对连续时间线性时不变系统，原点平衡状态x=0是渐近稳定的充分必要条件为，矩阵A的特征值均具有负实部 。,三、连续线性定常系统的特征值稳定判据,特征值判据一 对连续时间线性时不变系统，原点平衡状态即x=0是李亚普诺夫意义下稳定的充分必要条件为，矩阵A的特征值均具有非正实部即实部为零或负，且零实部特征值只能为

14、A的最小多项式的单根。,例：已知系统的状态空间描述如下，判断其内部稳定性。,系统的特征值为2，1，不是内部稳定（非渐进稳定）。,解：,例：系统状态空间描述如下，判断是否渐进稳定，是否BIBO稳定？,系统的特征值为-4，1，系统非渐进稳定（不是内部稳定）。,解：1、,2、系统的传递函数为：,系统既约传递函数有负实根，系统BIBO稳定。,例 系统的状态方程为,其中， k 为大于零的实数。分析系统平衡状态的稳定性。,解：,零实部特征值为A的最小多项式的单根，系统平衡状态是李亚普诺夫意义下稳定。,李亚普诺夫判据 对n维连续时间线性时不变系统，原点平衡状态xe=0是渐近稳定的充分必要条件为，对任给一个n

15、n正定对称矩阵Q ，李亚普诺夫方程ATP+PA=-Q有唯一nn正定对称解阵P。,（1）矩阵Q 的选取。保证正定前提下可以任意选取，为简化计算通常取为单位阵。 （2）李亚普诺夫判据的实质。给出了使矩阵A所有特征值均具有负实部的充分必要条件。,四、线性时不变系统的李亚普诺夫稳定判据,例 线性定常系统的状态方程为,判别系统的稳定性。,解 系统的平衡状态为,为简单起见，可以令Q 阵为单位矩阵I。,解得,有,可见， P 为正定的矩阵，故 为大范围一致渐近稳定的。,1. 状态反馈：,第6章线性反馈系统的时间域综合,一 . 两种常用反馈结构,2. 输出反馈：,1）求系统的传递函数；分析可控性和可观测性； 2

16、）引入状态反馈 后系统的可控性和 可观测性是否改变，说明理由。,例：系统的动态方程,解：,3. 反馈结构对系统性能的影响,1）系统为可控标准型，其传递函数为,分子分母互质系统即可控又可观,2）引入状态反馈 则状态反馈系统为,分子分母存在零极点对消，系统可控不可观。,二、 系统的极点配置(),1利用状态反馈的极点可配置条件,定理：利用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统可控。,2. 单输入单输出系统的极点配置算法(),通用的计算方法() 完全可控系统极点配置的规范算法,例 系统的动态方程如下，求状态反馈阵K使极点为-1，-2.,解：,系统状态可控。,引入状态反馈，取 则状态反馈系统为

17、,计算期望特征多项式,状态反馈系统特征多项式为,求得,所谓状态镇定问题就是：对给定时间线性时不变受控系统，找到一个状态反馈型控制律,使所导出的状态反馈型闭环系统,为渐近稳定，即系统闭环特征值均具有负实部。,结论1：连续时间线性时不变系统可由状态反馈镇定，当且仅当系统不能控部分为为渐近稳定。,结论2：连续时间线性时不变系统可由状态反馈镇定的一个充分条件是系统完全能控。,三、 状态反馈镇定,1、问题的提法,2、可镇定条件,三、状态反馈镇定算法 Step1 判断(A.B)能控性，若完全能控，去Step5。 Step2 对(A.B)按能控性分解 Step3 对能控部分进行极点配置 Step4 计算镇定

18、状态反馈矩阵 ，去Step6。 Step5 对(A.B)计算镇定状态反馈矩阵 ，去Step6。 Step6 计算停止。,例：求系统,的原点平衡状态为渐近稳定时参数a的取值范围。,劳斯表,解：,解：不完全能控，不能控的状态对应的特征值为-1。 系统能够镇定。 不能将极点配置到 第二个状态变量不能控，对应的极点不能任意配置。,例：考虑系统,能否通过状态反馈镇定？能否将极点配置到 ？ 请说明理由。,四、全维状态观测器,定理：若被控系统(A,B,C)可观测，则必可采用 所示的全维状态观测器来重构其状态，并且必可通过选择增益阵L而任意配置(A-LC)的全部特征值。,例:设系统动态方程为,试设计一个状态观测器使其极点为-10，-10。,解：,希望的特征多项式,判断系统的能观测性,系统能观测,观测器方程,设,希望的特征多项式,解得,原系统及其状态观测器结构图如下：,分离原理：若被控系统可控可观测，用状态观测器的状态估计值实现状态反馈控制系统时，其系统的极点配置和观