完整版三角不等式

1、第23讲 三角不等式竞赛热点含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式。在高中数学竞赛内容中，涉及三角不等式的问题有三类:一是三角不等式的证明，二是解三角不等式，三是应用三角不等式求最值。处理三角不等式的问题一方面要有扎实的三角变形能力,另一方面还需要有三角函数的图象和性质的认识。同时，对不等式的有关性质和证明方法要能灵活运用。解题示范例1 :已知n n ， n2，求证:1 cos_cos_21 2 cos_n 3思路分析：本题从三角变形入手不易，不可考虑利用sinxx放缩，转化为代数不等式。证明：因为01.所以0 sinsin21IT(k1)(k 1)T2所以1(cos-cos-31cos_

2、)nn(n1 n 1-?)n(1?2?33n 12n即 1 cos-cos-3兄?3?5口）1 cos- n点评：此题应用三角函数中重要的不等式:（o ），则sin x x tanx.此结论的应用，将三角不等式转化为代数不等式，叠乘即证得。 x （0,2）例2：当1,2,30,n时，求证:sin 1 sin 2 sin 33sin 123思路分析；利用和差化积公式和变为乘积的形式，再放缩证明。证明：因为sin 1 sin 2sin 3 sin丄于2sin 2icos222sin 2_cos 22sin 七二1 24 sin 一3所以sin 1 sin 2 sin3si n引申：此证明中利用co

3、s1进行放缩，从证明过程中可以看出，等号当且仅当3时成立。2 sin 2631223cos 4sin1233因为sin x在(Q 内上凸，所以我们很容易推广此不等式为sini 1nsin (1i), in i i0, ,i1,2,3,n.特殊地，在ABC 中有 sin asin Bsin C33成立。2 -例3:已知x,y,z R0，证明：x y z 2sinxcosy 2sinycoszsin 2x sin 2y sin 2z.思路分析：原不等式等价为sin xsin y sin y cosz4sinxcosx sin ycosy sin zcosz，再何意义构造证明。证明：因为原不等式等价

4、为sin xcosy sin ycosz sin xcosx sin ycosy sinzcosz 4考虑利用几即sin x(cosx cosy) sin y(cosy cosz) sin zcosz. 4如图OM1cosx,OM2 cosy, OM3cos乙M1A sinx,M 2B sinx2 ,M3C sin z，sin x(cos x cosy) M 1A ?M 2M ， sin y(cos y cosz) M2 B? M 3M 2， sinz cosz OM 3 M 3C，、分别表示图中阴影矩形的面积，而表示单位圆在第一象限的面积。4所以4sin x(cosx cos y) sin

5、y(cos y cos z)sin zcosz成立。即2si n xcosy2sin ycoszsin2x sin2ysin 2z.例4:已知点评：此题巧妙地利用三角线几何意义，构造矩形的面积证明，有较强的技巧性。(，求证：(tan tan )2 (tan2tan )(2tantan ).思路分析：所证不等式中涉及三个变量，结合结构特征，考虑一元二次方程构造证明。证明：当tan2 tan 0时，原不等式显然成立。当 tan 2 tan 0 时，构造元二次方程(tan 2tan )x2 2(tantan )x (2 tan tan ) 0.因为(tan2tan ) 2(tantan ) (2 t

6、an tan )0，所以所作方程必有一根x 1，从而 4(tan tan )2 4(tan 2 tan ) (2 tantan )0.即(tan tan )2 (tan 2tan )(2 tantan ).点评：三角不等式的证明常通过代数方法去解决。例5:在ABC中，求壬a bS严n尹右1B C3tan2tan2 1CA的整数部分。3ta n tan 一 122思路分析：利用三角形内角和的特点考虑。证明：在 ABC 中，cot：tan聾+ B + Cta n_ tan_22BCI tan tan 22所以 tan 二 tanB2 2B tan_2tanC2tanC2Atan 1.2由幂平均不等

7、式，则ia bS H，3(3tan2tan21)B C(3tan_tan_2 21) (3tanCtanA2 21)5.又当0 x 1时，x2x.所以BC3ta n _ ta n 、 2 2B - tan tan 2I6 A 3tan _tan_ 1 2 2tanCtanA2 2Atan tan 1.2 2故 S 3 tan BtanC2 2tanCtanA2tandanE24.即S的整数部分为4。点评：证明过程中利用了幂平均不等式和1时，x2x 3x 1x2 2x73 x 1 x 1，既考虑了三角特点，又结合了代数不等式知识。例6：求实数a的取值范围，使不等式sin 2(2.2_2a)s i

8、n( _)3 2a，在0 _恒成立。 2cos( _)思路分析：对题中sin(cos(7)(cos sin2)与 sin2关系换元解决。解：设sincos可得x1, - 2, sin2x2 1.原不等式可化为x21(2a)x即(x2)(x-a)x0.因为x1,2，所以 x0.记f(x)2，易知f (x)在1，.2 上单调递减。所以f(X)maxf(1)1-3.1x点评：换元之后，将三角不等化为代数不等式解决，既转化了形式，又简化了不等式。3例7 :已知a,b, A, B R，若对于一切实数 x ,都有 f (x) 1 acosx bsin xAcos2x Bsin 2xa2 b22, A2B2

9、1.思路分析：分析题中结构，考虑引入辅助角方法证明。证明：若a2b20, A2B20，则结论显然成立。若a2b20,A2 B2 0,sina,cosa2 b2b2令 sinA,cosA2B2A2B2于是f (x)1 a2b2 sin(xA2 B2sin(2xf (x1a2 b2 cos(xA2B2 sin(2x)0.由+得2a2 b2sin( x)c;os(x)0，即 2. 2(a2 b2) sin(x7)0.R都成立。所以a2b2 sin(x)42对一切x取xX ，424即有- a2又f(x由+得b2.2 a2 b22.)0.)1，7a2b2 sin(x)A2B2 sin(2x2 2 A2

10、B2 sin(2x )0.即A2B2 sin(2x )1.A2B21.取2xx时，” A2B21,即24 2点评：此题在恒成立的不等式中，通过赋值得、是关键的技巧。例 8 :已知 i (0-),tan 丄 tan 2 tan对任意一组满足上述条件的1 , 2,cos 1 coscos n，求 的最小值。思路分析:先退到特殊形式考虑，再进一步处理一般形式。解：当n1时，cos3minn 2时，-2(a2 b2)得可证coscos2(cos 12 cos 22)时等号成立tantan 2、2, cos 1 cos 2*31带入所以min当n 3时，得证cos 1 cos 2cosn n 2.事实上，不妨i 23n，则 COS iCOS 2cos只需证 cos 1 cos 2 cos 32.因为tan tan 2 tan32.2，所以tan2 28cos 2cos 3cos 1又costan 2 ? tan 3sin 2 sin 3sin 2 sin 3cos 3所以cos(1)所以1 曲 18cos21 sin2 222 cos 3sin222 sin22 sin1 sin2 cos 3若 8 cos2cos 1若 8 cos即 9cos2即 ta n2 2所以tan2所以 cos另外,cos故min2 cos2cos 22 c