正弦定理证明

1、正弦定理的证明解读克拉玛依市高级中学曾艳一、正弦定理的几种证明方法1.利用三角形的高证明正弦定理(1)当厶ABC是锐角三角形时，设边 AB上的高是CDCD二asin B , CD 二bsinA。根据锐角三角函数的定义，有由此，得眾二為同理可得聶二岛故有-si nA si nBsi nC.从而这个结论在锐角三角形中成立.(2)当厶ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D,根据锐角三角函数的定义，有CD二as in . CBDas in . ABC CD =bs inA 。由此，得 sin A sin /ABC同理可得c _ b sin C sin /ABC故有a _ bc

2、sin A sin _ABC sin C由可知，在ABC中，歆二岛二為成立.从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即acsin A 一 sin B - sin C1用知识的最近生长点来证明：实际应用问题中，我们常遇到问题：已知点A,点B之间的距丨AB|，可测量角A与角B, 需要定位点C,即:在如图 ABC中，已知角A,角B,| AB|= c， 求边AC的长b解：过C作CDAB交AB于 D,贝U推论:b csin B sinC同理可证:a _ b _ csin A sin B sinC2利用三角形面积证明正弦定理已知 ABC,设 BC = a, CA = b,AB = c,作

3、 AD 丄 BC,垂足为 D 贝U Rt ADB中,sin b 二 $ AD=AB sinB=csinBf AB11 Saabc = a AD acsinB| 同理，可证22111 Saabc= absinC bcsin A acsinB|222在等式两端同除以ABC,可得SinC SinA1 iSa abc= absi nCbcsi nA|2 2absinc=bcsiiL=acsinBl連|即cabsin A sinB sinC3向量法证明正弦定理( ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于AC ,则j与AB的夹角为90-A,j与CB的夹角为90-C|由向量的加法原则可得AC C AB*

4、为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量 j的数量积运算,得到j(AC CB) = j *AB由分配律可得AAC j *C j * AB IACCos90 |j |CBCos(90 -C)=|j | AB Cos(90)ac asi nC=csin A sinC另外,过点C作与CB垂直的单位向量j，则j与AC的夹角为90C,j与AB的夹角为90B,可得孟二爲I(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提，防止误解为j与AC的夹角为90O-C,j与AB的夹角为90-B)ab sin A sin B sin C ABC为钝角三角形，不妨设A90,过点A作与AC垂直的

5、单位向量j,则j与AB的夹角为A-90 与CB的夹角为90-C|由 AC CB 二 AB,得j -AC +j CB=j -AB* 即 a Cos(90-C)=c Cos(A-9D：L /. asinC=&nAAasin A sinCc另外,过点C作与CB垂直的单位向量j，则j与AC的夹角为90c,j与AB夹角为B.同理，可得丄二亠.亠二丄二亠sinB sinCsimA sinB si nC4外接圆证明正弦定理a同理,可得=2Rb2R|二sin A sinBsin A sinB这就是说，对于任意的三角形，我们得到等式a _ b _ c5种，对于第一种证明方法也可以用向C在厶ABC中，已知BC=a

6、,AC=b,AB=c，作 ABC的外接圆,0为圆心,连结BO 并延长交圆于B；设BB=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可 以得到/ BAB=90, / C =Z B,. sinC=sinB=sinC=sinB = |2Ra b 亠=2R| si nC- Isin A sinB sinC二、剖析四种证明方法的本质联系 虽然正弦定理的有四种证明方法（也可以看成量的形式来表示，可以看成向量CA、向量CB在向量CD方向上的投影相等），虽然每种证 明方法都用不同的数学知识从不同的角度去证明了正弦定理，但是仔细观察会发现有一条 纽带一直联系在正弦定理的各种证明方法之间，可以说每一

7、种证明方法离开这条纽带都是 没办法成立的，这条纽带就是：直角三角形思想。正弦定理的四种证明方法（在正弦定理 的第一种证明方法中，用到的就是最基本的通过三角形作高把斜三角形转化为直角三角 形。第二面积法，三角形的面积等于低乘高，也是把一般的三角形问题转化为垂直关系来 研究。第三种向量法用到的也是向量的垂直关系。第四种外接圆法也借助了直径所对的圆 周角等于900这个特殊的直角三角形）都是利用了直角三角形；余弦定理的平面几何证明 方法，也是利用三角形做高转化成直角三角形来证明；在没学正余弦定理之前，学生直接 利用初中的知识来解斜三角形，也是转化成直角三角形来解。从这其中我们可以发现直角 三角形它那不

8、可替代的特殊作用。所以，我觉得正弦定理的四种证明方法的本质联系就是: 直角三角形。其实，研究正余弦定理就是为了解斜三角形，在没有正余弦定理之前，我们只能够解 直角三角形。而正弦定理的发现也是借助于直角三角形，通过直角三角形边角的关系发现 了正弦定理。而我们要证明正弦定理必须得借助已经学过的知识，而在没有学习正余弦定 理之前，我们仅能解得就是直角三角形，所以正弦定理的各种证明方法都是通过建立构造 和解直角三角形的基础之上，所以正弦定理的各种证明方法都会或多或少的借助“垂直” 的关系。三、我对正弦定理证明的一点想法1、对于正弦定理的四种证明方法，我认为作高法和面积法是学生比较容易接受的方 法，因为

9、正弦定理的发现也好，或是初中同学们对三角形的认识也好，对于一般三角形问 题通过作高转化成直角三角形问题是大家都很熟悉的，所以接受起来特别的容易，所以用 作高来证明正弦定理是最容易被学生接受和掌握的方法。而有了作高证明正弦定理的方法 以后，要用面积法学生接受起来也就不会存在很大的困难，因为所有的学生都知道，三角 形的面积等于低乘高，所以作出三角形的高以后，通过老师的恰当引导，学生很容易就能 联想到三角形的面积等于低乘高，从而也就较容易接受和掌握面积法证明正弦定理。而对 于向量法证明几何问题学生相对比较生疏，所以不容易马上联想到，那么接受起来也就没有前面的方法那么容易。所以，我觉得向量法是四种方法

10、中学生比较不容易联想到的一种 方法。2、对于正弦定理的四种证明方法，没有必要让学生全部掌握，我们可以根据自己的 教学特点和学生的实际需要选择合适的方法即可， 但是，不管我们要选择那一种证明方法, 都必须设置相应适合的教学活动，让学生能够更能理解定理的证明，并且能够培养学生一 些分析问题解决问题的能力。下面针对几种证明方法谈谈我自己的教学活动上的一些想 法。为了让学生能够理解为什么要通过做高来证明正弦定理，我们可以在讲定理之前设计一个 斜三角形问题，然后引导学生利用做高转化为直角三角形问题来解。例求边b和三角形推联想到斜如：已知 ABC中，c“0km，A =45，B=105， 边a的长。学生通过

11、对这个三角形的求解过程会发现斜三角形 问题可以转化为直角三角形来求解。那么通过直角 导出正弦定理需要证明在锐角三角形和直角三角形中是否成立的时候，学生就会很自然的 三角形可以通过做高转化成直角三角形问题，从而，做高法证明正弦定理就很容的被学生 接受和掌握。而有了做高法做铺垫，可以引导学生联想到三角形的面积等于低乘高，从而 引出面积法证明正弦定理，并能得到三角形 ABC勺面积111S absinCbcsin Aacsin B。222如果要用外接圆法来证明正弦定理，我觉得从特殊的直角三角形入手是一个比较不错的方法：正弦定理 b等于一个常数，那么这个常数是什么呢？它和三角sin A sinB sin

12、C形ABC有什么关系？引导学生发现在直角三角形（C=900 ）中有一ab =c，这sin A sin B sin C 个常数刚好是直角三角形的斜边，从而可以引导学生发现直角三角形的斜边就是其外接圆 的直径，从而引出外接圆法证明余弦定理，并得到 b C 2Rsin A sin B sin C对于要用向量的方法来证明正弦定理，我觉得设置这样的几个问题可能效果也不错。 问题1:在我们学过的知识当中，还有那些知识是和长度、角度之间有密切联系的？（学 生马上会想到向量的数量积）问题 2:在三角形ABC中，如果把三条边用向量来表示，他 们之间会有什么样的关系？（学生会联想到向量加法的三角形法则）问题 3:如何用向量 的方法来证明正弦定理呢？（学生可能不会马上想到，那么可以再设置一个问题）问题 4: 从前面学过的证明方法会给你什么启示吗？（我觉得做高法这个比较容易接受的方法基本 上老师都会讲，所以学生在做高法的引导下对于做垂直向量就比较容易接受了），有了这 四个问题做铺垫，那么对于利用向量方法来证明正弦定理，学生接受起来应该不会难。从教学实际上来看，学生求解更容易让学生接受，而且我们可以从知识的最近生长点 （三角变换与解直角三角形）来引入解斜三角形，可能证明1并不是最简单的证明，但它扎根于学生