材料力学-第五章梁弯曲时的位移

1、第五章 梁弯曲时的位移,(Displacements of Bending Beam),一.概 述,第五章 梁弯曲时的位移,三.挠曲线近似微分方程,四.叠加法计算梁的位移,五.梁的刚度计算,二.梁的位移挠度及转角,能量法I-静定结构变形计算,一.概 述,1.工程实践中的弯曲变形问题 在工程中，对某些受弯构件，要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证正常工作。,在另外一些情况下，却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。,变形过大的不利影响（工程实例）,摇臂钻床的摇臂等变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。,摇臂钻床,(自重、钻头等约束力影响）,桥式起重机的横梁变形

2、过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。,传动轴的支座处转角过大，轴承发生磨损。,车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。,变形的有利方面（工程实例）,求解超静定问题。,二.梁的位移挠度及转角,挠度w：横截面形心处的铅垂位移。,转角 ：横截面绕中性轴转过的角度。,梁对称弯曲时用什么参数表示轴线的变形?,?,x,y,挠度w：横截面形心处的铅垂位移。,转角 ：横截面绕中性轴转过的角度。,挠曲线,挠曲线(deflection curve):变形后的轴线。,工程实例,控制截面的挠度、控制桥墩的水平位移,工程中测量挠度的方法、仪器,精密水准仪、全站仪、GPS、机电百分表、光电

3、方法等,三.挠曲线近似微分方程,1.挠曲线方程(deflection equation),挠曲线方程：,转角方程：,曲线 w = f (x) 的曲率为,梁纯弯曲时曲率由几何关系得,问题的关键：考虑上式中的取正还是取负？,考虑小变形条件：,问题的关键：考虑上式中的取正还是取负？,思考:与小挠度微分方程 相对应的坐标系为？ （ ）,x,x,x,y,y,y,(a),(b),(c),教材中采用（a)图坐标系,2. 积分法求弯曲变形,式中积分常数C、D由边界条件确定,弯矩方程不分段时,弯矩方程分n段时，积分常数个数为,2n,由边界条件确定的方程需要2n个,方法的局限性：外力复杂或多跨静定梁时计算量过大,

4、光滑连续条件：,F,C,边界条件,约束条件:两端铰处挠度为零。,铰支座对位移的限制(A、B处挠度为零）,连续光滑曲线(A、B处转角、挠度唯一）,边界条件,固定端约束对位移的影响：B处转角、挠度?,连续光滑曲线,边界条件,例1.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和wmax。,解：,由边界条件：,得：,最大转角和最大挠度：,A,B,（）,（ ）,转角为正时，表示其转向和由x轴转向y轴的时针相同；挠度为正时，表示其方向和y轴正向相同。,例2.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和wmax。

5、,解：,由边界条件：,得：,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,B,另解：,边界条件：,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,例3已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集中力F作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和 wmax。,解：,由边界条件：,得：,由对称条件：,得：,思考：,?,AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,例4.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定max和wmax。(请同学课后思考）,四.用叠加法计算梁的变形,在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所

6、引起的变形成线性关系。,若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各载荷单独作用下的变形，然后叠加。,当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。,如图示，要计算三种载荷作用下在某截面如C截面挠度，则可直接查表：各载荷单独作用下的挠度，然后叠加（代数和）。,如果不能直接查表，则要采用分段刚化等方法化成可查表形式。,例5.用叠加法求,解：,将梁上的各载荷分别引起的位移叠加P361,逐段刚化法：,变形后：ABAB BC BC,C点的位移为：wc,例6.若图示梁B端的转角B=0，求力偶矩m和P的关系？,解：,例7.求外伸梁C处的位移。,L,a,C,A,B,P

7、,解：,BC引起的位移,刚化AB,刚化BC， AB部分引起的位移,C,A,B,P,B2,B2,例8. 求图示变截面梁B、C截面的挠度 。,解：,思考:梁横截面为边长为a的正方形，弹性模量为E1；拉杆横截面为直径为d的圆，弹性模量为E2。求:拉杆的伸长及AB梁中点的挠度。,四、图形互乘法,二、卡氏第二定理,三、单位力法,能量法I-静定结构变形计算,一、杆件的应变能,在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简称应变能 (又称变形能)。,一、杆件的应变能,物体在外力作用下发生变形，物体的变形能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即, 杆件应变能计算,

8、1、轴向拉伸和压缩,一般地,2、扭转,一般地,3、弯曲,一般地,纯弯曲：,横力弯曲时剪力影响：,一般地,对横力弯曲的梁，截面上弯矩和剪力，当高跨比较大（长梁）时，剪切变形能影响较小，可忽略不计，对短梁应考虑剪切变形的影响。,长梁应变能：,组合变形应变能：,对于线弹性体，其应变能对某一荷载 的偏导数，等于该荷载的相应位移i。,用卡氏第二定理求结构某处的位移时，该处需要有与所求位移相应的荷载。 如需计算某处的位移，而该处并无与位移对应的荷载，则可采取附加力法。,二、卡氏第二定理,卡氏第二定理应用于计算梁的截面转角和挠度,计算梁截面转角,计算梁的截面挠度,例1弯曲刚度为EI的悬臂梁受三角形分布荷载作

9、用，不计剪力对变形影响。用卡氏第二定理计算悬臂梁自由端A处转角。,解：,A处无与转角对应的力偶，可附加力偶。,任意截面弯矩为,( ),请课后完成A处挠度的计算,例2图示平面折杆AB与BC垂直，在自由端C受集中力P作用。已知各段弯曲刚度均为EI,拉伸刚度为EA 。试用卡氏第二定理求截面C的水平位移和铅垂位移。,解：1.计算C处铅垂位移,任意截面弯矩方程,轴力方程为,2.计算C处水平位移,请同学课后完成水平位移的计算,三、单位力法,（单位载荷法）,对于梁,弯矩应用完全叠加法表示,应用卡氏第二定理,应变能,对于梁,有莫尔积分,对应于去掉原结构中外力,只在i处加相应单位力后的弯矩方程,对应于原结构的弯

10、矩方程。,计算梁截面转角时,加单位力偶矩1,计算梁截面挠度时,加单位集中力1,对于组合变形时,推广为,对于平面桁架,对应于去掉原结构中外力,只在i处加相应单位力后的弯矩方程,例3.已知悬臂梁长为l,弯曲刚度为EI , 受力大小为F ,计算自由端B处挠度和转角。,解：1.计算B处挠度,2.计算B处转角,( ),四、图形互乘法,在应用莫尔积分求梁位移时，需计算下列形式的积分：,对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外，故只需计算积分,直杆 图必定是直线或折线。,图中对应于C下纵坐标,在平面刚架,组合结构时，用下列形式计算,注意: 分段必须为直线段,在取面积的图中找形心,另图找对应的纵坐标,M

11、分段为直线段时,也可以,找纵坐标的图必须为直线段,顶点,顶点,二次抛物线,参考用图,例4.已知悬臂梁长为l,弯曲刚度为EI , 受分布力集度为q ,计算自由端B处转角。,解：1.画M图,2.画 图,(请同学画出),(请同学画出),3. 图乘,许可挠跨比和许可转角，它们决定于构件正常工作时的要求。,五、梁的刚度计算,刚度条件：,例9.图示工字钢梁， l =8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3， w = l500，E=200GPa，=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷 P，并校核强度。,解：由刚度条件, 提高弯曲刚度的措施,影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况

12、有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。,增大梁的抗弯刚度EI； 减小跨度或增加支承； 改变加载方式和支座位置。,选择题练习,1、钢筋緾绕一大圆滚筒上，关于钢筋的最大正应力( )。, 、与圆滚筒的半径无关, 、与圆滚筒的半径成正比, 、与圆滚筒的半径近似成反比, 、与圆滚筒的半径严格成反比,2、等刚度梁发生平面平面弯曲时，挠曲线的最大曲率在( )处。, 、转角最大, 、挠度最大, 、剪力最大, 、弯矩最大,3、与小挠度微分方程 相对应的坐标系为 （ ） ？,x,y,(a),、(a)和(c), 、(a)和(b), 、(a)和(d),

13、、 (c)和(d),4、多跨静定梁的用二次积分法求变形时，正确的为( )。, 、弯矩方程和挠曲线方程可只分二段, 、C处连续条件为：挠度和转角连续。, 、A处边界条件为、：挠度为零，转角不为零, 、弯矩方程和挠曲线方程必须分三段,5、等截面梁纯弯曲时，关于挠曲线 ( )。, 、按二次积分法为圆弧, 、实际为圆弧, 、按积分法为抛物线，可见圆弧假设是近似, 、以上均不对,6. 不计自重的圆截面梁，外力作用于自由端， 如只有梁的长度增加一倍，外力作用于自由端，则自由端的挠度为原来的（ ）。, 、2倍, 、4倍, 、8倍, 、16倍,7. 不计自重的圆截面梁，外力作用于自由端， 如只使外力增加一倍，

14、其他不变，则自由端的挠度为原来的（ ）。, 、2倍, 、4倍, 、8倍, 、16倍,8.弯曲刚度为EI梁，正确说法为（ ）。,、A、B、C处转角相等,、B、C处转角不相等,、B处挠度为C处的二倍,、B处和C处转角相同,9. 弯曲刚度为EI的梁， B处转角等于（ ）。,、,、,、, 、,10. 图示力偶矩 ,则梁B端的转角为（ ）。,、,、,、, 、,11. 一等截面悬臂梁，在均匀自重作用下， 自由端的挠度与（ ）。, 、梁的长度成正比, 、梁的长度的平方成正比, 、梁的长度的立方成正比, 、梁的长度的四次方成正比,11. 简支梁，一为钢梁，另一为铝梁。两者长度，刚度都相同，不计自重下， 跨中在

15、相同的外力作用下，二者的（ ）不同。, 、最大挠度, 、最大转角, 、约束反力, 、最大正应力,12. 一水平梁的挠曲线方程为 则（ ）。,、梁的弯矩图为圆弧部分, 、梁的弯矩图为抛物线部分, 、梁的弯矩图为斜直线, 、以上均不对,13.已知悬臂梁长为l,弯曲刚度为EI , 受力大小为F ,用图乘法计算自由端B处挠度和转角。,14.已知悬臂梁长弯曲刚度为EI , 受力如图 ,用图乘法计算自由端B处挠度和转角。,15.已知悬臂梁长弯曲刚度为EI , 受力如图 ,用卡氏第二定理计算自由端B处挠度时，有（ ）。,A.弯矩方程不分段。,B.弯矩方程分二段后，用卡氏第二定理，应变能要对 F 求导。,C.弯矩方程分二段写时，可令B处的力为 ，用卡氏第二定理，应变能要对 求导。,D.以上均错。,F,F,l,l,16.已知杆拉伸刚度为EA, 则应变能大小为（ ）。,A.,B.,C.,D.,17.已知杆拉伸刚度为EA , 应变能大小为 ,则,代表的意义为（ )。,18.已知杆件拉伸刚度为EA ,弯曲刚度为EI ,忽略剪切应变能，总应变能大小为（ ）。,F,F,l,19.已知杆件拉伸刚度为EA ,弯曲刚度为EI , 设自由端单独竖向力作用时位移为f，单独水平力作用时位移为v，忽略剪切对变形影响，总应变能大小为（ ）。,A.,B.,C.,D.以上均错误,20.已知梁弯曲刚度为EI