向量与三角不等式等知识综合应用

1、第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用常熟市中学 蔡祖才一、高考要求平面向量与三角函数、 不等式等知识的综合应用是高考的主要考查内容之一.掌握向量的几何表示、向量的加法与减法和实数与向量的积，掌握平面向量的坐标运算、平面向量的数量积极其几何意义，掌握向量垂直的条件，并且能熟练运用，掌握平移公式.注重等价转化、 分类讨论等数学思想的渗透.二、考点解读考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.考查平面向量的概念和计算， 三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数学运算能力平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一.三、课前训练

2、1个单位,1.把曲线ycosx+2y仁0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移2得到的曲线方程是(A) (1 y) sinx+2y 3=0(C) (y+1) sinx+2y+1=02 .函数y=sinx的图象按向量(B) (y 1) sinx+2y 3=0(D) (y+1)si nx+2y+ 仁03,2)平移后与函数g (x)2的图象重合，则 g(x)的函数表达式是(A) cosx 2(B) cosx 2(C) cosx+2( )(D) cosx+23.已知向量 a = (1 , sin 0), b = (1 , cos 0)，则| a b |的最大值为4.如图，函数与y轴交于点(0, 与x

3、轴的交点， 四、典型例题y=2sin( nc+ ,x R,(其中 0W(j)0)，记函数f(x)= a b,2且f(x)的最小正周期是n则(A)=1(B)=2(C)(D)例2 在厶OAB中，O为坐标原点,A(1,cos ), B(sin,1),(%，则 OAB的面积达到最大值时,(A)(C) 3(D) 2设向量 a = (sinx, cosx) , b = (cosx, cosx), x R,函数 f(x) = a (a + b ).使不等式3f(x) 3成立的x的取值集合为uur uuu uuur例4在厶ABC中，O为中线AM上的一个动点，若 AM = 2，则OA (OB+OC)的最 小值是

4、.例 5 已知函数 f(x)=a+bsin2x+ccos2x 的图象经过点 A (0, 1), B ( 一 , 1),且当 x 0,时，f(x)取得最大值2 2 1.( I)求f(x)的解析式；(H)是否存在向量 m，使得将f(x)的图象按向量 m平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出满足条件的一个m;若不存在，说明理由.例 6 已知向量 m =(cos ,sin )和 n =(、2 sin ,cos ),( ,2 )，且 | m + n|吧8)的值.5过关练习r，且|a|与|b|的夹角第19讲 向量与三角、不等式等知识综合应用1.已知i , j为互相垂直的单位向量，a i 2j , b

5、i(B)(, 2)( 2,2)/ 1、(D)(，2)为锐角，则实数的取值范围是（A） （2，）2 2（C）（2,3）2.在直角坐标系中,O是原点，0Q=( 2+ cos 0, 2+ sin 0)(氏R)，动点P在直线(A) 4( B) 5(C) 26r r2 r r3.已知|a| 2|b| 0,且关于x的方程x2 |a|x a（D）26x=3上运动，若从动点 P向Q点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值为（）的取值范围是()(A)0,6(B)3,(C) ,(D)33E,UJUult4.设0(0,0),A(1,0),B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，APAB，若UJU UJUULUTULU

6、OP ABPA PB ,则实数的取值范围是()r r0有实根，则a与b的夹角1(A) 121(B 12(C) 11(D)1互12222rrrrr r r5.已知向量a =(cos,sin ), b =(cos,sin )，且 ab，那么a b与a的夹角的大小是%若33x x 口6. 已知向量 a (cos x,sin x),b (cos, sin ),且x2 2 2 2f (x) a b 2 | a b |的最小值为一，贝U入的值为 .27.已知A、B、C是 ABC三内角，向量 m ( 1, 3), n (cosA,sinA),且m n 1.(I)求角A;(n)若si n2B23，求 tanC

7、.cos B sin Br rrr-& 设函数 f(x)= a b，其中向量a=(2cosx,1), b=(cosx,. 3 sin2x),x R.(I)若 f(x) =1 . 3 且 x ,，求 x;33ry=f(x)的图象,(H)若函数 y=2sin2x的图象按向量c=(m, n)(|m| 0 时，由 a+ . 2 (1 a)=2 . 2 1, 0, , - - 2x+ (n )vg(x)=22 sin2x是奇函数，将 g(x)的图象向左平移 一个单位，再向下平移一个单位就可以得到f(x)的图象.因此，将f(x)的图象向右平移 一个单位，再向上平移一个单位就 可以得到奇函数 g(x)=2

8、. 2 sin2x的图象.故陰=(,1)是满足条件的一个向量.LTrL例 6 m n (cos sin 2,cos sin )m nJ(cossin2)2(cossin2(cossin)由已知4cos(cos(it rm n8 2 也72-p,得cos( -)25 又 cos( ；) 2cos (28)1过关练习部分11.B2.C3.B4.B5、6.-2 2LT7 (i)t mT n1 1,一3cos A,sin A1即、3 sin Acos A 12sin A cos A1, sinA -122620A ,A5 AA -66 66 63(n)由题知12sin BcosBoo3，整理得sin2 Bsin B cosB22cos B 0cos B sin2 B- cosB0 tan2Btan B 2 0 tan B2 或 tanB1而 tan B1 使 cos2B2sin B 0 ,舍去 tanB 2& (I)依题设可知，函数的解析式为f(x)=a b = 2cos2x+ . 3 sin2x=1+2sin(2x+ ).6由 1+2sin(2x+)=1 - 3，可得三角方程 sin(2 x + )=-6 6 25/ xw , 2x