同济大学高数上册知识点推荐文档

1、高等数学(上)知识点高等数学上册知识点、函数与极限(一) 函数1、函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性)；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函 数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数 f(x)在 Xo 连续二:二 lim f(x) f(x)X xo第一类：左右极限均存在.间断点可去间断点、跳跃间断点.第二类：左右极限、至少有一个不存在.无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论.(二) 极限1、定义1) 数列极限lim x a0, N , n N,

2、 xn an2) 函数极限lim f (x) A0,0, x,当 0 x x0时，f (x) Ax X。第1页共12页高等数学（上）知识点左极限：f(x) lim f(x)x Xo右极限：f(Xo) lim f(x)X Xo第5页共12页lim f (x) A 存在f (x0) f (x0)x Xo2、 极限存在准则1) 夹逼准则：1) ynXn Zn ( n n )=2) lim yn lim zn a7 nnlim xnan2) 单调有界准则：单调有界数列必有极限.3、无穷小(大)量1) 定义：若lim0则称为无穷小量；若lim则称为无穷大量2) 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无

3、穷小、k阶无穷小Th10();Th2,lim 一 存在，则lim lim 一(无穷小代换)4、求极限的方法1) 单调有界准则；2) 夹逼准则；3) 极限运算准则及函数连续性；4) 两个重要极限： sin x 彳a) Xim。丁 1 b)5) 无穷小代换：(x 0)a) x sin x tan x arcsinx arctanx1lim (1 x)Xx 0lim (1 -)x ex1 2b)1 cosx-X2c)ex1x（ax 1xlna)d)ln(1x)Xx(lOga(1 X) In ae)(1X)1 X导数与微分（一）导数1、定义：f（xo）limXf(x) f(X。)左导数:f (Xo)X

4、o XXolim f(X) f(xo)X Xo右导数:f (Xo)X Xo lim f(X) f(Xo)X XoxXo函数f （x）在Xo点可导f （Xo） f （Xo）2、几何意义：f （xo）为曲线y f （x）在点xo,f（xo）处的切线的斜率.3、可导与连续的关系：4、求导的方法1）导数定义；2）基本公式；3）四则运算；4）复合函数求导（链式法则）；5）隐函数求导数；6）参数方程求导；7)对数求导法.5、高阶导数d2yddy1)定义：dx2dxdx2)Leib niz公式:uvn(n)C；u(k)v(n k)k 0(二)微分1) 定义：y f(Xo X) f(x。) A x o( x)

5、，其中 A与 x无关.2) 可微与可导的关系：可微可导，且dy f(X。)x f (x)dx三、微分中值定理与导数的应用(一)中值定理1、Rolle罗尔定理：若函数f (x)满足：1) f(x) Ca,b ； 2 ) f(x) D(a,b) ； 3 ) f(a) f(b)； 贝 S (a,b),使 f()0.2、Lagrange拉格朗日中值定理：若函数 f (x)满足：1) f(x) Ca,b ； 2 ) f(x) D(a,b)；则 (a,b),使f(b) f(a) f ( )(b a).3、 Cauchy柯西中值定理：若函数f (x), F (x)满足：1) f(x),F(x) Ca,b ；

6、 2) f(x),F(x) D(a,b) ；3)F(x) 0,x(a,b)(a使g冷高等数学（上）知识点(二) 洛必达法则(三) Taylor公式(四) 单调性及极值1、 单调性判别法：f(x) Ca,b， f(x) D(a,b)，则若 f (x) 0，则f(x)单调增加；则若f (x)0,则f (x)单调减少.2、极值及其判定定理：a) 必要条件：f (x)在X。可导，若X。为f (x)的极值点，贝q f (xo) 0.b) 第一充分条件：f (x)在xo的邻域内可导，且f(X。)0 ,则若当x xo 时，f(X)0，当x X。时，f(X)0，则X。为极大值点；若当x X。 时，f(X)0，

7、当x X。时，f(X)0，则X。为极小值点；若在x0的 两侧f(X)不变号，则X。不是极值点.c) 第二充分条件：f (X)在X。处二阶可导，且f(X。)0 , f (x) 0，则若f(X。)0，则X。为极大值点；若f(X。)0，则X。为极小值点.3、凹凸性及其判断，拐点1) f(x)在区间 I 上连续，若 Xi,x2 I, f(*2翌)f(Xl)2f(X2)，则称 f(x)在 区间I上的图形是凹的；若X1,X2 l,f(0产)f(X1)2f(X2)，则称f(x)在 区间I上的图形是凸的.2) 判定定理：f(x)在a,b上连续，在(a,b)上有一阶、二阶导数，则a) 若x (a,b), f (

8、x) 0,则f(x)在a,b上的图形是凹的；b) 若x (a,b), f (x) 0,则f(x)在a,b上的图形是凸的.3) 拐点：设y f(x)在区间I上连续，X。是f (x)的内点，如果曲线y f(x)经过点（X,f（X。）时，曲线的凹凸性改变了，则称点（X,f（X。）为曲线的拐点.（五）不等式证明1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；3、利用极值（最值）.（六）方程根的讨论1、连续函数的介值定理；2、Rolle 定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性.（七）渐近线1、铅直渐近线:lim f (x)x a，则xa为一条铅直渐近线；2、水平渐近线:lim f(x)xb，则yb

9、为一条水平渐近线；3、斜渐近线：lim他xxk limf (x)xkx b存在，则y kx b为一条斜渐近线（八）图形描绘四、不定积分（一）概念和性质1、原函数：在区间I上，若函数F（x）可导，且F （x） f （x），则F（x）称为f （x）的一个原函数.2、 不定积分：在区间I上，函数f（x）的带有任意常数的原函数称为 f（x）在 区间I上的不定积分.3、 基本积分表（P188, 13个公式）；4、性质（线性性）.（二）换元积分法1、第一类换元法（凑微分）：f （x） （x）dx f （u）du u （x）2、第二类换元法（变量代换）：f（x）dxf （t） （t）dt t i（x）（三）

10、 分部积分法：udv uv vdu（四）有理函数积分1、“拆”；2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）五、定积分第17页共12页概念与性质:1、b定义：a f (x)dxnli叫 f( i) xi0 i 12、性质：（7条）性质7 （积分中值定理）函数f （x）在区间a,b上连续，则a,b，使（平均值：f（）bf(x)dxab a )bf (x)dx f ( )(b a)a微积分基本公式（N L公式）1、变上限积分：设（x）a f (t)dt，则(x)f(x)d推广：，dx(x)(x)f (t)dtf (x) (x) f(x)(x)2、N L公式：若F（x）为f （x）的一个原函数，则b

11、f(x)dxa(三)换元法和分部积分1、b换元法：af (x)dxf (t) (t)dt2、分部积分法:budvabbuv avdua(四)反常积分1、无穷积分：xtF(b)F(a)f(x)dxlimtf(x)dx2、f(x)dxf(x)dx瑕积分:f(x)dxf(x)dxlimtlimt alimt bf(x)dxf(x)dx obt f(x)dxf (x)dx（a为瑕点）taf(x)dx (b 为瑕点)a两个重要的反常积分:, p 1 dx1 p1)a xpa1X, p 1(b a)1q1 qp 1b dxb dx2) a(x a)qa(b x)q六、定积分的应用（一）平面图形的面积ba1

12、、直角坐标：Af2(x)f,x)dx1 2 22、极坐标：A 2( )1 ( )d（二）体积1、旋转体体积:a）曲边梯形yf (x), xa, xb, x轴，绕x轴旋转而成的旋转体的体积:b2Vf2xa(x)dxb）曲边梯形yf (x), xa, xb, x轴，绕y轴旋转而成的旋转体的体积:bVy2axf (x)dx（柱壳法）2、平行截面面积已知的立体:VbA(x)dxa（三）弧长1、直角坐标：s b 1 f （x） 2dx/ 222、参数方程：s 、(t)(t) dt2 23、极坐标：s v ( )( ) d七、微分方程（一）概念1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方

13、程阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数2、解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二）变量可分离的方程g(y)dy f(x)dx，两边积分 g(y)dy f(x)dx(三)齐次型方程dy(-)，设 uydy则duu x；dxxx，dxdx dx（x），设 Vxdxdvd?则Tv yy，设y，则dydy或(四)一阶线性微分方程dx P(x)y Q(x)P(x)dx用常数变易法或用公式:P(x)dxQ(x)e dx C（五）可降阶的高阶微分方程1、(n) y()f(x)，两边积分n次；2、yf(x,y)（不显含有y），令yp，则yp ；3、yf(y,y)（不显含有x），令yp，则ydp p -dy（六）线性微分方程解的结构1、yi, y2是齐次线性方程的解，则Ciyi也是;2、yi,y2是齐次线性方程的线性无关的特解，则 G% 2是方程的通解；3、y c$i S2 y*为非齐次方程的通解，其中 ,丫2为对应齐次方程的 线性无关的解，y*非齐次方程的特解.（七）常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：y py qy 02特征方程：r pr q 0，特征根：GD特征根通解实根r1r2 r1