2015年高考数学(理)真题分项解析：专题02+函数

1、专题二函数1.【 2015 高考福建，理2】下列函数为奇函数的是()A yxB ysin xC ycos xD yexe x【答案】 D【解析】 函数 yx 是非奇非偶函数；ysin x 和 ycos x 是偶函数； yexe x 是奇函数，故选D 【考点定位】函数的奇偶性【名师点睛】 本题考查函数的奇偶性，除了要掌握奇偶性定义外，还要深刻理解其定义域特征即定义域关于原点对称，否则即使满足定义，但是不具有奇偶性，属于基础题2.【 2015 高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A y x exB y x1C y 2x 1x2xD y1x2【答案】 A 【解析】记fx x

2、 ex ，则 f1 1 e， f11 e 1 ，那么 f1 f 1 ，f 1f1 ，所以 yx ex 既不是奇函数也不是偶函数，依题可知B 、C、D 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A 【考点定位】函数的奇偶性判断【名师点睛】 本题主要考查函数的奇偶性判断和常见函数性质问题，但既不是奇函数，也不是偶函数的判断可能较不熟悉，容易无从下手，因此可从熟悉的奇偶性函数进行判断排除，依题易知 B 、 C 、 D 是奇偶函数，排除得出答案，属于容易题1,x0,3. 【 2015 高考湖北，理6 】已知符号函数 sgn x 0,x0, f (x) 是 R 上的增函数，1,x0.g( x)f (x)f (a

3、x) (a 1) ，则（）A sgn g( x)sgn xB sgn g ( x)sgn xC sgn g( x)sgn f (x)D sgn g ( x)sgn f (x)【答案】 B【解析】因为f ( x) 是 R 上的增函数，令 f ( x)x ，所以 g ( x)(1 a) x ，因为 a1，所11,x01,x0以 g (x) 是 R 上的减函数， 由符号函数 sgn x 0,x0知，sgn g( x)0, x0sgn x .1, x01,x0【考点定位】符号函数，函数的单调性.【名师点睛】构造法数求解高中数学问题常用方法，在选择题、填空题及解答题中都用到，特别是求解在选择题、填空题构

4、造恰当的函数，根据已知能快捷的得到答案.4.【 2015 高考安徽，理2】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）（ A ） ycos x（ B ） ysin x （ C） yln x（ D） yx21【答案】 A【考点定位】1.函数的奇偶性； 2.函数零点的概念 .【名师点睛】 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数yf ( x)g( x) 有零点函数 yf ( x)g( x) 在 x 轴有交点方程 f ( x) g (x)0有根函数 yf ( x) 与 yg (

5、x) 有交点 .5【. 2015高考四川， 理 8】设 a，b 都是不等于 1 的正数，则 “ a3b3”是 “log3log3 ”3ab的 （）（A ）充要条件（ B）充分不必要条件（C）必要不充分条件（ D）既不充分也不必要条件【答案】 B【解析】若 3a3b3，则 a b 1，从而有 loga 3 log b3 ，故为充分条件 . 若 log a 3logb 3 不一定有 ab 1 ，比如 . a1 , b3 ，从而 3a3b3不成立 .故选 B.3【考点定位】命题与逻辑 .【名师点睛】充分性必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立 .这类问题往往与

6、函数、三角、不等式等数学知识结合起来考.6.【 2015高考北京， 理 7】如图，函数 fx 的图象为折线ACB ，则不等式 fx log2 x12的解集是（）y2 CAB-1O2xA x | 1x 0B x |1 x 1Cx | 1x 1Dx | 1x 2【答案】 C【解析】如图所示，把函数ylog 2 x 的图象向左平移一个单位得到ylog 2( x1) 的图象 x1时两图象相交，不等式的解为1 x1，用集合表示解集选 C【考点定位】本题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等式等有关知识，体现了数形结合思想.【名师点睛】本题考查作基本函数图象和函数图象变换及利用函数图象解不等

7、式等有关知识， 本题属于基础题， 首先是函数图象平移变换， 把 ylog 2x 沿 x 轴向左平移 2 个单位，得到 ylog 2( x2) 的图象，要求正确画出画出图象，利用数形结合写出不等式的解集 .7.【 2015高考天津，理 7】已知定义在R 上的函数 f x2 x m1 （ m 为实数）为偶函数，记 af (log 0.5 3), bflog 2 5 , cf 2m，则 a,b, c 的大小关系为 ( )（A ） a b c（ B） ac b（ C） c a b（D ） c b a【答案】 C【解析】因为函数fx2 xm1为偶函数，所以m0 ，即 fx2 x1，所以11af (log

8、 0.5 3)flog 22log 2 312log2 31 312,3bf log 2 52log 2 514,cf2mf (0)20103所以 cab ，故选 C.【考点定位】 1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.【名师点睛】 本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题，先由函数奇偶性知识求出 m 的值，计算出相应的a,b, c 的值比较大小即可，是中档题. 其中计算 a 的值时易错 .8.【 2015 高考浙江，理7】存在函数f ( x) 满足，对任意xR 都有（）A.f (sin 2x)sin xB.f (sin 2x)x2xC.f ( x21)x1D.f ( x22x)x1

9、【答案】 D.【考点定位】函数的概念【名师点睛】本题主要考查了函数的概念，以及全称量词与存在量词的意义，属于较难题，全称量词与存在量词是考试说明新增的内容，在后续复习时应予以关注，同时，“存在”，“任意”等一些抽象的用词是高等数学中经常会涉及的，也体现了从高中数学到大学高等数学的过渡，解题过程中需对函数概念的本质理解到位，同时也考查了举反例的数学思想.9【.2015 高考安徽， 理 9】函数 f xaxb2 的图象如图所示， 则下列结论成立的是 （）xc（ A ） a0 ， b0 ， c 0（ B） a0 ， b0 ， c 0（ C） a0 ， b0 ， c 0（ D） a0 ， b0 ， c

10、 04【答案】 C【解析】由f xaxb2及图象可知，xc ，c 0 ，则 c0 ；当 x 0时，xcf (0)b0 ，所以 b0 ；当 y 0， axb0 ，所以 xb，所以 a0 .c20a故 a0 ， b0 ， c0，选 C.【考点定位】 1.函数的图象与应用.【名师点睛】函数图象的分析判断主要依据两点：一是根据函数的性质，如函数的奇偶性、单调性、 值域、定义域等； 二是根据特殊点的函数值，采用排除的方法得出正确的选项.本题主要是通过函数解析式判断其定义域，并在图形中判断出来，另外， 根据特殊点的位置能够判断a, b, c 的正负关系 .10【. 2015 高考天津，理 8】已知函数 f

11、x2x ,x2,函数 gx bf 2 x ，x2,x2,2其中 bR ，若函数 yfxg x恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是 ()（A） 7,（ B）, 7（C） 0, 7（D） 7 ,24444【答案】 D【解析】由 f2 x , x 2,得 f (2x)2 2 x , x 0xx2xx2 ,x，2 ,2,02xx2 ,x0所以 yf (x)f (2x)4x2x ,0x2 ，22x( x2)2, x25x2x2,x 0即 yf ( x)f (2 x)2,0 x 2x25x8, x 2yf ( x)g ( x)f ( x)f (2x)b ,所以 yf xg x 恰有 4 个零点等价于方程

12、f ( x) f (2x)b 0有 4个不同的解，即函数yb 与函数 yf ( x) f (2 x) 的图象的4 个公共点，由图象可知7b2.4864215105510152468【考点定位】求函数解析、函数与方程思、数形结合.【名师点睛】 本题主要考查求函数解析、函数与方程思、 数形结合思想以及学生的作图能力.将求函数解析式、函数零点、方程的解等知识结合在一起，利用等价转换、数形结合思想等方法，体现数学思想与方法，考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力.是提高题 .11. 【 201510】设函数 f3x1,x1高考山东，理x, 错误！未找到引用源。则满足2x , x 1f f a2

13、f a的 a取值范围是（）（A） 2,1（ B） 0,1（C） 2,（D） 1,33【答案】 C【考点定位】 1、分段函数； 2、指数函数 .6【名师点睛】 本题以分段函数为切入点，深入考查了学生对函数概念的理解与掌握，同时也考查了学生对指数函数性质的理解与运用，渗透着对不等式的考查，是一个多知识点的综合题.12.【 2015 高考新课标2，理 10】如图，长方形ABCD 的边 AB2 ， BC1， O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC ， CD 与 DA 运动，记BOPx 将动 P 到 A 、 B 两点距离之和表示为 x 的函数 f ( x) ，则 yf (x) 的图像大致为（）DPC

14、xAOByyyy2222xxx3x333424424424424(A)(B)(C)(D)【答案】 B【解析】由已知得，当点P在BC边上运动时，即0x时 ，4PAPBtan2 x4tan x ；当点 P 在 CD 边上运动时，即4x3, x时，42PAPB( 11)21( 11)21 ，当 x时， PAPB22；当点 P 在tan xtan x2AD边上运动时，即3x时， PAPBtan2 x4tan x ，从点 P 的运动过程4可以看出，轨迹关于直线x对称，且 f ( )f ( ) ，且轨迹非线型，故选B 242【考点定位】函数的图象和性质【名师点睛】 本题考查函数的图像与性质，表面看觉得很难

15、， 但是如果认真审题，读懂题意，通过点 P 的运动轨迹来判断图像的对称性以及特殊点函数值的比较，也可较容易找到答案，属于中档题713.【2015高考新课标2，理5】设函数1log2 (2x ),x1,f (2)f (log 2 12)()f ( x),2x 1, x 1,A3B6C 9D 12【答案】 C【 解 析】 由已 知得f ( 2)1log 2 43，又 log 2 12 1 ，所以f (log 2 12)2log 212 12log 2 66 ，故 f (2)f (log 2 12)9，故选 C【考点定位】分段函数【名师点睛】 本题考查分段函数求值，要明确自变量属于哪个区间以及熟练掌

16、握对数运算法则，属于基础题14. 【 2015 高考新课标1，理 13】若函数 f(x)= x ln( xax2 ) 为偶函数，则 a=【答案】 1【考点定位】函数的奇偶性【名师点睛】本题主要考查已知函数奇偶性求参数值问题，常用特值法，如函数是奇函数，在 x=0 处有意义，常用f(x)=0, 求参数，否则用其他特值，利用特值法可以减少运算.15.【 2015 高考浙江，理12】若 alog 4 3，则 2a2 a【答案】 43 .3【解析】 alog 4 3， 4a32a3 ， 2a2 a3143 .33【考点定位】对数的计算【名师点睛】 本题主要考查对数的计算，属于容易题， 根据条件中的对数

17、式将其等价转化为指数式，变形即可求解， 对数是一个相对抽象的概念，在解题时可以转化为相对具体的指数式，利用指数的运算性质求解.8x3, xa13.【 2015 高考湖南， 理 15】已知 f ( x)2, x，若存在实数 b ，使函数 g ( x) f ( x) bxa有两个零点，则a 的取值范围是.【答案】 (,0)(1,) .【解析】试题分析：分析题意可知，问题等价于方程x3b(xa) 与方程 x2b( xa) 的根的个数和为 2，1b3a若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等式组ba有解，a2 b a3 ，从而baa1；若方程x3b xax2b( xa)有2 个根：则可知关于b的不等

18、式组() 无解，方程1b 3a有解，从而baa 0 ，综上，实数 a 的取值范围是 (,0)(1,) .【考点定位】1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想 .【名师点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题，表面上是函数的零点问题， 实际上是将问题等价转化为不等式组有解的问题，结合函数与方程思想和转化思想求解函数综合问题， 将函数的零点问题巧妙的转化为不等式组有解的参数，从而得到关于参数 a 的不等式， 此题是创新题， 区别于其他函数与方程问题数形结合转化为函数图象交点的解法，从另一个层面将问题进行转化，综合考查学生的逻辑推理能力.16.【 2015 高考四川，理 15】已

19、知函数f (x)2x ， g( x) x2ax （其中 aR ） .对于不相等的实数 x1, x2 ，设 mf ( x1)f (x2 ) ， ng( x1 )g( x2 ) .现有如下命题：x1x2x1x2（1）对于任意不相等的实数x1 , x2 ，都有 m0 ；（2）对于任意的 a 及任意不相等的实数x1 ,x2 ，都有 n0 ；9（3）对于任意的a，存在不相等的实数x1, x2 ，使得 mn ；（4）对于任意的a，存在不相等的实数x1, x2 ，使得 mn .其中的真命题有（写出所有真命题的序号） .【答案】【解析】设 A( x1, f ( x1 ), B( x2 , f ( x2 ),

20、C( x1 , g(x1), D(x2 , g(x2 ) .对（ 1），从 y2x 的图象可看出，mkAB0 恒成立，故正确 .对（ 2），直线 CD 的斜率可为负，即 n0 ，故不正确 .对（ 3），由 m=n 得 f ( x1 )f ( x2 )g( x1 )g( x2 ) ，即 f ( x1 )g(x1)f (x2 )g (x2 ) .令 h( x)f ( x)g (x)2xx2ax ，则 h ( x)2x ln 22xa .由 h ( x)0 得： 2x ln 22x a ，作出 y2x ln 2, y 2x a 的图象知，方程2x ln 22x a 不一定有解，所以h(x) 不一定有

21、极值点，即对于任意的a，不一定存在不相等的实数 x1, x2 ，使得 h( x ) h( x ) ，即不一定存在不相等的实数x1 ,x2 ，使得 mn .故12不正确 .对（ 4），由 m= n 得 f ( x1 )f ( x2 )g ( x2 ) g( x1 ) ，即 f ( x1 )g(x1)f (x2 )g (x2 ) .令 h( x)f ( x)g(x)2xx2ax ，则 h ( x)2x ln 22xa .由 h ( x)0 得： 2x ln 22x a ，作出 y2x ln 2, y2xa 的图象知，方程2x ln 22xa 必一定有解，所以h( x) 一定有极值点，即对于任意的a

22、，一定存在不相等的实数 x1 ,x2 ，使得 h( x1)h(x2 ) ，即一定存在不相等的实数x1, x2 ，使得 mn .故正确 .所以（ 1）（4）【考点定位】函数与不等式的综合应用.【名师点睛】四川高考数学15 题历来是一个异彩纷呈的题，个中精彩读者可从解析中慢慢体会 .解决本题的关键是转化思想，通过转化使问题得以解决.f ( x)x23, x1f ( f (3)，f ( x)【高考浙江，理10】已知函数x，则17. 2015lg( x21), x1的最小值是【答案】0 ， 22 -3.10【考点定位】分段函数【名师点睛】本题主要考查分段函数以及求函数的最值，属于容易题， 在求最小值时

23、， 可以求每个分段上的最小值，再取两个最小值之中较小的一个即可，在求最小值时，要注意等号成立的条件，是否在其分段上，分段函数常与数形结合，分类讨论等数学思想相结合，在复习时应予以关注.18.【 2015 高考四川，理 13】某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储存温度x（单位： C ）满足函数关系 yekx b （ e 2.718 为自然对数的底数， k、b 为常数）。若该食品在 0 C的保鲜时间设计192 小时，在 22 C 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33C 的保鲜时间是小时 .【答案】 24【解析】由题意得：eb192,e22k481,e11k1，所以 x33时，e22k48b

24、19242ye33k b(e11k )3eb119224.8【考点定位】函数及其应用.【名师点睛】这是一个函数应用题，利用条件可求出参数k、b，但在实际应用中往往是利用整体代换求解（不要总是想把参数求出来）.本题利用整体代换，使问题大大简化.19.【 2015 高考安徽，理15】设 x3axb0 ，其中 a, b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是.（写出所有正确条件的编号） a 3, b3 ； a3, b2 ； a3, b2 ； a0, b2 ； a1,b 2 .【答案】【解析】令 f (x)x3axb ，求导得 f (x)3x2a ，当 a0 时， f ( x) 0 ，所

25、以 f ( x)单调递增，且至少存在一个数使f (x)0 ，至少存在一个数使f ( x)0 ，所以11f ( x)x3axb 必有一个零点，即方程x3ax b0仅有一根，故正确；当a0时 ， 若 a3 ， 则 f (x)3x233(x1)(x 1) ， 易 知 ，f ( x)在(,1),(1,)上单调递增， 在 1,1上单调递 减，所以f ( x)极大 =f ( 1)1 3b b 2 ，f ( x)极小 =f (1)13bb 2 ，要使方程仅有一根，则f ( x)极大 = f ( 1)1 3b b 2 0 或者f ( x)极小 =f (1)13bb 2 0 ，解得 b2 或 b2，故正确 .所

26、以使得三次方程仅有一个实根的是 .【考点定位】 1函数零点与方程的根之间的关系；2.函数的单调性及其极值 .【名师点睛】 高考中若出现方程问题，通常情况下一定要考虑其对应的函数，了解函数的大致图象特征， 便于去分析方程； 若出现的是高次函数或非基本初等函数， 要利用导数这一工具进行分析其单调性、 极值与最值； 函数零点问题考查时， 要经常性使用零点存在性定理 .20.【 2015x6, x 2,0 且 a1 ）的值高考福建，理14】若函数 f x（ a3loga x, x 2,域是 4,，则实数 a 的取值范围是【答案】 (1,2【 解 析 】 当 x2 ， 故x 6 4 ， 要 使 得 函

27、数 f ( x) 的 值 域 为 4,， 只 需f1 (x)3 log ax（ x 2 ）的值域包含于4,，故 a 1，所以 f1( x) 3loga 2 ，所以 3log a 2 4，解得 1 a2 ，所以实数a 的取值范围是 (1,2 【考点定位】分段函数求值域【名师点睛】 本题考查分段函数的值域问题，分段函数是一个函数，其值域是各段函数值取值范围的并集， 将分段函数的值域问题转化为集合之间的包含关系，是本题的一个亮点，要注意分类讨论思想的运用，属于中档题12【 2015高考上海，理10 】 设 f1 x为 fx2x2x ， x0,2 的反函数，则2y fxf 1 x 的最大值为【答案】4

28、【解析】由题意得： f (x)2x 2x 在 0, 2上单调递增， 值域为 1, 2 ，所以 f 1 x在 1, 22x 在 1 , 244上 单 调 递 增 ， 因 此 yf xf 1上单调递增，其最大值为4f (2)f1(2) 2 24.【考点定位】反函数性质【名师点睛】 反函数与原函数的对应关系是解决问题的关键，一般有两个处理方法，一是从原函数出发求其反函数，再求函数最大值， 本题求反函数教困难；二是利用反函数定义域对应原函数值域， 反函数值域对应原函数定义域，反函数与原函数对偶区间上单调性一致，求出函数最大值 .【2015高考上海，理 7】方程 log 29x 15log23x 122

29、 的解为【答案】 2【考点定位】解指对数不等式【名师点睛】对可化为 a2x bax c 0 或 a2xbax c 0(a2xbax c0) 的指数方程或不等式， 常借助换元法解决 求解与指对数有关的复合方程问题， 首先要熟知指对数式的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断， 最终将问题归结为内层方程相关的问题加以解决21. 【 2015 高考北京，理2xa ?x 1?14】设函数 f xx2a ? x 1.4 x a若 a1，则 f x的最小值为；若 fx 恰有 2 个零点，则实数a 的取值范围是13【答案】

30、 (1)11a1 或 a2 .，(2)2【解析】 a1时， f x2x1 ?x1?,1) 上为增4 x1x，函数 f ( x ) 在(2 ? x 1.函数，函数值大于1，在 1, 3 为减函数，在 3 ,) 为增函数，当 x3时， f ( x )222取得最小值为1；（ 2） 若函数 g( x )2xa 在 x1时与 x 轴有一个交点，则a0 ，并且当x1 时， g(1)2a0，则 0a2 ，函数 h( x )4( xa)( x2a) 与 x 轴有一个交点，所以21且a11a1；a2()xaxh( x )4( xa)( x2a) x2 若函数g x与轴有无交点，则函数与轴有两个交点，当a0 时

31、 g( x ) 与 x 轴有无交点，h( x )4( xa)( x2a) 在x1 与 x 轴有无交点，不合题意；当h(1)2a 0时， a2 ， h( x ) 与 x 轴有两个交点， xa 和 x2a ，由于 a2 ，两交点横坐标均满足x1 ；综上所1a1或 a2 .述 a 的取值范围2考点定位：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解【名师点睛】 本题考查函数图象与函数零点的有关知识，本题属于中等题， 第一步正确画出图象， 利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，第二步涉计参数问题，针对参数进行分类讨论，按照题目所给零点的条件，找出符合零点要求的参

32、数a ，讨论要全面，注意数形结合22. 【 2015 高考江苏， 13】已知函数 f ( x)| ln x |， g ( x)0,0x1，则方程4 |2, x 1| x2| f (x)g( x) | 1实根的个数为14【答案】 4【解析】由题意得：求函数yf (x) 与 y1g (x) 交点个数以及函数yf ( x) 与1,0x1y1g( x) 交点个数之和，因为y1g ( x)7x2 , x2，所以函数yf (x) 与x21,1x21,0x1y1g( x) 有两个交点，又y1g ( x)5x2 , x2，所以函数yf (x) 与x23,1x2y1g( x) 有两个交点，因此共有4 个交点【考

33、点定位】函数与方程【名师点晴】 一些对数型方程不能直接求出其零点，常通过平移、 对称变换转化为相应的函数图像问题， 利用数形结合法将方程根的个数转化为对应函数零点个数，而函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数这时函数图像是解题关键，不仅要研究其走势（单调性，极值点、渐近线等），而且要明确其变化速度快慢.22.【 2015 高考浙江，理18】已知函数f ( x)x2axb(a,bR) ，记 M (a,b) 是 | f ( x) |在区间 1,1上的最大值 .（1）证明：当| a |2时， M ( a, b)2 ；（2）当 a ， b 满足 M ( a,b)2 ，求 | a | b |的最大值 .【答案】（ 1）详见解析；（ 2） 3 .试题分析：（ 1）分析题意可知f ( x) 在 1,1上单调，从而可知M (a, b) max| f (1) |,| f ( 1) | ，分类讨论 a 的取值范围即可求解.；（2）分析题意可知| a | ab |,