2011年—2018年新课标全国卷1理科数学分类汇编坐标系与参数方程

1、2011 年 2018 年新课标全国卷理科数学分类汇编12坐标系与参数方程一、解答题【 2018， 22】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 yk x2 。以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为22cos30（ I）求 C2 的直角坐标方程； （ II ）若 C1 与 C2有且仅有三个公共点，求C1 的方程。【 2017，22】在直角坐标系x3cos,为参数），直线 l 的参数方程为xOy 中，曲线 C 的参数方程为sin（y,xa4t ,y1（ t 为参数）t ,（1）若 a1 ，求 C 与 l 的交点坐标； （ 2）若 C 上的点到 l

2、的距离的最大值为17 ，求 a 【 2016，23】在直角坐标系xOy 中，曲线 C1xa cost,的参数方程为1(t 为参数， a 0) 在以坐标yasin t ,原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2 :4 cos（）说明 C1 是哪一种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；（）直线 C3 的极坐标方程为0 ，其中0 满足 tan 02，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a 【 2015， 23】在直角坐标系 xOy 中，直线 C1 ： x =222，圆 C2 ： x 1y 21，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .（ I）求 C1

3、， C2 的极坐标方程；（ II ）若直线 C3 的极坐标方程为R ，设C2与C3的交点为 M ,N ，求C2MN 的面积 .422x2t【 2014， 23】已知曲线 C ： xy1，直线 l ：2（ t 为参数） .49y2t( )写出曲线 C 的参数方程，直线l 的普通方程；（）过曲线C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30o 的直线，交 l 于点 A ，求 | PA |的最大值与最小值.x45cost,【 2013， 23】已知曲线C1 的参数方程为(t 为参数 )，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为y55sin t极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 2sin .(1)把 C1

4、 的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C1 与 C2 交点的极坐标 (0,0 2)【 2012， 23】已知曲线 C1x2cos的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，y3sin极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程是2 。正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上，且逆时针次序排列，点A 的极坐标为（ 2，）。3（ 1)求点 A， B， C， D 的直角坐标 ；（ 2）设 P 为 C1 上任意一点，求| PA |2| PB |2| PC |2| PD |2 的取值范围 。【 2011， 23】在直角坐标系x2cosxOy 中，曲线 C1 的参数方程为（为参数）y2 2sinuuuvuuuvM

5、 是 C1 上的动点， P 点满足 OP2OM ,P 点的轨迹为曲线C2( )求 C2 的方程； () 在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线极点的交点为A，与 C2 的异于极点的交点为B，求 AB .x 轴的正半轴为A，B，C，D 依与 C1 的异于32011 年 2018 年新课标全国卷理科数学分类汇编12坐标系与参数方程（解析版）一、解答题（ 2018新课标，理 22）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为 yk x 2 。以坐标原点为极点， x22 cos3 0轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为（ I）求 C2 的直角坐标方程； （ II ）

6、若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求C1 的方程。【解析】（1）由xcos， ysin得 C2 的直角坐标方程为( x 1)2y24（ 2）由（ 1）知 C2 是圆心为 A( 1,0)，半径为2 的圆由题设知， C1 是过点 B(0, 2) 且关于 y 轴对称的两条射线记y 轴右边的射线为l1 ， y 轴左边的射线为 l 2 由于 B 在圆 C2 的外面，故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于l1 与 C2 只有一个公共点且l 2 与C2 有两个公共点，或l2 与 C2只有一个公共点且l1 与 C2 有两个公共点当 l1 与 C2 只有一个公共点时，| k2 |2 ，故 k40 A

7、 到 l1 所在直线的距离为 2 ，所以1或 kk23经检验，当 k0 时， l1 与 C2没有公共点；当 k4C2 只有一个公共点，l2 与 C2 有两个公时， l1 与3共点当 l 2 与 C2 只有一个公共点时，| k2 |2 ，故 k0 或 k4A 到 l2 所在直线的距离为 2 ，所以1k23经检验，当 k0 时， l1 与 C2没有公共点；当 k4时， l2 与 C2 没有公共点4 | x |3综上，所求 C1 的方程为 y2 3【基本解法2】（代数法）yk x2x2k x 22x1214y241k 2x22x4k x1 0x0x 01 k2 x22 4k x 1 01 k 2 x

8、22 4k x 1 0交点个数等于方程组解的个数和，显然每个方程组最多有两个解。所以只能一个组一个解，一组两个解。024k204 1 k2k0, k4, k341233经检验可知：当k=0 时，曲线 C1 的方程为 y 2 ，与圆只有一个交点，故舍去。当 k4时，曲线 C 的方程为 y4 x 2 ，与圆没有交点，313当 k4时，曲线 C1 的方程为 y4 x2 ，与圆有且只有三个交点，34 x3所以曲线 C1 的方程为 y2 。3【 2017，22】在直角坐标系x3cos,为参数），直线 l 的参数方程为xOy 中，曲线 C 的参数方程为sin（y,xa4t ,y1（ t 为参数）t ,（

9、1）若 a1 ，求 C 与 l 的交点坐标； （ 2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为17 ，求 a 【解析】（ 1） a1时，直线 l 的方程为 x4 y 30 曲线 C 的标准方程是x2y21，9x4 y30x3x21252124联立方程2，解得：或，则 C 与 l 交点坐标是3 ，0，xy21y024和25y25925（2）直线 l 一般式方程是 x 4 y4a0 设曲线 C 上点 p3cos ，sin则 P 到 l 距离 d3cos4sin4a5sin4 a，其中 tan317174依题意得： d max17，解得 a16或a 8 【 2016，23】在直角坐标系xOy 中，曲线

10、 C1xa cost,的参数方程为1(t 为参数， a 0) 在以坐标yasin t ,原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2 :4 cos（）说明 C1 是哪一种曲线，并将C1 的方程化为极坐标方程；（）直线 C3 的极坐标方程为0 ，其中0 满足 tan 02，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a 【解析】：xa cost（ t 均为参数） , x2y1a22y1 asin tC1为以0，1 为圆心， a 为半径的圆方程为x2y22y1a20 x2y22 ，ysin22sin1a20即为 C1的极坐标方程, C2：4cos 两边同乘得24cos2x2y2

11、， cosx,x2y24x ,即2y2 , C3 ：化为普通方程为y2xx 24由题意： C1 和 C2 的公共方程所在直线即为C3, 得： 4x2 y 1a20 ，即为 C3 1a 20 , a1xOy 中，直线 C1 ： x =2，圆 C2 ： x22【 2015， 23】在直角坐标系1y21，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .（ I）求 C1 ， C2 的极坐标方程；（ II ）若直线 C3 的极坐标方程为R ，设C2与C3的交点为 M ,N ，求C2MN 的面积 .4解析：（I）因为 xcos, ysin，所以 C1 的极坐标方程为cos2 ， C2 的极坐标方程

12、为22 cos4sin40 .=223240，解得1=2 2，（）将代入2cos4 sin4，0得42= 2 ，|MN|=1 2=2 ，因为 C2 的半径为 1，则C2MN 的面积121 sin 45o =1.2222x2t【 2014， 23】已知曲线 C ： xy1，直线 l ：2（ t 为参数） .49y2t( )写出曲线 C 的参数方程，直线l 的普通方程；（）过曲线C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30o 的直线，交 l 于点 A ，求 | PA |的最大值与最小值.【解析】： .()x2cos曲线 C 的参数方程为：3sin（为参数），y直线 l 的普通方程为： 2 x y 60

13、（）（ 2）在曲线 C 上任意取一点 P (2cos,3sin54cos3sin6 ，)到 l 的距离为 d5则d256，其中为锐角且 tan4| PA|05sin.sin 3053当 sin1时， | PA |取得最大值，最大值为22 5；5当sin12.时， | PA |取得最小值，最小值为55x45cost,x 轴的正半轴为【 2013， 23】已知曲线 C1 的参数方程为5(t 为参数 )，以坐标原点为极点，y5sin t极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 2sin .(1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C1 与 C2 交点的极坐标 (0,0 2)x4 5cos

14、 t,2 (y 5)2 25，解： (1) 将消去参数 t，化为普通方程 (x 4)y 5 5sin t即 C1： x2 y2 8x 10y16 0.xcos ,222将sin代入 x y 8x10y16 0 得 8cos 10sin 16 0.y所以 C1 的极坐标方程为2 10sin 16 0. 8cos(2)C2 的普通方程为x2 y2 2y 0.x2y28x10 y160,解得x 1,x0,由y22 y 0y 1或x2y 2.所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为2,， 2,4.2【 2012， 23】已知曲线 C1 的参数方程为x2cosx轴的正半轴为y（ 为参数），以坐标原点为极

15、点，3sin极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程是2 。正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上，且 A， B，C， D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，）。3（ 1)求点 A， B， C， D 的直角坐标 ；（ 2）设 P 为 C 上任意一点，求 | PA |2|PB|2|PC|2| PD |2 的取值范围 。1【解析】（ 1）曲线 C1 的参数方程x2 cosy3sin化为直角坐标方程为x2y21 ，49曲线 C2 的极坐标方程2 化为直角坐标方程为x2y24 ，因为点 A 的极坐标为（2， ），3所以点 B 的极坐标为（2， 5），点 C 的极坐标为3），点 D 的极坐标为（

16、2， 11），66因此点 A 的直角坐标为（1，3 ），点 B 的直角坐标为（3， 1），点 C 的直角坐标为（1，3 ），点 D 的直角坐标为（3， 1）。（）设P（ 2cos， 3sin ），则22222| PA|PB| |PC|PD|(2cos1)2(3sin3) 2(2cos3) 2(3sin1) 2(2cos1)2(3sin3)2(2cos3) 2(3sin1)2(2cos1)2(3sin3) 2(2cos3) 2(3sin1) 2(2cos1)2(3sin3)2(2cos3) 2(3sin1)220sin 23232,52。因此 | PA|2|PB|2|PC|2| PD |2 的取值范围为32， 52 。x2cos【 2011， 23】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为22sin（为参数）yuuuvuuuvM 是 C1 上的动点， P 点满足 OP2OM ,P 点的轨迹为曲线C2( )求 C2 的方程； () 在以 O 为极点， x