2009年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学试题及详细解答(文科)

1、2009 年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）本试卷分第I卷（选择题） 和第卷 （非选择题） 两部分， 第 I 卷1 至2 页，第卷3 至9 页，共150分。考试时间120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第 I 卷（选择题共40分）注意事项：1答第I 卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。2每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

2、要求的一项。1设集合 A x |1x2, B x x21，则AB21A x 1 x 2B x |x 12C x | x 2D x |1 x 2【答案】 A【解析】本题主要考查集合的基本运算以及简单的不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查 .A x |1x2,B x x21x | 1 x12， A B x 1 x 2 ，故选 A.2已知向量 a(1,0), b (0,1), ckab(k R), dab ，如果 c / d ，那么A k 1 且 c 与 d 同向B k 1且 c 与 d 反向C k1 且 c 与 d 同向D k1 且 c 与 d 反向【答案】 D【解析】 .k.s.5.u.

3、c 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法 .属于基础知识、基本运算的考查.a1,0 ， b0,1 ，若 k1 ，则 cab1,1 ， d ab1,1，显然， a 与 b 不平行，排除A、B.若 k1，则 ca b1,1 ， dab1,1 ，即 c / d 且 c 与 d 反向，排除C，故选 D.3若 (12) 4ab 2( a, b为理数 ) ，则abA 33B29C 23D 19【答案】 B【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式.属于基础知识、基本运算的考查.4C40012C43341 22C412 C4222C4421421282417122 ，由已知，得17122ab2 ， a

4、b171229 .故选 B.4为了得到函数ylg x3的图像，只需把函数ylg x 的图像上所有的点10A 向左平移 3 个单位长度，再向上平移1 个单位长度 w.w.w. s.5.u.c.o.mB向右平移 3 个单位长度，再向上平移1 个单位长度C向左平移 3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度D向右平移 3 个单位长度，再向下平移1 个单位长度【答案】 C【解析】本题主要考查函数图象的平移变换.属于基础知识、基本运算的考查.A ylgx31lg10x3 ，B ylgx31lg10x3 ，ylgx31lg x3C10，ylgx31x3lgD10 .故应选 C.5用数字 1， 2， 3，4，

5、 5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为A 8B 24C 48D 120【答案】 C【解析】本题主要考查排列组合知识以及分步计数原理知识.属于基础知识、基本运算的考查.2 和 4 排在末位时，共有A212种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有A4343224种排法，于是由分步计数原理，符合题意的偶数共有22448 （个） .故选 C.6“”是“ cos 21”的62A 充分而不必要条件B必要而不充分条件w.w.w. .s.5.u.c.o.mC 充分必要条件w.w.w. .s.5.u.c.o.mD既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】 本题主要考查 .k 本题主要考查三角函数的基本概念、

6、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查 .cos 2cos1当6 时，32 ，122kkkZcos2反之，当2 时，有36，22kkk Z或36，故应选 A.7若正四棱柱 ABCD A BC1D 的底面边长为 1， AB 与底面 ABCD成 60角，则AC到底面111111ABCD 的距离为3B 1C 2D 3A w.w. w. .s.5.u.c.o.m3【答案】 D【解析】 .k 本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念.属于基础知识、基本运算的考查 .依题意，B1 AB60 ，如图，BB1 1 tan603 ，故选 D.8 设D是 正p1

7、p2 p3及 其 内 部 的 点 构 成 的 集 合 ， 点 p0 是p1 p2 p3 的 中 心 ， 若 集 合SP|PD,| PP0| | PPi |,i 1,2,3 ，则集合 S 表示的平面区域是A 三角形区域B 四边形区域C 五边形区域D 六边形区域 w.w.w. .s.5.u.c.o.m【答案】 D【解析】本题主要考查集合与平面几何基础知识.5.u.c.o. 本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力 ,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型 .大光明如图， A 、 B 、C、D、 E、 F 为各边三等分点，答案是集合S 为六边形ABCDEF ，其中，P AP AP

8、A i1,302i即点 P 可以是点A.（第 8 题解答图）第卷（ 110 分）注意事项：1用铅笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。2答卷前将密封线内的项目填写清楚。题号二三总分151617181920分数二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。把答案填写在题中横线上。9若 sin4 , tan0 ，则 cos。53【答案】5【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算.属于基础知识、基本运算的考查.2cos1 sin24331由已知，在第三象限，55 ，应填5 .10若数列 an 满足： a11,an 12an (nN ) ，则 a5；前 8 项的和 Sn。（用数字作答）【答案】.

9、w【解析】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题 .m 属于基础知识、基本运算的考查 .a11, a22a12 ,a3 2a2 4 a,42a38a,5a24 ， 1 6281255S81易知2，应填 255.xy 2 0,11x4,则 sx y 的最大值为。若实数 x, y 满足x5,【答案】 9【解析】 .s.5.u 本题主要考查线性规划方面的基础知 . 属于基础知识、基本运算的考查.如图，当 x4, y5 时，sxy459 为最大值 .故应填 9.（第 11 题解答图）12已知函数 f ( x)3x ,x1,2 ，则 x。若 f (x)w.w.w.s.5.u.c.o.mx,x1,【

10、答案】 log3 2x 的值 . 属于基础知识、 基本运算的考查 .【解析】5.u.c 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x1x13xx log 3 2x2 x2log32由2，无解，故应填.x2y213椭圆1 的焦点为 F1 , F2 ，点 P 在椭圆上，若 | PF1 |4 ，则 | PF2 |；F1 PF292的大小为。【答案】 2,120.w【解析】 u.c.o.m 本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查 . a29,b23 ， ca2b2927 ， F1F227 ，又 PF14, PF1PF22a6 ， PF22，（

11、第22422271cosF1PF2又由余弦定理，得2 242 ， F1PF2120 ，故应填 2, 120 .14设 A 是整数集的一个非空子集，对于k A ，如果 k 1A ，那么 k 是 A 的一个“孤立元” 。给定 S 1,2,3,4,5,6,7,8,，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有- 个。【答案】 6.w【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力 . 属于创新题型 .什么是“孤立元”？依题意可知，必须是没有与k 相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与 k 相邻的元素 .故所求的集合可分为如下两类：因此，符

12、合题意的集合是：1,2,3 , 2,3,4 , 3,4,5 , 4,5,6, 5,6,7 , 6,7,8 共 6 个 .故应填 6.15（本小题共 12 分）已知函数 f (x) 2sin(x)cos x 。w.w.w. s.5.u.c.o.m（）求f ( x) 的最小正周期；（）求f ( x) 在区间 , 上的最大值和最小值。62【解析】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力（） fx2sinx cosx2sin xcos xsin 2x ，函数 f ( x) 的最小正周期为.x2 x3sin 2x 16，2（）由23，

13、 f ( x) 在区间,36 2 上的最大值为1，最小值为2 .16（本小题共14 分）如图，四棱锥 PABCD 的底面是正方形， PD底面 ABCD ，点E在棱 PB上。（）求证：平面AEC平面 PDB ； w.w.w. s.5.u.c.o.m（）当 PD2 AB 且 E 为 PB 的中点时， 求 AE 与平面 PDB所成的角的大小。【解法 1】本题主要考查直线和平面垂直、 平面与平面垂直、 直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力（）四边形ABCD 是正方形， AC BD ， PD 底面 ABCD ，PD AC ， AC 平面 PDB，平面 AEC平面 PDB

14、 .（）设ACBD=O ，连接 OE，由（）知 AC 平面 PDB 于 O， AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角， O， E 分别为 DB 、 PB 的中点，OE1 PD底面 ABCD ， OE/PD ，2，又 PD OE底面 ABCD ，OE AO ，OE1 PD2 ABAO在 Rt AOE 中，22， AOE 45 ，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45 .【解法 2】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz ，设 ABa, PDh,则 A a,0,0, B a, a,0 ,C 0,a,0, D 0,0,0, P 0,0, h（） ACa, a,0, DP0,0, h

15、 , DBa, a,0AC DP0, AC DB0 ，AC DP， AC DB ， AC 平面 PDB ，平面 AEC平面 PDB .P 0,0, 2a , E 1 a, 1 a,2 a（）当 PD2222AB且 E 为 PB 的中点时，设 AC BD=O ，连接 OE，由（）知 AC 平面 PDB 于 O， AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角，EA1 a,1 a,2 a, EO0,0,2 a2222，cosAEOEA EO2EA EO2， AOE 45 ，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45 .17（本小题共13 分）某学生在上学路上要经过4 个路口，假设在各路口是否遇到红

16、灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 1 ，遇到红灯时停留的时间都是2min 。3（）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min 的概率。 w.w.w. .s.5.u.c.o.m【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力 .（）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A ，因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件 A 的概率为P A1 11 11433327 .4min 为事件 B ，这名学生在上学

17、路上（）设这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是遇到 k 次红灯的事件Bkk 0,1,2.416P B02381 ，则由题意，得1332,P B2C42 122P B1C411222433813381 .由于事件 B 等价于“这名学生在上学路上至多遇到两次红灯”，PB PB0P B1P B28事件 B 的概率为9 .18（本小题共14 分）设函数f ( x)x33axb(a0) 。（）若曲线yf ( x)在点(2, f (x)处与直线y8 相切，求a, b的值；（）求函数f (x) 的单调区间与极值点。【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析

18、和解决问题的能力（）f x3x23a,曲线 yf ( x) 在点 (2, f( x) 处与直线 y8 相切，f 2034a0a4,f2886ab 8b24.f x3x2aa0（）,当 a0 时， f x0 ，函数 f ( x) 在,上单调递增，此时函数f ( x) 没有极值点 .当 a0 时，由 f x 0xa ，当 x,a时， f x0 ，函数 f ( x)当 xa,a时， f x0 ，函数 f ( x)单调递增，单调递减，当 xa,时， f x0 ，函数f ( x) 单调递增，此时 xa 是 f ( x) 的极大值点，xa 是 f ( x) 的极小值点 .19（本小题共14 分）223 。

19、已知双曲线 C : x2y21(a0, b0) 的离心率为3 ，右准线方程为 xab3（）求双曲线C 的方程；（）已知直线 xym0 与双曲线 C 交于不同的两点 A ，B ，且线段 AB 的中点在圆 x2y 25上，求 m 的值。w.w.w.s.5. u.c.o.m【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力a23c3c3（）由题意，得a，解得 a 1,c3 ， b2c2a2C 的方程为x2 y212 ，所求双曲线2.（）设 A 、 B 两点的坐标分别为x1 , y1 ,x2, y2，线段 AB 的中点为 Mx0 , y0 ，x2y221由 xym0 得 x22mxm22 0 （判别式0 ） ,x0x1x2m, y0x0m2m2,点 M x0 , y0 在圆 x2y25上， m22m25 ， m1.20（本小题共 13 分）设数列 an 的通项公式为 an pnq(nN, P 0) 。数列 bn 定义如下： 对于正整数 m， bm 是使得不等式 anm成立的所有 n 中的最小值。（）若 p1 , q1，求 b3 ；23（）若