论文函数的极值问题在实际中的应用

1、函数的极值问题在实际中的应用一、函数求极值方法的介绍利用函数求极值问题，是微积分学中基本且重要的内容之一，函数求极值的方法很多，但主要可分为初等方法和微积分中的导数方法等。用初等方法求最值问题，主要是利用二次函数的最值性质，二次函数非负的性质，算术平均数不小于几何平均数。正弦，余弦函数的最值性质讨论问题。 一般而言， 他需要较强技巧， 在解决某些问题时，其解法让人赏心悦目，但这些方法通用性较差， 利用高等数学的导数等工具求解极值问题，通用性较强， 应用也较强，应用也较广泛，下面给出用导数求极值最值得一些定理和方法。1、一元函数极值的判定及求法定理 1（必要条件）设函数f ( x) 在 x0 点

2、处可导，且在x0 处取得极值，那么 f ( x) 0 。使导数为零的点，即为函数f ( x) 的驻点，可导函数f (x) 的极值点必定是它的驻点，但反过来， 函数的驻点却不一定是极值点。 当求出驻点后， 还需进一步判定求得驻点是不是极值点，下面给出判断极值点的两个充分性条件。定理 2（极值的第一充分条件）设f 在 x0 连续，在某领域u (x0;) 内可导。（ 1）若当取得最小值。（ 2）若当x( x0, x0 ) 时 f ( x)0 ，当 x( x0 , x0) 时 f (x)0 ，则 f 在点 x0x( x0, x0 ) 时 f ( x)0 ，当 x( x0 , x0) 时 f (x)0

3、，则 f 在点 x0取得最大值。定理 3（极值的第二充分条件）设 f 在 x0 连续，在某领域 u ( x0 ; ) 内可导， 在 x x0 处二阶可导，在xx0 处二阶可导，且f(x)0， f ( x0 ) 0 。（ 1）若 f( x0 )0 ，则 f 在 x取得极大值。0（ 2）若 f ( x0 )0 ，则 f 在 x0 取得极小值。由连续函数在 a,b 上的性质，若函数f 在 a, b 上一定有最大、最小值。这就为我们求连续函数的最大、最小值提供了理论保证，本段将讨论怎样求出最大（小）值。在一个区间上， 一个函数的最值可能在不可导点取得，也可能在区间的端点取得，除去这两种情况之外，必然在

4、区间内部的可导点取得，根据上面的必要条件， 在这些点的导数为 0，即为驻点。因此， 我们如果要求一个函数在一个区间的最值，只要列举出不可导的点，区间端点以及驻点，然后比较函数在这些点的最值，即可求出最值。下面我们给出用导数方法求函数最大、最小值的方法，步骤：（ 1）求函数 f ( x) 的导数 f(x) ；（ 2）令 f( x)0 ， 求 出f ( x) 在 (a,b) 内 的 驻 点 和 导 数 f(x) 不 存 在 的 点1x x0 , x1, x2 ,., xn ；（ 3）计算函数值 f ( x2 ),., f ( xn ), f (a), f (b) ；（ 4）比较上述函数值的大小，最

5、大者就是f ( x) 在区间 a, b 上的最大值，最小者就是 f (x) 在闭区间 a, b 上的最小值。2、多元函数极值的判定在实际问题中， 往往会遇到多元函数的最大值最小值问题。 与一元函数相类似， 多元函数的最大值， 最小值与极大值极小值有密切联系， 因此我们以二元函数为例， 先来讨论多元函数的极值问题。定义设函数 zf ( x, y) 的定义域为d 。 p0 (x0 , y0 ) 为 d 的内点。若存在p0 的某个邻域 u 0 ( p0 )d ，使得对于该邻域异于 p0的任何内点 ( x, y) ，都有f ( x, y) f ( x0 , y0 )则称函数f ( x, y) 在点 (

6、x0 , y0 ) ，点 ( x0 , y0 ) 称为函数f (x, y) 的极大值点；若对于该领域内异于 p0 的任何点 (x, y) ，都有f ( x, y)f ( x0 , y0 )则称函数 f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 有极小值f (x0 , y0 ) ，点 ( x0 , y0 ) 称为函数f (x, y) 的极小值点，极大值、极小值统称为极值，使得函数取得极值的点称为极值点。关于二元函数的极值概念，可推广到n 元函数，设 n 元函数 uf ( p) 的定义域为 d 。ppu (p )dp的任何点 p ，都0 为 d 的内点，若存在0 的某个领域0，使得该邻域内异于

7、0有f (p) f (p0 ) （或 f (p)f (p0 ) ）则称函数 f ( p) 在点 p0有极大值（或极小值）f ( p0 ) 。二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决，下面两个定理就是关于这问题的结论。定理 1（必要条件）设函数zf ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 具有偏导数，且在点( x0 , y0 ) 处有极值，则有f x( x0 , y0 )0, fy ( x0, y0 )0怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题。2定理 2（充分条件）设函数 z f (x, y)在点 ( x0 , y0 ) 的某个邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx

8、 (x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 )0 ，令f xx( x0 , y0 )a, f xy( x0 , y0 ) b, f yy( x0, y0 ) c则 f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下：（ 1） acb20 时具有极值，且当a0 时有极大值，当a0 时有极小值；（ 2） acb20 时没有极值。对于多元函数中有条件约束的这类问题，可采用拉格朗日乘数法。拉格朗日乘数法要找函数 zf ( x, y) 在附加条件( x, y)0 下的可能极值点，可以先做拉格朗日函数l (x, y)f (x, y)( x, y)其中为参数，求其对x 与 y

9、 的一阶偏导数并使之为零，然后与方程（2）联立起来：f x (x, y)x ( x, y)0f y (x, y)y (x, y)0( x, y)0由这方程组解出x, y 及，这样得到的( x, y)就是函数f (x, y) 在附加条件(x, y)0下的可能极值点。这方法还可以推广到自变量多于两个条件多于一个的情形。至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来确定。有了上面的基础，下面将重点介绍函数的极值问题在实际中的应用。二、函数极值问题的应用在实际问题中为了发挥最大的经济效益，往往要求在一定条件下，提高生产效率，降低成本，节省原材料，解决这一类问题， 就需要用到函

10、数的最大值最小值知识，这一节讲重点看一些这方面的例子。1、 合理密植设每亩中50 株葡萄藤，每株葡萄藤将产出75kg 葡萄，若每亩再多种一株葡萄藤（最多 20 株），每株产量平均下降1kg 。试问每亩种多少株葡萄藤才能使产量达到最高？解：设每株多种x 株，则产量为f (x) (50 x)(75 x),0 x 20问题归结为求目标函数f (x) 在 0,20 上的最大值3f ( x)252x令 f (x)0 ，解得 x12.5f(x)20由二阶微商检验法，当 x12.5 时， f ( x) 有极大值， 而 x12.5 是 0,20 内唯一极大值点，根据实际，取整体株x13 时， f (x) 取得

11、最大值，即每亩种501363 株时，产量可达最高 f (13)3906( kg) 。2、环境污染某经济开发区的项目建设，对释放到空气中的污染要进行控制，设对污染的测定要求与污染源的距离至少要1km ，在污染源相对集中的情况下，空气受污染的成都与释放的污染量成正比， 与到污染源的距离成反比（设比例系数为 1），先有两个相距 10km 的工厂区 a与 b ，分别释放的污染为60g / ml 与 240g / ml ，若想在 a ， b 间建造一个居民小区，试问居民小区建在何处所受污染最小？解：设 x 为居民小区受到污染最小时到工厂区a 的距离，居民小区受工厂区a 的污染为 60 ，居民小区受工厂区

12、b 的污染为240，居民小区受到的总污染为p ，这就是要寻找x10 x的目标函数p(x)60240, x1,9x10 xp ( x)60240，2(102xx)令 p ( x) 0即602400x2(10x)2解得 x110 , x210(1,9, 舍去 ) 1,9 再与区间1,9 的端点 x 1, x9 的值作比3较，得10)6024054( g / ml) （最小）p(101031033p(1)60200g / ml)1987(p(9)60240g / ml)910247(9410居民小区建在离工厂区akm 处所受污染最小。33、用料最省市场上装饮料的易拉罐是用铝合金制造的，罐身（侧面和底

13、部）用整块材料拉制而成顶盖的厚度是罐身厚度的3 倍。以容积为v 的易拉罐为例，问如何设计一拉罐的底面直径和高才能使用料最省？解：记易拉罐的容积v350ml （常数）设罐身的厚度为，顶盖为 3，底面直径为d ，高 hv4v，于是，罐身用料（体积）为dd2( )2f1 (d )(d )2dh(d 24v )24d顶盖用料（体积）为f2 ( d ) 3( d )23d 224易拉罐的用料f (d )f1 (d )f2(d )(d 24v ),0dd因此，问题化为求目标函数f (d )(d2 4v ) 在 (0,) 内的最小值。d对 f (d ) 求微商，得f ( d)(2d4v2 )d令 f (d

14、)0 得 d32v) 内的惟一驻点。是 f (d ) 在 (0,这是实际问题。最小值肯定存在，因此d32v323506.06cm 是 f (d ) 的最小值点。而高 h4v4vd2d12.12cm 。d 2d 34、最快速度设一辆水陆两用汽艇在水上的速度为v1 (km/ h) ，在陆地上的速度为v2 (km / h) 。现因需要，要求汽艇最快 地 从 水 中 的 a的 到 达 陆 地 上 的 b点 （ 图 ） ，5试问两用汽艇应按怎样的路线走？解：由常识知道，汽艇在水中或陆地上都应该走直线，所以，汽艇实际走的路程为两直线组成的折线 appb ，如图 3 所示，汽艇的行驶时间为t ( x )h1

15、2x2h22(l x)2x l 。v1,0v2问题归结为求 t ( x ) 在 0,1 上的最小值，即x 满足什么条件，t (x ) 取得最小值。对 t( x ) 求微商，得xlxt ( x )v1 h12x2v2 h22(l x)2由于1h121h220,0 x lt ( x )33v1 (h12x2 ) 2v2 h22(l x)2 2可知 t ( x) 在 (0, l ) 内的零点 x0 必为 t (x ) 的极小值点， 从而是 t ( x ) 在 0, l 上的最小值点。x0 满足 t ( x)0，即x0lx0v1 h12x02v2 h22(l x0 )26记x0lx0sin2 ，则x0

16、2sin 1 ,(l x0 )2h12v2 h22sin1sin 2v1v2如果将汽艇换成一束光线，水与陆地换成两种不同的介质，这就是光学中著名的折射定律，其中1 , 2 ，分别是光线的入射角与折射角。定律告诉我们：光线总是沿着最省时间的路线传播的。5、库存成本模型库存成本模型是存贮论的一个确定性模型，而存贮论则是运筹学的一个分支。工厂要保证生产， 需要定期的订购各种原材料存在仓库里，大公司也需要成批的购进各种商品，放在库房里以备销售， 不论是原材料还是商品， 都遇到一个库存多少的问题， 库存太多， 库存费用就高；库存太少，要保证供应，势必增多进货次数，这样一来，定货费高了，因此，必须研究如何

17、合理地安排进货的批量、次数，才能使总费用（库存费+定货费）最省的问题。这里讨论的模型是：需求恒定，不允许缺货，要成批进货，且只考虑库存费与定货两种费用。由于在每一进货周期内，都是初始时进货，即货物的初始库存量等于每批的进货量x ，以后均匀消耗，在周期末存量为0，故平均库存量为x 。2为了弄清库存-成本模型的运作过程，下面举一例。例a 公司每月需要某种商品2500 件，每件金额150 元，每年每件商品的库存成本为金额的 16%，每次定货费100 元，试求最优批量及最底成本（即库存量与订货费之后最小）。解：设批量为 x( x0) ，则平均库存量为x x（库存量） t（时间） o ，订货次数为 25

18、00 。2x库存费 =（库存量（件）（库存成本 / 件）x15016%=x,212订货费 =（定货次数）(定货费 /次）2500250000=100xx库存成本 c ( x)库存量 + 订货量从而 c ( x) x250000xc (x)1250000x2另c ( x)0,得x 500(件），x（舍去）500这是时间问题， 最小值一定存在， 因此，最底成本这就是说，最优批量为每次500 件，每月订货次数为6、最大利润问题c (500) 5002500001000(元），25005001000 元。5次 ，最低库存成为5007设某产品的成本函数和价格函数分别为c ( x) 3800 5xx2,

19、p( x) 50x2100100决定产品的生产量，以使利润达到最大。解：销售额函数为r( x) xp(x) 50 xx2,100令 r (x)c ( x),xx50550500求得 x2500 ，又因为11r (x)c ( x)50500所以生产量为2500 单位时，利润达到最大。7、化学问题在萃取过程中，若用v 毫升的萃取剂分两次萃取，证明，当每次的萃取剂用量为v 毫2升时，其萃取效果最好。解：设有 v1 毫升含有 w 克溶质的水溶液，若在第一次萃取时加入v2 毫升萃取剂，则由第二章可知在水溶液中所剩余的溶质为w1wkv1kv1v2第二次萃取时，再把剩下的vv2 毫升萃取剂加到含有w1 克溶

20、质的 v1 毫升水溶液中，可得第二次萃取后在水溶液中所剩余的溶质为w2w1 kvkv1(vv2 )kv1kv1wv2kv1(v v2 )kv1w( kv1) 2v2 )( kv1v v2 )(kv1要求萃取效果最好，也就是要选择适当的v2 使两次萃取后在水溶液中所剩余的溶质最少。求函数对的导数得dw2w (kv1) 2v 2v2dv2( kv1 v2 )2 (kv v v2 )2解方程 dw20 即 v 2v20 。得 v2v 。由此可见，函数 w (v2 ) 有一个驻点 v2v 。dv2228在这个实际问题中，驻点就是函数w (v2 ) 的最小值点，因此当两次的萃取剂用量都是v 毫2升时萃取

21、剂效果最好。上面的离子都是函数极值问题在实际中的应用，函数求极值方法的研究已是较成熟的一门学问， 极值问题在经济生活及工程技术等方面应用广泛，这里只选取了几个典型的方法加以说明。极值方法是解决现实中使产品最多、用料最省、成本最低等问题的最基本的方法，随着科学技术的发展社会的进步，这样的现实问题不仅越来越多而且越来越复杂，解决这些问题的极值方法迅速发展，形成了以最优化问题为研究内容的一个重要数学分支 最优化理论。由于电子计算机的日益广泛应用，最优化理论和算法有机结合起来，得到了迅速发展，在实践中正在发挥着越来越大的作用。参考文献：1 谢季坚、李启文 大学数学 微积分及其在生命科学、经济管理中的应

22、用第二版 高等教育出版社2 上海交通大学 高等数学 科学出版社 2004 年 3 月3林真棋 微积分在多元函数最值问题中的应用闽江学报 2004 年 3 月4华东师范大学数学系数学分析（上）第三版高等教育出版社5 何炳生 （南京大学数学系）杨振华（南京邮电大学物理系）6 王文丰一个多元函数的最值高等数学研究所（2000 年 3 月9functionminimumprobleminactualcenter applicationliu ya-haoabstract: in the daily life, the production practice, the regular meeting meetsa such kind of question, how many causes the product under the certaincondition, the cost to be lowest and so on in ma