最速降线问题数学模型概述

1、Ch1.数学模型概述 数学模型分类,1）依数学模型功能分为：定性的定量的 2）依数学模型目的分为：理论研究的预知结果的 优化的. 3）依数学模型变量关系分为： 代数的几何的 积分的 4）依数学模型结构分为： 分析的非分析的 图论 5）依数学模型研究对象特征分为： 确定的与随机的静态的与动态的 连续的与离散的线性的与非线性的,6）依数学模型所用方法分为： 初等模型 DE模型 优化模型 统计模 控制论模型逻辑模型扩散模型 7）依数学模型的领域分为： 人口模型交通模型生态模型生理模型 经济模型社会模型工程系统模型以及电力模型 8）依数学模型对象的了解程度分为： 白箱模型 灰箱模型 黑箱模型. 1-4

2、建模步骤和原则 1）模型准备：了解问题的实际背景，明确建模的目的。 2）模型假设：由实际对象的特性和建模的目的，在掌握必要资料基础上对问题进行必要的简化，并用精确的语言作出假设。(关键一步),3）模型建立:据假设 ，用适当数学工具刻划变量间的关系，建立数学结构（公式，图形，表格） 4）模型求解:对模型求解，包括解方程，图解，逻辑推理，定理证明，特点性分析等（设计技术，计算技巧） 5）模型分析:对求解结果在数学上进行预测，分析各变量关系或特点性态，或根据结果作预测或得出最优决策与控制方案. 6）模型检验:用实际现象，根据检验模型的合理性，通用性（正确性）若与结果不符，要重新假设建模. 7）模型应

3、用:若拓展结果正确，满足问题的要求，便可以利用此模型解决实际问题. 注 可以Newton万有引力模型为例，叙述建模的七个步骤.,Ch2建模的常用方法,（1）理论分析法（2）模拟方法（3）类比分析法 （4）数据分析法（5）人工假设法（6）物理系统建模法 请作习题二，2.5 MP MO MS MAP MAN，MT MF,M准备,M假设,分析 检验,M建立,M求解,M应用,Ch3.初等模型,简单方法建立问题的数学模型： 1.代数法 此方法涉及到以下四个例题: 1）例3.1.1 生小兔问题（Fabonacci问题） 2）例3.1.2 椅子问题（战略核武器杀伤力问题） 3）例3.1.3 雨中行走问题 4

4、）例3.1.4 动物形体问题 2.图解法 1）例3.1 实物交换问题 2）例3.2.2 导弹核武器危机,3.量纲分析法 1）单摆运动 2）开普勒第三定律 4.初等概率法 1）例3.4.1 Buffon问题（投针问题） 2）例3.4.2 下赌注问题 3）例3.4.3 Banach火柴盒问题 4）例3.4.4生男生女问题 5）例3.4.5供电问题 另外还有 递推法 人狗鸡米渡河问题 夫妻过河问题 图形法 市场平衡问题 奇偶校验法（铺方砖法)及优化决策问题-工厂选址问题,作业p37,2,3,9 习题3 3.1；3.4；3.12；3.16 第一次作业 1. 3.12 候车问题 公共汽车每隔五分钟有辆公

5、共汽车通过，乘客到车站的任一时刻是等可能的，试分别用几何概型，均匀分布概型求乘客候车不超过三分钟的概率（假设公共汽车一来，乘客就上车） 2. 3.16 已知某项提案有48%的选民支持，并假设职工代表确实 能解决选民的观点。试问由435名代表组成的职代会会通过这项提案的可能性有多大。,Ch4. DE模型（ Ch5. 差分方程模型Ch6. 工程系统中的模型）,在化工、仪表、通讯、交通、生物、经济、医学、工程及社会等领域中，有大量的系统是DE模型。建模的方法可归纳为： （1）由规律列方程：如数学定律、物理、力学、电学、光学、生物学、药学、化学定律 （2）由微分法列方程：如微元法 （3）模拟近似法：有

6、些象生物，经济学科的实际问题，规律性不清楚，建模时在不同的假设下去近似模拟实际现象，得到DE。求出解来与实际对比。看其能否刻划某些实际现象。,本章研究DE模型的建模方法： 涉及：几何；力学；电学；化学；热学；扩散；医学；人口；体育；社会经济等。 4-1几何问题 建立几何问题的数学模型方法： 1）找出反映该问题的几何关系 2）把几何量的表达式代入该关系式 3）得到DE即几何问题的数学模型 模型三、 最速降线问题 1.历史背景：1696年，瑞士数学家Johann Bernoulli在教师报上发表了一封公开信。信的内容是：请世界上的数学家解决一个难题- “最速降线问题” 此问题的提出一时轰动了欧洲。

7、引起了数学家的极大兴趣。之后 此问题由Newton，Lebeniz，Bernoulli兄弟所解决，从而产生了一门新的学科-变分学。,2.问题：确定一条连接二定点A，B的曲线。使质点在这曲线上用最短的时间由A滑向B点(介质的摩擦力与空气阻力忽略不计）。 有人指出：连结A，B的直线段即为速度线。回答是否定的。在1630年Newton实验：在铅垂平面内，取两个球，其中一个沿圆弧从A滑到B。（先到达B） 另一个沿直线从A滑到B。（晚到达B） Galilei认为速降线是圆弧线（错了）。 3.建模 3.1 模型准备 选取直角坐标系 参看下页图,3.2 模型假设 设想质点由A滑到B的路径， 使所需时间为最短

8、（像光学一样） 依光学原理（史奈尔折射定律）得 （常数）（1） 3.3 模型建立。 据能量守恒定律，质点在一定高度处的速度，完全由其到达该高度处所损失的势能确定，而与路径无关。该质点质量为m，重力加速度为g，质点由A滑到点 的速度为v.则 （2） 由几何关系，有 （3）,由（1）（2 ）（3） ，得： （4） 此为速降线的数学模型的DE. 3.4 模型求解 把（4）变为 （5） 则,所以 积分得： 因为曲线过（0，0），所以当t=0时，有x=y=0.于是 =0.所以 （6） 而 （7） 若令 则(6)(7)变为 （8）,此为旋轮线（圆滚线，外摆线）的参数方程.（外摆线为齿轮线） 3.5 模型分

9、析 3.6 模型检验 注1 只要适当选a，可使摆线过B点。 3.7 模型应用 注2 速降线的深远意义： 1，由此产生了变分法近代分析的一重要分支； 2，揭示了物理世界的心脏中包含着简单性. 注3 应用变分法。可同样得到模型（4）. 设s为 的弧长，则有 又由弧微分有 所以 整个下降时间是 的积分.故，需取最小值的积分,（x,y）,是 ： （9） 此为求泛函 的极小值问题。 令 由变分法知，（9）的解所满足的欧拉方程为 即 此即为（4）.,作业: 习题四4.1 1.如图所示，沿 轴及直线 是河的两岸，河水以 匀速 朝 轴方向流动， 小船从 处入河相对 于河水的速度 直接朝原点行驶. 求船行路线，

10、并确定 与 须满足 什么条件才能使小船到达彼岸， 船在何处登岸？ 问题1: 建立我国海上人员缉私的实际模型。 问题2: 外摆线齿轮与圆渐开线齿轮数学模型的区别研究,模型四、追线问题（追击模型）,1.问题描述（模型准备） 我海上缉私舰雷达发现，距c海里处有一艘走私船正以匀速a沿直线行驶.缉私舰立即以最大速度b追赶，若用雷达进行跟踪。保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐路线和追上的时间。 2. 模型假设 （见下页图）,1）选取走私船逃跑 的方向为y 轴方向； 2）缉私舰在（c，0） 处发现走私船在（0，0）处。 3）船舰视为两个质点。 4）设发现船的t时刻时，走 私船到达R（0，at）点，缉私舰到达D（ ， ）. 3. 模型建立 因为直线DR与路径相切，所以由几何关系，有 （10） 两端对x求导，有 （11） 代入 （最大速度为b（缉私舰）,y-at,得到 （12） （此处负号是因为s随x减小而增大） 所以由（11） ，（12），得追线的DE数学模型： （13） 其中 （13）是不显示y的DE.令 则上式可化为 又 所以,所以 （14） 先确定k. 若 从而 积分（14），有： 当t=0时， 即走私船被缉私舰捕捉前所跑过的距离为 所用的时间为： 若 即 则由（14）可得： （15）,若 即