数列的通项公式说课

1、数列的通项公式说课牡丹江市第一高级中学 梁玉俊 实验教材在我校试验已有两年了，通过两年的试教，对这套教材有了 深刻的体验和认识，尤其是在新课程理念下， 实验教材作为一种主导信息 源在转变教师的教学方式和学生的学习方式方面起到了非常重要的作用，它为 促进教师专业化发展提供了广阔的空间。下面结合数列这一章的最后一节 “求数列的通项公式”的教学实践从三部分即“数列这一章的教学体验” 、“案 例研究”、“教学反思”来谈谈我对这套教材的理解和认识。一、数列这一章的教学体验1、本章的知识结构与学生的认知结构得到了较好的统一。本章的知识结构是：数列的基本概念特殊数列数列的应用。首先 在理解了数列的基本概念后

2、，进一步认识两个特殊数列：等差、等比数列，通 过对两个特殊数列的研究使学生对数列的认识得到深化，进而解决一些实际应 用问题。同时，教材注重了通过实例分析引入新知识，这符合从感性认识到理 性认识的认知规律，因此说，教材的这种设计符合学生的认知结构。2、教材设计突出了数学思想方法，符合这套教材的特色。 这一章在内容设计上突出了化归与转化思想、数学建模思想等，例如：一 些实际应用问题（分期付款问题）需要建立数列模型，转化为等差、等比数列 求和问题。教材在编写上注意了数学方法的层层递进，例如：在数列的概念这 一节涉及到了观察法，归纳法；在求等差、等比数列通项公式时用到了“作差 求和”“作商求积”的方法

3、。这些方法在后面的知识学习中都有所体现。3、整章内容的设计精简实用，顺理成章 本章例、习题的配置数量多，但没有重复性例题，习题知识点覆盖全，尤 其是设置了 10 个研究性问题，穿插在整章内容中，而且没有给出解答，提高 了学生兴趣，这一点于其它章不同，前面几章中有些研究性问题，在提出问题 的同时，也给出了解答，这就失去了它的设计意义，本章第 2 节设置了“数列求和” ，目的是让学生理解求和概念及求和符号， 提前安排这一节，分散了难点，使得后面学习等差、等比数列前n 项和及特殊数列求和线的难度适中， 教学时感到很自然。 在习题中实际应用问题不是很多， 最后一节“数列应用举例”主要是研究数列求和及求

4、通项公式，应增加几个实 际应用问题，让学生对数列知识加以深化。4、这一章为教师的“教”于学生的“学”提供了广阔的天地 本章的例、习题及 10 个研究性问题为教师的教学提供了很多素材，同时 为培养学生的探究意识和探究能力提供了广阔的思维空间。这些研究性问题的 设计体现了新大纲的要求：注重培养学生数学的提出问题、分析问题、解决问 题的能力，发展学生的创新意识和应用意识，提高学生数学探究能力、数学建 模能力和数学交流能力。另外，在教学实践中，这些研究性问题的设计可以激 发学生的学习兴趣和求知欲，为培养学生的思维能力搭建了一个平台，给了学 生充分展现自我的机会，促进了学生学习方式的转变，同时，对教师的

5、教学方 式提出了挑战，如果教师还沿用传统的教学方式，就会造成资源浪费，这套教 材就失去了它的价值，就会使教师陷入讲教材的困难境地。二、实例研究 案例：求数列的通项公式 背景：这是“数列应用”这一节中的最后一节课，在前面几节课里研究了 利用观察法、待定系数法，作差求和，作商求积，数列前 n 项和等方法求通项 公式，在此基础上着重研究形如 an+i=pan+q, an+2=pan+i+qan (p+q=1)的通项公式 问题，教材上是以两道例题的形式出现的。教学模式：合作探究式 教学目的：通过例题研究，培养学生创新意识和探究能力，数学交流能力 教学设计：以小组合作的形式进行研究教学片段： 师 ：上节

6、课我们解决了一些基本的求通项公式的问题，本节课我们着重研究 解决满足 an+1 = pa n + q 这种递推关系的数列的通项公式问题，请同学 们阅读教材，在阅读过程中有什么问题，可以以小组为单位进行讨论， 希望同学们能提出不同于教材的意见。 (学生开始阅读，教师巡视指导， 一段时间后)师 ：请同学们发表一下小组研究的意见。生 1：我们小组将教材的解法归纳如下：换元代入变形待定系数构造 等比数列，但其解法我们无法想到，为什么要换元呢？换元一定要换成 这种形式吗？生 2：我们小组解决了这个问题，在例 4 前面有一段话，在 an+1=anq 中，尝试令 an = bn+C,就得到了题干所给形式的递

7、推关系，所以就尝试令an = bn - c ,目的是构造等比数列。生 3：我们小组的意见是：教材的解法思路很好，只是令人难以想到，因此，我们小组将其重新理顺了一下，将 an+i = pa n + q变形为an+i - c=p(a n - C)，利用待定系数法求 C,从而构造出了等比数列bn，这样思路就自 然了。生 4：我们小组的意见是：教材的解法主体思想是构造等比数列，基于这个想 法，我们研究出了一个新的方案：在 an+i = pa n + q 的两端同除以 pn+i 得an+i/ p n+1 = a n/pn + q/ p n+1，令 bn = a n/pn，贝U bn+i - b n =

8、q / p n+1，利用 作差求和法可求 bn ，从而求出 an 。生 5：前面几组同学提出的方案都非常好，我们小组的方案与他们有所不同， 我们由 an+1 = pan + q 得 an+2 = pan+1 + q，作差得 an+2 a n+1 = p(a n+1 an)， 令bn = a n+1 - an，贝U bn+1 = pb n，这样就构造出了等比数列bn，可利 用作差求和法求 an。生6：教材上最后一个例题将所给等式变形为an+1 - a n= a( an - a n-1 )，这种变形可以理解，因为教材上已经体现他的探索过程，但是不是所有的 形如 an+2=pan+1+qan 的通项

9、公式问题， 都有可变形为 an+2- a n+1= a ( an+1-an)呢？对p、q有何要求？这一节课学生通过小组合作，对教材提出了质疑，这种敢于挑战书本、挑 战权威的现象是十分可喜的，那么，是谁给了学生这种勇气呢？应该说是在小 组合作中，通过相互间思维的碰撞产生的。由此可见，小组合作是课堂教学中 一种十分有效的途径和方式，它可以将教材作为一种主导信息源加以整合，而 实验教材搭建了改变学生学习方式的平台，在内容的编写，研究性问题的 设计等方面都在促进学生转变学习方式。三、教学反思1、实验教材向教师的观念提出了挑战“学生是教学中的主体，教师则起主导作用” ，这是教学界已形成的共识。 然而，现

10、状似乎与这一指导思想的要求相距甚远，课堂教学中，教师演大戏， 唱主角，学生只唱配角，甚至只 边鼓的现象大量存在，这些教师未必就不 感觉到累， 他们担心， 如果让学生来唱主角， 就容易出乱子， 教学进度完不成， 事实上，实验教材在内容的编写上与旧教材不同，例题量增大，而且还增 加了许多研究性问题， 非常强，如果教师在课堂上还唱主角， 去讲教材， 那么，更会影响进度，更不利于学生能力的培养。怎么办？我们教师必须转变 自己的观念，课堂教学中，唱主角的只能是学生自己，因为课堂教学的根本目 的，时不仅让学生得到知识，更重要的是让学生学会如何学习知识，让学生得 到发展。实验教材提供了一个很好的信息源，它促

11、使教师必须转变自己的 观念，只有这样才能充分利用好教材，同时达到培养学生能力的目的。2、实验教材的试教促使教师改变传统的教学方式，促进了教师的专业 化发展在新课程理念下，实验教材 给教师提出了一个新的课题， 教师能否打破 传统教学模式成了一道难题，反思一下上面的案例，如果采取合作探究的方式 进行教学，通过师生互动，达到教学相长，这对教师自身素质的提高有很重要 的帮助，而实验教材的内容编排和问题设计为教师的教学提供了自由的发 挥空间，为学生的合作讨论、交流、探究创造了机会。在倡导培养学生创新意 识 和实践能力的今天，作为教师，特别要注意给学生留出探索、研究的机会， 让他们拥有充分的自由思考的空间

12、和时间，学生自己可以作的事就应该放手让 他们去试一试，这对于他们自身能力的培养，科学研究意识的形成，都是十分 必要的，这就要求我们以培养学生探究、创新能力的角度充分研究教材，不放 过任何一个有益于学生探究的机会，把教学过程设计成让学生再创造和再发现 的过程。如果没有一本有特色的教材，所有这些做起来是相当困难的， 实验 教材具有这一功能，只要我们充分利用好，我们的教学目标就一定能实现， 通过教材的研究，教学设计，促进教师专业化发展。3、实验教材的试题促进了学生学习方式的转变刚上高一的学生绝大多数在初中已养成了被动式学习方式，当他们第一次 接触实验教材的时候，他们觉得耳目一新，刚开始还在沿用初中的

13、学习方 法，等着老师讲教材，经过一段时间的引导，他们现在已经改变了旧的学习方 式，因为实验教材可读性非常强，而且涉及了很多有趣的研究性问题，他 们可以在课前主动学习，独立完成课后练习，这样在课堂上就有很多时间去研 究解决一些新问题，经过将近两年的学习，他们已经能够对教材上的问题提出 自己的看法，这样才出现了前面案例中的现象，可以说是实验教材给了他 们改变学习方式的机会，解决了课改带来的课时少、内容多的矛盾，达到了课 改的真正目的。4、实验教材编写建议从前面的案例中可看出，学生对教材给出的解法有不明之处，这说明教材 在编排上忽略了学生的思维层次，有些例题的解题过程没有体现思维过程，只 解决了“怎样解题”忽略了“为什么这样解” ，研究性问题的设计要注重启发 性，不要将解法直接告诉学生，这样会使学生失去探究的兴趣。5、教学时要走出片面追求“严谨” ，“系统”，忽视循环深化的误区受传统观念的影响，课程和教学中一度曾