高中常见数学模型案例

1、高中常见数学模型案例中华人民共和国教育部2003 年 4 月制定的普通高中数学课程标准中明确指出： “数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”，“数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用， 体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程， 增强应用意识； 有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。 ”教材中常见模型有如下几种:一、函数模型用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。 函数模型与方法在处理实际问题中的广泛运用，两个变量或几个变量

2、，凡能找到它们之间的联系，并用数学形式表示出来， 建立起一个函数关系 （数学模型），然后运用函数的有关知识去解决实际问题，这些都属于函数模型的范畴。1、正比例、反比例函数问题例 1：某商人购货，进价已按原价a 扣去 25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营者中货物的件数x 与按新价让利总额 y之间的函数关系是 _。分析：欲求货物数 x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式， 关键是要弄清原价、 进价、新价之间的关系。若设新价为 b，则售价为 b（ 1 20%），因为原价为 a，所以进价为 a（ 1 25）解 ： 依 题 意 ， 有 b(1 0.2

3、)a(1 0.25) b(10.2)0.25化 简 得 b5 a ， 所 以5a4y0.2bxxna 0.2，即 yx, x442、一次函数问题例 2：某人开汽车以60km/h 的速度从 a 地到 150km 远处的 b 地，在 b 地停留 1h 后，再以 50km/h 的速度返回a 地，把汽车离开a 地的路 x（ km）表示为时间t（ h）的函数，并画出函数的图像。分析：根据路程速度时间，可得出路程x 和时间 t 得函数关系式x（ t）；同样，可列出 v(t) 的关系式。要注意v(t) 是一个矢量，从 b 地返回时速度为负值，重点应注意如何画这两个函数的图像，要知道这两个函数所反映的变化关系

4、是不一样的。解 ： 汽 车 离 开 a 地 的 距 离 xkm 与 时 间 t h之 间 的 关 系 式 是 ：60 t, t 0,2.5x150, t(2.5,3.5，图略。15050(t 3.5), t(3.5,6.560,t0,2.5)速度 vkm/h 与时间 t h 的函数关系式是： v0,t 2.5,3.5)，图略。50, t3.5,6.5)3、二次函数问题例 3：有 l 米长的钢材，要做成如图所示的窗架，上半部分为半圆，下半部分为六个全等小矩形组成的矩形，试问小矩形的长、 宽比为多少时， 窗所通过的光线最多，并具体标出窗框面积的最大值。解： 小矩形 x， y， 由 形条件可得：11

5、 xx9 yl 9 y l(11) x要使窗所通 的光 最多，即要窗框面 最大， ：sx 26 xyx 22 lx(11) x 2 44( x2l) 22l 2)2236443(44当 x2l ， yl (11 ) x(22)l4499( 44)即： x18此 窗框面 s 有最大 sm ax2l 2。3(44y22)可 ， 一般的 自 量 x，函数 y，并用 x 表示各相关量，然后根据 已知条件，运用已掌握的数学知 、 物理知 及其它相关知 建立函数关系式， 将 化 数学 ， 的数学化，也就是建立数学模型。二、数列模型数列模型有增 率 和 行中的 蓄与 款 。在高一年 教材中就有 数学 ，下面

6、以一个例 来分析 行中的数学建模 。例 4：某 行 立了教育助学 款，其中 定一年期以上 款月均等 本付息，如果 款 10000 元，两年 清，月利率 0.4575，那么每月 多少 呢？分析与假 ：按照 定， 款既要 本金， 要支付利息。在上述 中，到 款两年（即 24 个月）付清 ， 10000 元 款的本金与它的利息之和是多少呢？引 学生通 填表来回答：10000 元 款的本金（元）与它的利息之和1 个月后2 个月后3 个月后23 个月后24 个月后通 例子的分析， 与学生交流使学生 到：到期 款的含 即各月所付款 同到 款付清 所生利息之和， 等于 款本金及到 款付清 的利息之和， 算每

7、月 付款 。x 1.004575 x1.004575 23 x10000 1.004575 24可以 ，上述等式是一个关于x 的一次方程，且等号左 括号内是一个首 1，公比 1.004575 的等比数列的前 24 的和，于是：x11.004575 24100001.004575 2411.004575100001.004575 24(11.004575)即 x11.004575 24解之得 x 440.91提出 ：如果采用上述分期付款方式 款a 元， m 个月将款全部付清，月利率 r，那么每月付款款 的 算公式是什么？ 然 化 建立关于x 的方程。 采用分期付款方式 a 元，m 个月将款全部付

8、清，月利率 r，每月付款 x 元，那么：m 22a(1 r ) mx1 rxm 11 r.1 xrx 1 r x把右 求和，得a(1r )mx(1r ) m1，rar (1 r ) m所以： xr ) m万元。(11三、初等概率模型古典概率不 要求基本 践的出 具有等可能性，而且要求 本空 有限集，但 中却 常会碰到无限 本空 的情形， 于无限 本空 的情形， 常可 化 几何概率来解决。例 5：将 n 个球随机地放入n 个盒子中去，求每个盒子恰有一个球的概率。分析与求解：因 每一个球都可以放 n 个盒子中的任一个盒子，共有 n 种不同的放法，n 个球放 n 个盒子就有n n n= n n 种不

9、同的放法，而每种放法就是 本空 中的一个元素，所以 本空 中元素的 数 n n 个。 在来求每个盒子恰有一个球 ，球的不同放法的种数。第一个球可以放 n 个盒子之一，有n 种放法；第二个球只能放 余下的（n-1）个盒子之一，有（ n-1）种放法， ，最后一个球只可以放 唯一余下的盒子，所以n 个球放 n 个盒子中要使每个盒子中都恰有一个球，共有n!种不同的放法，因而所求得概率 ：a np( a)n n。几何概率所描述的随机 足： 的 本空 是一个可度量的几何区域（ 个区域可以是一 、二 甚至n ）； 中每个基本事件 生的可能性都一 ，即 本点落入某一个可度量的子集a 的可能性与a 的几何 度成

10、正比，而与a 的形状及位置无关。如下面的例子 “会面 ”是几何概率的典型例子。例 7：两位网友相 面， 定在下午4:00 到 5:00 之 在某一街角相会，他 好当其中一人先到后，一定要等另一人20 分 ，若另一人仍不到 离去， 两位朋友能相遇的概率 多少？（假定他 到达 定地点的 是随机的，且都在 定的一小 内）解：以 x、 y 分 表示两人到达的 刻， 两人相遇必 足下列条件：x y 20，两人到达 刻的所有可能 果可用 60 的正方形区域上的任意点（x， y）表示， 正方形上的所有点的集合构成了样本空间。如下图的阴影部分（满足不等式 x y 20 的点的集合）表示 “两人能相遇 ”这一事件的概率应等于图中阴影部分的面积与正方形的面积之比。s小20005