高数竞赛7无穷级数

1、专题7 无穷级数,1 常数项级数的概念和性质,2 常数项级数审敛法,3 幂级数,4 函数展开成幂级数,5 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质,6 傅立叶级数,7 一般周期函数的傅立叶级数,级数收敛的概念,定义 如果级数 的部分和数列 有极限，即,则称无穷级数 收敛，这时极限,无穷级数 发散。,叫做这级数的和；如果 没有极限，则称,二、收敛级数的基本性质,性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数 的收敛性。,性质1 如果级数 收敛于和 ，则级数 也 敛， 且其和为 。,性质2 如果级数 、 分别收敛于 和 则 级数 也收敛， 且其和为,性质2 收敛级数与发散级数的线性组合

2、仍然发散,性质4 收敛级数具有结合律，则对这级数的项任意加括号后所成的级数收敛。 （反之不成立，发散级数不具有结合律）,性质5 （级数收敛的必要条件）,如果级数 收敛，则它的一般项趋于 零，即,数项级数审敛法基本思想,Sn单调有界 夹逼定理,2 常数项级数的审敛法,一、正项级数及其审敛法,二、一般项级数及其审敛法,一、正项级数审敛法,定理1 正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列,有界。,（比较审敛法）,设 和,都是正项级数，且,若级数,收敛，,则级数,收敛；若级数,发散，则级数,也发散。,定理2,正项级数概念,各项都是正数或零的级数称为正项级数。,定理3（比较审敛法的极限形式）,设 和

3、 都是正项级数，,(1)如果 ，且级数 收敛,则级数 收敛；,(2)如果 或 且级数,发散,则级数 发散。,同阶无穷小为一般项的级数具有相同的敛散性。,例2,判定级数,的收敛性。,例3. 判定级数,的收敛性。,例4,判定级数,的收敛性。,解,因为,根据比值审敛法可知所给级数发散。,定理4 （比值审敛法，达朗贝尔判别法） 设 为正项级数 ， 如果 则当 时级数收敛；当 或,时级数发散；,当 时级数可能收敛也可能发散。,定理5（根值审敛法，柯西判别法）,设 为正项级数，如果 ，,则当 时级数收敛；,（或,）,时级数发散；,时级数可能收敛也可能发散。,例5,判定级数,的收敛性。,解,因为,所以，根据

4、根植审敛法知所给级数收敛。,定理6（极限审敛法）,设 为正项级数，,(1)如果,(2)如果,而,发散。,收敛。,例6,判定级数,的收敛性。,解,因,故,根据极限审敛法，知所给级数收敛。,收敛。,交错级数 交错级数是指这样的级数，它的各项是正负交错 的，从而可以写成的形式：,或 其中 都是正数。,二、任意项级数及其审敛法,定理7（莱布尼茨定理，交错级数审敛法）,(1),(2),则级数收敛，且其和 其余项的绝对值,如果交错级数 满足条件：,绝对收敛条件收敛有关性质 （1）绝对收敛级数具有交换律，也即级数中无穷多项任意交换顺序，得到级数仍是绝对收敛，且其和不变。 （2）条件收敛级数的正项或负项构成的

5、级数，即,或,一定是发散的。,条件收敛级数审敛法 狄利克雷判别法： 的部分和有界，且 单调趋于0， 则 收敛。 阿贝尔判别法： 收敛，且 单调有界， 则 收敛。,例题 7.2-7.4,但是交错级数,是莱布尼茨型级数，收敛，因此原级数条件收敛,所以，原级数,例题 7.7,例7 判断级数 的敛散性。 （观察内部特点，第二层根号内是有极限的序列） 解法1： 换元后达朗贝尔法,例7 判断级数 的敛散性。 （观察根号2的特点，考虑三角换元） 解法2：,达朗贝尔法,例 7.8设 试判断级数 的敛散性。 分析：An与Sn的关系，Sn的性质。,正项级数cn的和有界，收敛，由比较判别法。,例 7.11 含积分的

6、问题,函数项级数,幂级数,一幂级数及其收敛域 1幂级数概念 2幂级数的收敛域 （收敛域分三种情形 ） （1）收敛域为(-,)，亦即对每一个x皆收敛。我们称它的收敛半径R= 。 （2）收敛域仅为原点 （3）收敛域为 -R,+R,(-R,+R,-R,+R）, (-R,+R)中的一种,所以求幂级数的收敛半径R非常重要，（1），（2）两种情形的收敛域就确定的。而(3)的情形，还需讨论两点上x=R,x=-R的敛散性。,三幂级数的性质 1四则运算,2分析性质,(2)S(x)在(-R,+R)内有逐项积分公式,且这个幂级数的收敛半径也不变,（3）若,在,成立。则有下列性质,（i）,成立,（ii）,成立,（ii

7、i）,在,不一定收敛,也即,不一定成立，,如果,在,发散，那么逐项求导后的级数,在,一定发散，而逐项积分后的级数,在,有可能收敛。,四幂级数求和函数的基本方法 1把已知函数的幂级数展开式（8.3将讨论）反过来用. 2用逐项求导和逐项积分方法以及等比级数的求和公式 3用逐项求导和逐项积分方法化为和函数的微分方程，从而求微分方程的解,把已知函数的幂级数展开式,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（,为实常数）,例1求幂级数,的收敛半径。,例2已知幂级数,的收敛半径,，求幂级数,的收敛区间。,例3已知幂级数,在,处收敛，在,处发散，求其收敛域。,例4设,，,，讨论幂级数,的收敛域。,（1

8、）当 时 ，,条件收敛,故收敛域为,发散,（2）当,时，,绝对收敛，,绝对收敛,故收敛域为,例5： P286： 32， 33,二求幂级数的和函数,例1求下列幂级数的和函数,解：可求出收敛半径,故收敛域为,例2求下列级数的和函数,解：,三。将函数展开成幂级数,内容要点,函数展成幂级数的方法 1套公式 2逐项求导积分 3变量替换法,练习1 练习2 练习3 un0，且级数 条件收敛， 证明：级数 与 都发散,提示:,提示:,提示:,二、函数展开成傅里叶级数,傅里叶系数,设f(x)是周期为2的周期函数 且能展开成三角级数:,且假定三角级数可逐项积分 则,下页,二、函数展开成傅里叶级数,设f(x)是周期

9、为2的周期函数 且能展开成三角级数:,且假定三角级数可逐项积分 则,系数a0 a1 b1 叫做函数f(x)的傅里叶系数.,下页,傅里叶系数,定理(收敛定理 狄利克雷充分条件),设f(x)是周期为2的周期函数, 如果它满足: (1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点, (2)在一个周期内至多只有有限个极值点, 则f(x)的傅里叶级数收敛, 并且,当x是f(x)的连续点时, 级数收敛于f(x);,当x是f(x)的间断点时, 级数收敛于 .,下页,傅里叶级数,三、正弦级数和余弦级数,奇函数与偶函数的傅里叶系数,an0 (n0, 1, 2, ),bn0 (n1, 2, ).,当f(x)为奇函数时 f(x)cos nx是奇函数 f(x)sin nx是偶函数 故傅里叶系数为,当f(x)为偶函数时 f(x)cos nx是偶函数 f(x)sin nx是奇函数 故傅里叶系数为,下页,正弦级数和余弦级数,如果f(x)为奇函数, 那么它的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数,如果f(x)为偶函数, 那么它的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数,下页,例6 将函数f(x)x1(0 x)分别展开成正弦级数和余弦级数.,先求正弦级数.,解,为此对函数f(x)