高阶常系数线性微分方程、欧拉方程

1、 一元微积分学,大 学 数 学（一）,第三十讲 一元微积分的应用(六), 微积分在物理中的应用,第七章 常微分方程,本章学习要求：,了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. 了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. 会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. 知道下列高阶方程的降阶法：,了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法. 熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. 掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和

2、或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法.,第五节 二阶常系数线性微分方程,一、二阶常系数齐次线性微分方程,形如,即,二阶常系数齐线性微分方程,的特征方程为,是方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程 (1) 的通解为,二阶常系数齐线性微分方程,的特征方程为,由刘维尔公式求另一个解：,于是，当特征方程有重实根时，方程 ( 1 ) 的通解为,二阶常系数齐线性微分方程,的特征方程为,3) 特征方程有一对共轭复根：,是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解，其通解为,由线性方程解的性质：,均为方程 ( 1 ) 的解，且它们是线性无关的：,故当特征方程有一对共轭复根,时，原方程的通解可表示为,二阶常系

3、数齐线性微分方程,特征方程,特 征 根,通 解 形 式,解,解,解,故所求特解为,解,解,取 x 轴如如图所示。,由力学的虎克定理，有,（ 恢复力与运动方向相反 ）,由牛顿第二定律，得,我们要找的规律是下列初值问题的解：,从而，所求运动规律为,二、n 阶常系数齐线性微分方程,形如,n 阶常系数齐线性微分方程的特征方程为,解,解,在研究弹性地基梁时，遇到一个微分方程,试求此方程的通解。,三、二阶常系数非齐线性微分方程,形如,它对应的齐方程为,我们只讨论函数 f ( x ) 的几种简单情形下，(2) 的特解。,常系数非齐线性微分方程算子解法,方程 (2) 对应的齐方程 (1) 的特征方程及特征根为

4、,单根,二重根,一对共轭复根,假设方程,有下列形式的特解：,则,代入方程 (2) ，得,即,由方程 (3) 及多项式求导的特点可知，应有,方程 (2) 有下列形式的特解:,由多项式求导的特点可知，应有,方程 (2) 有下列形式的特解:,由多项式求导的特点可知，应有,方程 (2) 有下列形式的特解:,当二阶常系数非齐线性方程,其中：,解,对应的齐方程的特征方程为,特征根为,对应的齐方程的通解为,将它代入原方程，得,比较两边同类项的系数，得,故原方程有一特解为,综上所述，原方程的通解为,解,对应的齐方程的特征方程为,特征根为,对应的齐方程的通解为,将它代入原方程，得,上式即,故原方程有一特解为,综上所述，原方程的通解为,解,综上所述，原方程的通解为,解,代入上述方程，得,从而，原方程有一特解为,解,代入上述方程，得,比较系数，得,从而，原方程有一特解为,故,解,由上面两个例题立即可得,解,对应的齐次方程的通解为,从而，原方程有一特解为,故原方程的通解为,四、欧拉方程,形如,关于变量 t 的常系数线性微分方程 。,引入算子记号：,由数学归纳法可以证明：,解,作代数运算后，得,即,这是一个三