第3章线性控制系统的能控性和能观性

1、,本章结构 第3章 线性控制系统的能控性和能观性 3.1 能控性 3.2 能观性 3.3 能控性与能观性的对偶关系 3.4 零极点对消与能控性和能观性的关系,引言,状态方程反映了控制输入对状态的影响；输出方程反映系统输出对控制输入和状态的依赖 能控性揭示系统输入对状态的制约能力；能观性反映从外部对系统内部的观测能力； 能控性和能观性的概念是卡尔曼在1960年提出，成为现代控制理论中最重要的概念，是最优控制设计的基础。,状态空间模型建立了输入、状态、输出之间的关系,3,含义1: 控制作用对状态变量的支配 系统输出能否反映状态变量 含义2: 可控性:能否找到控制作用使任意初态 可观测性:能否由输出

2、量的测量值,引 言,可控性。,可观测性。,确定终态。,各状态。,4,如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,而由任意的始点达到终点,则系统可控(状态可控) 。 如果系统的所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映,则称系统是状态可观测的。,引 言,5,引例: 给定系统的状态空间描述: 解:展开 表明:状态变量 , 都可通过选择输入u而由始点 输出y只能反映状态变量 ,所以 不可观测。,引 言,终点,所以完全可控。,3.1 能控性,3.1.1 定义,若线性连续定常系统： 如果存在一个无约束的输入u(t)，能在有限时间区间 内，使系统由某一初始状态x(t0) = x0，转移到指定

3、的任意终端状态x(tf) = xf，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称系统是完全能控的，或简称系统是能控的。 有时也称矩阵（A，B）是能控的。,若系统存在某一个状态x(t0)不满足上述条件，则此系统称为不能控系统。,3.1 能控性,3.1.1 定义,时间段内存在控制输入u,3.1.2 线性定常系统的能控性判别,1 从A与B判定能控性（能控性判据）,定理3.1-1 线性定常连续系统(A，B)其状态完全能控的充要条件是其能控性矩阵 的秩为n，即,3.1 能控性,证明 定理3.1-1,已知状态方程的解为,在以下讨论中，不失一般性，可设初始时刻为零，即t0 = 0以及终端状态为状态空

4、间的原点，即x(tf ) = 0。则有,利用凯莱-哈密尔顿（CayleyHamilton）定理,3.1.2 线性定常系统的能控性判别,3.1 能控性,证明 定理3.1-1,利用凯莱-哈密尔顿（CayleyHamilton）定理,进而得到,因tf 是固定的，所以每一个积分都代表一个确定的量，令,3.1.2 线性定常系统的能控性判别,3.1 能控性,证明 定理3.1-1,若系统是能控的，那么对于任意给定的初始状态x(0)都应从上述方程中解出 0，1，n 1来。这就要求系统能控性矩阵的秩为n，即 rank B AB A2B An 1B = n,3.1.2 线性定常系统的能控性判别,3.1 能控性,1

5、2,例3-1 试判断下列系统的状态可控性。,(1),(2),3.1.2 线性定常系统的能控性判别,3.1 能控性,13,（1）,该系统可控。,解：,（2）,该系统不可控。,3.1.2 线性定常系统的能控性判别,3.1 能控性,14,例3-2： 试判断系统可控性。,3.1.2 线性定常系统的能控性判别,3.1 能控性,15,rank =23,不可控。,解：,3.1.2 线性定常系统的能控性判别,3.1 能控性,16,若为对角型，则状态完全可控的充要条件为： 中没有任意一行的元素全为零。（此结论适用于特征值互不相等的情况）,2.可控性对角型判据,3.1.2 线性定常系统的能控性判别,3.1 能控性

6、,17,3.1.2 线性定常系统的能控性判别,18,例3-3: 试确定如下几个系统的可控性。,1)可控,3)可控,2)不可控,4)不可控,3.1.2 线性定常系统的能控性判别,19,若 为约当型，则状态完全可控的充要条件是： 每一个约当块的最后一行相应的 阵中所有的行元素不全为零。（若两个约当块有相同特征值，此结论不成立。）,3.可控性约当型判据,设,3.1.2 线性定常系统的能控性判别,20,例3-4: 试判断下列已经非奇异变换成约当规范型的系统的可控性。,1)可控,2)不可控,3.1.2 线性定常系统的能控性判别,3.2 能观性,3.2.1 定义,对任意给定的输入信号u(t)，在有限时间t

7、f t0内，能够根据输出量y(t)在t0，tf内的测量值，唯一地确定系统在时刻t0的初始状态x(t0)，则称此系统的状态是完全能观测的，或简称系统能观测的。,讨论线性系统的能观测性。考虑零输入时的状态空间表达式,3.2.1 定义,能观测性的概念非常重要，这是由于在实际问题中，状态反馈控制遇到的困难是一些状态变量不易直接量测。因而在构造控制器时，必须首先估计出不可量测的状态变量。在“系统综合”部分我们将指出，当且仅当系统是能观测时，才能对系统状态变量进行观测或估计。,3.2 能观性,1 从A与C判定能观性（能观性判据）,定理3.2-1 线性定常连续系统(A，C)其状态完全能观的充要条件是其能观性

8、矩阵,3.2 能观性,3.2.2 线性定常系统的能观性判别,的秩为n，即,证明 定理3.2-1,已知系统(A，C)状态方程的解为,在以下讨论中，不失一般性，可设初始时刻为零，即t0 = 0则有,利用凯莱-哈密尔顿（CayleyHamilton）定理,3.2.2 线性定常系统的能观性判别,1 从A与C判定能观性（能观性判据）,证明 定理3.2-1,所以,因为一般m n，此时，方程无唯一解。要使方程有唯一解，可以在不同时刻进行观测，得到y(t1)，y(t2)，y(tf )，此时把方程个数扩展到n个，即,1 从A与C判定能观性（能观性判据）,3.2.2 线性定常系统的能观性判别,证明 定理3.3-1

9、,上式表明，根据在（0，tf）时间间隔的测量值y(t1)，y(t2)，y(tf)，能将初始状态x(0)唯一地确定下来的充要条件是能观测性矩阵N满秩。,1 从A与C判定能观性（能观性判据）,3.2.2 线性定常系统的能观性判别,例3.2-1 设系统的状态方程为 判断其状态能观性。,3.2.2 线性定常系统的能观性判别,例3.2-2: 试判断下列系统的可观测性。,解：,该系统可观测。,3.2.2 线性定常系统的能观性判别,例3.2-3:试确定使下列系统可观测的a,b取值。,解：,，系统可观测。,3.2.2 线性定常系统的能观性判别,若A为对角型，则系统完全可观测的充要条件是： 输出阵C中没有任何一

10、列的元素全为零。（此结论适用于特征值互不相等的情况）,2.可观测性对角型判据,3.2.2 线性定常系统的能观性判别,例3.2-3: 试判别以下系统的状态可观测性。,（1）可观测,2.可观测性对角型判据,3.2.2 线性定常系统的能观性判别,（1）,（2）,（2）不可观测,若A为约当型，则系统完全可观测的充要条件是： C阵中与每个约当块的第一列相对应的各列中，没有一列的元素全为零，且矩阵C中对应于互不相等的特征值的各列，没有一列的元素全为0.(如果两个约当块有相同的特征值, 此结论不成立)。,3.可观测性约当型判据,3.2.2 线性定常系统的能观性判别,例3.2-4: 试判别下列系统的状态可观测

11、性。,1) 不可观测,2) 可观测,3.2.2 线性定常系统的能观性判别,3.3 能控性与能观性的对偶关系,从前面几节的讨论中可以看出控制系统的能控性和能观测性，无论从定义或其判据方面都是很相似的。这种相似关系决非偶然的巧合，而是有着内在的必然联系，这种必然的联系即为对偶性原理：,设系统1的状态空间表达式为,设系统2的状态空间表达式为,称系统1和系统2是互为对偶的，即2是1的对偶系统，反之， 1是2的对偶系统。,3.3 能控性与能观性的对偶关系,结论：系统S1可控的充要条件恰是其对偶系统S2可观测的充要条件；系统S1可观测的充要条件又是其对偶系统S2可控的充要条件。,3.3 能控性与能观性的对偶关系,定理:SISO线性定常系统的传递函数若有零、极点对消，则视状态变量不同的选择，系统或不可控，或为不可观测，或既不可控又不可观测。若无零、极点对消，则该系统可用一个既可控又可观测的动态方程来表示。,对于单输入单输出系统:,3.4 零极点对消与能控性和能观性的关系,例3.4-1: 解: 可控标准型:,不可观测