练习刚体转动

1、定轴转动的动力学问题 刚体定轴转动的动力学问题，大致有三种类型题。其解题基本步骤归纳为：首先分析各物体所受力和力矩情况，然后根据已知条件和所求物理量判断应选用的规律，最后列方程求解。 第一类：求刚体转动某瞬间的角加速度，一般应用转动定律求解。如质点和刚体组成的系统，对质点列牛顿运动方程，对刚体列转动定律方程，再列角量和线量的关联方程，并联立求解。,解题指导,第二类：求刚体与质点的碰撞、打击问题。把它们选作一个系统时，系统所受合外力矩常常等于零，所以系统角动量守恒。列方程时，注意系统始末状态的总角动量中各项的正负。对在有心力场作用下绕力心转动的质点问题，可直接用角动量守恒定。 第三类：在刚体所受

2、的合外力矩不等于零时，比如木杆摆动，受重力矩作用，求最大摆角等一般应用刚体的转动动能定理求解。对于仅受保守力矩作用的刚体转动问题，也可用机械能守恒定律求解。,另 外：实际问题中常常有多个复杂过程，要分成几个阶段进行分析，分别列出方程，进行求解。,一质点m，速度为v，如图所示，A、B、C 分别为三个参考点,此时m 相对三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3,例1,求 此时刻质点对三个参考点的动量矩,解,例2 哈雷慧星绕太阳运行时的轨道是一个椭圆，如图所示，它距离太阳最近的距离是 , 速率 ；它离太阳最远时的速率 ，这时它离太阳的距离,解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了太阳，所以对太阳的力矩

3、为零，故彗星在运行的过程中角动量守恒. 于是有,代入数据可, 得,求 角及着陆滑行时的速度多大？,解,引力场（有心力）,质点的动量矩守恒,系统的机械能守恒,例 3 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M 、半径为 R 的行星.当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面,例4在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的转轴旋转开始起动时，角速度为零起动后其转速随时间变化关系为： ,式中 求：(1)t=6s 时电动机的转速(2)起动后，电动机在 t=6s 时间内转过的圈数(3)角加速度随时间变化的规律,(2) 电动机在

4、6s内转过的圈数为,解 (1) 将 t=6s 代入,(3) 电动机转动的角加速度为,例5在高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动开始时，它的角速度 ，经300s 后，其转速达到 18000rmin-1 转子的角加速度与时间成正比问在这段时间内，转子转过多少转？,解 令 ，即 ，积分,得,当 t=300s 时,由,得,在 300 s 内转子转过的转数,解:设盘厚度为h,以盘轴心为圆心取半径为r, 宽为dr的微圆环,其质量为,dm=dv,它对桌面的压力为:,例6 半径为R,质量为m的均匀圆盘在水平桌面上绕中心轴转动,盘与桌面间的摩擦系数为 ,求转动中的摩擦力矩的大小.,与桌面间的摩擦力

5、为:,该摩擦力的力矩为:,整个圆盘的摩擦力矩为:,6-1. 关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是: (A) 只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关. (B) 取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关. (C) 只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关. (D) 取决于刚体的质量，质量的空间分布和轴的位置.,6-2. 有两个半径相同,质量相等的细圆环A和B,A环的质量分布均匀, B环的质量分布不均匀,它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为JA和JB, 则 (A)JAJB. (B) JAJB. (C) JA=JB. (D) 不能确定JA、JB哪个大.,

6、6-3. 一圆盘饶过盘心且与盘面垂直的轴O以角速度按图示方向转动,若如图所示的情况那样,将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F沿盘面同时作用到圆盘上,则圆盘的角速度 :,必然增大. (B) 必然减少. (C) 不会改变. (D) 如何变化,不能确定.,6-4.刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 刚体不受外力矩的作用. 刚体所受合外力矩为零. 刚体所受的合外力和合外力矩均为零. 刚体的转动惯量和角速度均保持不变.,6-5. 有一半径为R的水平圆转台,可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动, 转动惯量为J, 开始时转台以匀角速度 0转动,此时有一质量为m的人站住转台中心,随后人沿半径向外跑去,当

7、人到达转台边缘时, 转台的角速度为 :,(A) J 0/(J+mR2) . (B) J 0/(J+m)R2. (C) J 0/(mR2) . (D) 0.,6-6 均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖立位置的过程中,角速度 ，角加速度 .(填“从小到大”，“从大到小” 或“保持不变”),从小到大,从大到小,6-8 一个作定轴转动的轮子,对轴的转动惯量J = 2.0kg m2,正以角速度 0匀速转动,现对轮子加一恒定的力矩M =7.0 m N,经过时间t= 8.0s时轮子的角速度 = 0,则 0= .,6-7 如图

8、所示，一匀质细杆AB,长为l,质量为m. A端挂在一光滑的固定水平轴上, 细杆可以在竖直平面内自由摆动.杆从水平位置由静止释放开始下摆,当下摆 时,杆的角速度为 .,6-9 一飞轮以角速度 0绕轴旋转, 飞轮对轴的转动惯量为J1;另一静止飞轮突然被同轴地啮合到转动的飞轮上,该飞轮对轴的转动惯量为前者的二倍,啮合后整个系统的角速度 = .,6-10 如图所示， 滑块A、重物B和滑轮C的质量分别为mA 、mB 和mC， 滑轮的半径R， 滑轮对轴的转动惯量为J=mCR 2/2滑块A与桌面间、 滑轮与轴承之间均无摩擦,绳的质量可不计, 绳与滑轮之间无相对滑动，滑块A的加速度a= .,例7 质量为 的物

9、体 A 静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质量为 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？,解 （1）隔离物体分别对物体A、B 及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律 、转动定律列方程 .,第三节 转动定律,令 ，得,棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O 的力矩。,重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样。,解：,例3 一根长为l 质量为m 的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以

10、在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆 角时的角加速度和角速度。( ),重力力矩为：,例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置,解,由动能定理,求 它由此下摆 角时的 ,此题也可用机械能守恒定律方便求解,例题2 一根质量为m、长为 l 的均匀细棒OA （如图），可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时其中点C和端点A的速度。,解 先对细棒OA 所受的力作一分析；重力 作用在棒的中心点C，方向竖直下；轴和棒之间没 有摩擦力，轴对棒作用的支承力 垂直于棒和 轴 的接触 面且通过

11、O点，在棒的下摆过程中，此力 的方向和大小是随时改变的。,在棒的下摆过程中，对转轴O而言，支撑力N通 过O点，所以支撑力N的力矩等于零，重力G的力矩则 是变力矩，大小等于mg(l /2) cos ，棒转过一极小的角位移d 时，重力矩所作的元功是,在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中，重力矩所作的功是,由此得,棒在水平位置时角速度0=0, 下摆到竖直位置时角速度=,由转动动能定理得,所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度分别为,由此得,所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度分别为,例 7： 如图一质量为M 长为l的匀质细杆，中间和右端各有一质量皆为m的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆

12、垂直的水平轴转动，若将该杆置于水平位置后由静止释放，求杆转到与水平方向成角时,杆的角速度是多少?,1. 研究对象:杆+球+地球=系统,重力mg保守内力; 弹力其功为零,2. 分析系统受力及力的功:,3. 取重力势能零点:水平位置,4. 运动过程中系统满足机械能守恒的条件:,解:,例8 一长为 l , 质量为 的竿可绕支点O自由转动 . 一质量为 、速率为 的子弹射入竿内距支点为 处，使竿的偏转角为30 . 问子弹的初速率为多少 ?,解 把子弹和竿看作一个系统 .子弹射入竿的过程系统角动量守恒,射入竿后，以子弹、细杆和 地球为系统 ，机械能守恒 .,第四节 角动量定理 角动量守恒定律,例 9:如

13、图长为l 的均匀细棒,一端悬于o点,另一端自由下垂,紧靠o 点有一摆线长为l 的单摆,摆球质量为m ,现将单摆拉到水平位置后,由静止释放,设摆球在其平衡位置与摆做弹性碰撞后摆 球恰好静止,试求: 细棒的质量M; 细棒碰撞后摆动的最大角度,(一)单摆下落过程(AB):,1.研究对象:摆 球+地球=系统,重力mg保守力力; 绳的张力T其功为零,2.分析系统受力及力的功:,3.取零点势能:B点,4. AB过程系统满足机械能守恒条件:,(二)单摆与棒碰撞过程(在B点):,1. 研究对象:摆 球+棒+地球=系统,2. 设转轴正向垂直向里;,3. 因为系统做弹性碰撞,故碰撞过程机械能和角动量皆守恒,设棒碰

14、撞后的瞬时角速度为,例8:如图长为 l ，质量为 m的均匀直棒静止在一光滑的水平面上。它的中点有一竖直光滑固定轴，一个质量为m 的小球以水平速度 vo 射垂直于棒冲击其一端发生弹性碰撞。求碰撞后球的速度v和棒的角速度。,解:,定转轴正向指上；,以子弹和杆为系统，则系统的角动量守恒动能守恒。,8. 如图所示，一根质量为M 、长为2l 的均匀细棒，可以在竖直平面内绕通过其中心的光滑水平轴转动，开始时细棒静止于水平位置. 今有一质量为m 的小球，以速度 垂直向下落到了棒的端点，设小球与棒的碰撞为完全弹性碰撞. 试求碰撞后小球的回跳速度 及棒绕轴转动的角速度 .,解 分析可知,以棒和小球组成的系统的角

15、动量守恒.,由于碰撞前棒处于静止状态，所以碰撞前系统的角动量就是小球的角动量 ;,由于碰撞后小球以速度v 回跳，棒获得的角速度为 ，所以碰撞后系统的角动量为,由角动量守恒定律得,由题意知，碰撞是完全弹性碰撞，所以碰撞前后系统的动能守恒，即,联立以上两式，可得小球的速度为,棒的角速度为,要保证小球回跳 ，则必须保证 .,讨论:,例1 质点与质量均匀的细棒相撞(如图),解：过程1 质点与细棒相碰撞 碰撞过程中系统对o 点 的合力矩为,设，完全非弹性碰撞,求：棒摆的最大角度,所以，系统对o点的角动量守恒。 即，,例3-11. 质量为M、长为2l的均质细棒，在竖直平面内可绕中心轴转动.开始棒处于水平位

16、置，一质量为m的小球以速度u垂直落到棒的一端上.设碰撞为弹性碰撞，求碰后小球的回跳速度以及棒的角速度.,解：由系统角动量守恒,机械能守恒定律,解得,解法二,取向上为y正方向,设碰撞时间为t,由动量定理：,角动量原理：,消去t,由机械能守恒定律,解得,例11 一质量为M长度为L的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为m的橡皮泥以速度v 和杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。试求: 1. 碰撞后系统的角速度；2. 碰撞后杆子能上摆的最大角度。,解：碰撞过程角动量守恒,上摆过程机械能守恒，得：,注意：橡皮泥和杆子的零势点取得不同。,例2 已知：细棒如图,求：任意位置

17、时，轴给细棒的作用力,解：设任意位置时，细棒角速度为,设轴给细棒的作用力为 Fn Ft,作细棒受力图,(3),联立得解,例10:如图长为 L 的均匀直棒其质量为M,上端用光滑水平轴吊起而静止下垂。今有一子弹质量为m ,以水平速度vo 射入杆的悬点下距离为 d 处而不复出。,(1)子弹刚冲入杆中时杆的角速度为多大?,（2）子弹冲入杆的过程中(经历时间为t),杆的上端受轴的水平和竖直分力各多大?,(3)要想使杆不受轴水平力,则子弹应在何处击中杆?,解:,1. 定转轴正向指外，建立直角坐标系如图；,2. 隔离物体分析力；,（1）子弹冲入杆的过程中，以子弹和杆为系统，则系统的角动量守恒。,设子弹刚冲入杆中，子弹和杆共同的角速度为，则由角动量守恒定律可得,（2）子弹冲入杆的过程中，子弹受杆的阻力,杆受子弹的冲力:,对杆用质心运动定律:,X方向:,杆受轴水平方向的分力:,Y方向:,杆受轴竖直方向的分力:,(3)当杆不受轴水平方向的分力时:,例2 一个飞轮的质量为69kg ，半径为0.25m,正在以每分1000转的转速转动。现在要制动飞轮，要求在5.0秒内使它均匀减速而最后停下来。摩擦系数为0.46。求闸瓦对轮子的压力N为多大？（J = mR2 ）,解：飞轮制动时有角加速度,外力矩是摩擦阻力矩，角加速度为负值。,例3-7. 一半径为R、质量为m的均匀